physics_compact/math_app.tex

   1 \chapter{Mathematical tools}
   2
   3 \section{Vector algebra}
   4
   5 \subsection{Vector space}
   6 \label{math_app:vector_space}
   7
   8 \begin{definition}[Vector space]
   9 A vector space $V$ over a field $(K,+,\cdot)$ is an additive abelian group $(V,+)$ and an additionally defined scalar multiplication of $\vec{v}\in V$ by $\lambda\in K$, which fullfills:
  10 \begin{itemize}
  11 \item $\forall \vec{v} \, \exists 1$ with: $\vec{v}1=\vec{v}$
  12       (identity element of scalar multiplication)
  13 \item $\vec{v}(\lambda_1+\lambda_2)=\vec{v}\lambda_1+\vec{v}\lambda_2$
  14       (distributivity of scalar multiplication)
  15 \item $(\vec{v}_1+\vec{v}_2)\lambda=\vec{v}_1\lambda + \vec{v}_2\lambda$
  16       (distributivity of scalar multiplication)
  17 \item $(\vec{v}\lambda_1)\lambda_2=\vec{v}(\lambda_1\lambda_2)$
  18       (compatibility of scalar multiplication with field multiplication)
  19 \end{itemize}
  20 The elements $\vec{v}\in V$ are called vectors.
  21 \end{definition}
  22
  23 \begin{remark}
  24 Due to the additive abelian group, the following properties are additionally valid:
  25 \begin{itemize}
  26 \item $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ (commutativity of addition)
  27 \item $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$
  28       (associativity of addition)
  29 \item $\forall \vec{v} \, \exists \vec{0}$ with:
  30       $\vec{0}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}$
  31       (identity elemnt of addition)
  32 \item $\forall \vec{v} \, \exists -\vec{v}$ with: $\vec{v}+(-\vec{v})=0$
  33       (inverse element of addition)
  34 \end{itemize}
  35 The addition of two vectors is called vector addition.
  36 \end{remark}
  37
  38 \subsection{Dual space}
  39
  40 \begin{definition}[Dual space]
  41 The dual space $V^{\dagger}$ of vector space $V$ over field $K$ is defined as the set of all linear maps from the vector space $V$ into its field $K$
  42 \begin{equation}
  43 \varphi:V\rightarrow K \text{ .}
  44 \end{equation}
  45 These type of linear maps are termed linear functionals.
  46 The dual space $V^{\dagger}$ becomes a vector space over $K$ itself by the following additional definitions
  47 \begin{eqnarray}
  48 (\varphi+\psi)(\vec{v}) & = & \varphi(\vec{v})+\psi(\vec{v}) \\
  49 (\lambda\varphi)(\vec{v}) & = & \lambda\varphi(\vec{v})
  50 \end{eqnarray}
  51 for all $\vec{v}\in V$, $\varphi,\psi\in V^{\dagger}$ and $\lambda\in K$.
  52
  53 The map $V^{\dagger}\times V \rightarrow K: [\varphi,\vec{v}]=\varphi(\vec{v})$ is termed dual pairing of a functional $\varphi\in V^{\dagger}$ and an elemnt $\vec{v}\in V$.
  54 \end{definition}
  55
  56 \subsection{Inner and outer product}
  57 \label{math_app:product}
  58
  59 \begin{definition}[Inner product]
  60 The inner product on a vector space $V$ over $K$ is a map
  61 $(\cdot,\cdot):V\times V \rightarrow K$, which satisfies
  62 \begin{itemize}
  63 \item $(\vec{u},\vec{v})=(\vec{v},\vec{u})^*$
  64       (conjugate symmetry, symmetric for $K=\mathbb{R}$)
  65 \item $(\lambda\vec{u},\vec{v})=\lambda(\vec{u},\vec{v})$ and
  66       $(\vec{u}'+\vec{u}'',\vec{v})=(\vec{u}',\vec{v})+(\vec{u}'',\vec{v})$
  67       (linearity in first argument)
  68 \item $(\vec{u},\vec{u})\geq 0 \text{, } ``=" \Leftrightarrow \vec{u}=0$
  69       (positive definite)
  70 \end{itemize}
  71 for $\vec{u},\vec{v}\in V$ and $\lambda\in K$.
  72 Taking the complex conjugate $(\cdot)^*$ is the map from
  73 \begin{equation}
  74 z=a+bi\mapsto z^*=a-bi \text{, } z,z^*\in K \text{.}
  75 \end{equation}
  76 \end{definition}
  77
  78 \begin{remark}
  79 \label{math_app:ip_remark}
  80 Due to conjugate symmetry, linearity in the first argument results in conjugate linearity (also termed antilinearity) in the second argument.
