physics_compact/math.tex

   1 \part{Mathematical foundations}
   2
   3 Reminder: Modern Quantum Chemistry \& Sakurai \& Group Theory \ldots
   4
   5 \chapter{Linear algebra}
   6
   7 \section{Vectors and bases}
   8
   9 A vector $\vec{a}$ of an $N$-dimensional vector space (see \ref{math_app:vector_space} for mathematical details) is represented by its components $a_i$ with respect to a set of $N$ basis vectors ${\vec{e}_i}$.
  10 \begin{equation}
  11 \vec{a}=\sum_i^N \vec{e}_i a_i
  12 \label{eq:vec_sum}
  13 \end{equation}
  14 The scalar product for an $N$-dimensional real vector space is defined as
  15 \begin{equation}
  16 (\vec{a},\vec{b})=\sum_i^N a_i b_i \text{ ,}
  17 \label{eq:vec_sp}
  18 \end{equation}
  19 which enables to define a norm
  20 \begin{equation}
  21 ||\vec{a}||=\sqrt{(\vec{a},\vec{a})}
  22 \end{equation}
  23 that just corresponds to the length of vector \vec{a}.
  24 Evaluating the scalar product $(\vec{a},\vec{b})$ by the sum representation of \eqref{eq:vec_sum} leads to
  25 \begin{equation}
  26 (\vec{a},\vec{b})=(\sum_i\vec{e}_ia_i,\sum_j\vec{e}_jb_j)=
  27 \sum_i\sum_j(\vec{e}_i,\vec{e}_j)a_ib_j \text { ,}
  28 \end{equation}
  29 which is equal to \eqref{eq:vec_sp} only if
  30 \begin{equation}
  31 (\vec{e}_i,\vec{e}_j)=
  32 \delta_{ij}  = \left\{ \begin{array}{lll}
  33 0 & {\rm for} ~i \neq j \\
  34 1 & {\rm for} ~i = j   \end{array} \right.
  35 \text{ (Kronecker delta symbol),}
  36 \end{equation}
  37 i.e.\  the basis vectors are mutually perpendicular (orthogonal) and  have unit length (normalized).
  38 Such a basis set is called orthonormal.
  39 The component of a vector can be obtained by taking the scalar product with the respective basis vector.
  40 \begin{equation}
  41 (\vec{e}_j,\vec{a})=(\vec{e}_j,\sum_i \vec{e}_ia_i)=
  42 \sum_i (\vec{e}_j,\vec{e}_i)a_i=
  43 \sum_i\delta_{ij}a_i=a_j
  44 \end{equation}
  45 Inserting the expression for the coefficients into \eqref{eq:vec_sum}, the vector can be written as
  46 \begin{equation}
  47 \label{eq:complete}
  48 \vec{a}=\sum_i \vec{e}_i (\vec{e}_i,\vec{a}) \Leftrightarrow
  49 \sum_i\vec{e}_i\cdot \vec{e}_i=\vec{1}
  50 \end{equation}
  51 if the basis is complete.
  52 Indeed, the very important identity representation by the outer product ($\cdot$) in the second part of \eqref{eq:complete} is known as the completeness relation or closure.
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