  81 \begin{equation}
  82 (\vec{u},\lambda(\vec{v}'+\vec{v}''))=(\lambda(\vec{v}'+\vec{v}''),\vec{u})^*=
  83 \lambda^*(\vec{v}',\vec{u})^*+\lambda^*(\vec{v}'',\vec{u})^*=
  84 \lambda^*(\vec{u},\vec{v}')+\lambda^*(\vec{u},\vec{v}'')
  85 \end{equation}
  86 This is called a sesquilinear form.
  87 If $K=\mathbb{R}$, conjugate symmetry reduces to symmetry and the sesquilinear form gets a bilinear form.
  88
  89 Furtermore, the inner product $(\cdot,\cdot)$ provides a mapping
  90 \begin{equation}
  91 V\rightarrow V^{\dagger}:\vec{v}\mapsto \varphi_{\vec{v}}
  92 \quad
  93 \text{ defined by }
  94 \quad
  95 \varphi_{\vec{v}}(\vec{u})=(\vec{v},\vec{u}) \text{ .}
  96 \label{eq:ip_mapping}
  97 \end{equation}
  98 Since the inner product is linear in the first argument, the same is true for the defined mapping.
  99 \begin{equation}
 100 \lambda(\vec{u}+\vec{v}) \mapsto
 101 \varphi_{\lambda(\vec{u}+\vec{v})}=
 102 \lambda\varphi_{\vec{u}}+\lambda\varphi_{\vec{v}}\\
 103 \end{equation}
 104 If the inner product is nondegenerate, i.e.\  $\forall\vec{u}\, (\vec{v},\vec{u})=0 \Leftrightarrow \vec{v}=0$, as it applies for the scalar product for instance, the mapping is injective.
 105 Since the dimension of $V$ and $V^{\dagger}$ is equal, it is additionally surjective.
 106 Then, $V$ is isomorphic to $V^{\dagger}$.
 107 Vector $\vec{v}^{\dagger}\equiv \varphi_{\vec{v}}\in V^{\dagger}$ is said to be the dual vector of $\vec{v}\in V$.
 108 The dual pairing $[\vec{v}^{\dagger},\vec{u}]=[\varphi_{\vec{v}},\vec{u}]=\varphi_{\vec{v}}(\vec{u})$ is associated with the inner product $(\vec{v},\vec{u})$.
 109
 110 Now, in physics and matrix algebra, the inner product is often defined with linearity in the second argument and conjugate linearity in the first argument.
 111 In this case, the antilinearity property is assigned to the element $\varphi_{\vec{v}}=\vec{v}^{\dagger}$ of dual space
 112 \begin{equation}
 113 \varphi_{\lambda\vec{v}}(\vec{u})=
 114 (\lambda\vec{v},\vec{u})=
 115 \lambda^*(\vec{v},\vec{u})=
 116 \lambda^*\varphi_{\vec{v}}(\vec{u})
 117 \end{equation}
 118 and $V$ is found to be isomorphic to the conjugate complex of its dual space.
 119 Then, the inner product $(\vec{v},\vec{u})$ is associated with the dual pairing of element $\vec{u}$ of the vector space and $\vec{v}^{\dagger}$ of its conjugate complex dual space
 120 \begin{equation}
 121 (\vec{v},\vec{u})\rightarrow
 122 [\varphi_{\vec{v}},\vec{u}]=
 123 [\vec{v}^{\dagger},\vec{u}]
 124 \text{ .}
 125 \end{equation}
 126
 127 The standard sesquilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle$, also called Hermitian form, on $\mathbb{C}^n$ and linearity in the second argument, is given by
 128 \begin{equation}
 129 \langle\vec{v},\vec{u}\rangle=\sum_i^nv_i^*u_i
 130 \text{ .}
 131 \end{equation}
 132 In this case, in matrix formalism, the inner product is reformulated
 133 \begin{equation}
 134 (\vec{v},\vec{u}) \rightarrow \vec{v}^{\dagger}\vec{u}
 135 \text{ ,}
 136 \end{equation}
 137 where the dual vector is associated with the conjugate transpose $\vec{v}^{\dagger}$ of the corresponding vector $\vec{v}$
 138 and the usual rules of matrix multiplication.
 139 \end{remark}
 140
 141 \begin{definition}[Outer product]
 142 If $\vec{u}\in U$, $\vec{v},\vec{w}\in V$ are vectors within the respective vector spaces and $\varphi_{\vec{v}}\in V^{\dagger}$ is a linear functional of the dual space $V^{\dagger}$ of $V$ (determined in some way by $\vec{v}$),
 143 the outer product $\vec{u}\otimes\vec{v}$ is defined as the tensor product of $\varphi_{\vec{v}}$ and $\vec{u}$,
 144 which constitutes a map $A:V\rightarrow U$ by
 145 \begin{equation}
 146 \vec{w}\mapsto\varphi_{\vec{v}}(\vec{w})\vec{u}
 147 \text{ ,}
 148 \end{equation}
 149 where $\varphi_{\vec{v}}(\vec{w})$ denotes the linear functional $\varphi_{\vec{v}}\in V^{\dagger}$ on $V$ when evaluated at some $\vec{w}\in V$, a scalar that in turn is multiplied with $\vec{u}\in U$.
 150 \end{definition}
 151
 152 \begin{remark}
 153
 154 In matrix formalism, if $\varphi_{\vec{v}}$ is defined as in \eqref{eq:ip_mapping} and
 155 if $\vec{u}=\sum_i^m \vec{e}_iu_i$ and $\vec{v}=\sum_i^n\vec{e}'_iv_i$,
 156 the standard form of the outer product can be written as the matrix
 157 \begin{equation}
 158 \vec{u}\otimes\vec{v}=A=\left(
 159 \begin{array}{c c c c}
 160 u_1v_1^* & u_1v_2^* & \cdots & u_1v_n^*\\
 161 u_2v_1^* & u_2v_2^* & \cdots & u_2v_n^*\\
 162 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
 163 u_mv_1^* & u_mv_2^* & \cdots & u_mv_n^*\\
 164 \end{array}
 165 \right)
 166 \text{ ,}
 167 \end{equation}
 168 which can be equivalently obtained by the rules of matrix multiplication
 169 \begin{equation}
 170 \vec{u}\otimes\vec{v}=\vec{u}\vec{v}^{\dagger} \text{ ,}
 171 \end{equation}
 172 if $\vec{u}$ and $\vec{v}$ are represented as $m\times 1$ and $n\times 1$ column vectors, respectively.
 173 Here, again, $\vec{v}^{\dagger}$ represents the conjugate transpose of $\vec{v}$.
 174 By definition, and as can be easily seen in matrix representation, the identity
 175 \begin{equation}
 176 (\vec{u}\otimes\vec{v})\vec{w}=\vec{u}(\vec{v},\vec{w})
 177 \end{equation}
 178 holds.
 179 \end{remark}
 180
 181 \section{Spherical coordinates}
 182
 183 Cartesian coordinates $\vec{r}(x,y,z)$ are related to spherical coordinates $\vec{\tilde{r}}(r,\theta,\phi)$ by
 184 \begin{eqnarray}
 185 x&=&r\sin\theta\cos\phi\\
 186 y&=&r\sin\theta\sin\phi\\
 187 z&=&r\cos\theta
 188 \end{eqnarray}
 189 and
 190 \begin{eqnarray}
 191 r&=&(x^2+y^2+z^2)^{1/2}\\
 192 \theta&=&\arccos(z/r)\\
 193 \phi&=&\arctan(y/x)
 194 \end{eqnarray}
 195 The total differentials $dq_i$ and $dq'_i$ of two coordinate systems are related by partial derivatives.
 196 \begin{equation}
 197 dq_i=\sum_j \frac{\partial q_i}{\partial q'_j}dq'_j
 198 \end{equation}
 199 \begin{definition}[Jacobi matrix]
 200 The matrix J with components
 201 \begin{equation}
 202 J_{ij}=\frac{\partial q_i}{\partial q'_j}
 203 \end{equation}
 204 is called the Jacobi matrix.
 205 \end{definition}
 206
 207 For cartesian and spherical coordinates the relation of the translations are
 208 \begin{eqnarray}
 209 dx&=&\frac{\partial x}{\partial r}dr +
 210      \frac{\partial x}{\partial \theta}d\theta +
 211      \frac{\partial x}{\partial \phi}d\phi\\
 212 dy&=&\frac{\partial y}{\partial r}dr +
 213      \frac{\partial y}{\partial \theta}d\theta +
 214      \frac{\partial y}{\partial \phi}d\phi\\
 215 dz&=&\frac{\partial z}{\partial r}dr +
 216      \frac{\partial z}{\partial \theta}d\theta +
 217      \frac{\partial z}{\partial \phi}d\phi\\
 218 \end{eqnarray}
 219 and
 220 \begin{eqnarray}
 221 dr&=&\frac{\partial r}{\partial x}dx +
 222      \frac{\partial r}{\partial y}dy +
 223      \frac{\partial r}{\partial z}dz\\
 224 d\theta&=&\frac{\partial \theta}{\partial x}dx +
 225           \frac{\partial \theta}{\partial y}dy +
 226           \frac{\partial \theta}{\partial z}dz\\
 227 d\phi&=&\frac{\partial \phi}{\partial x}dx +
 228         \frac{\partial \phi}{\partial y}dy +
 229         \frac{\partial \phi}{\partial z}dz\\
 230 \end{eqnarray}
 231 and vectorial translations using the Jacobi matrix are given by matrix multiplications
 232 \begin{equation}
 233 d\vec{r}(x,y,z)=Jd\vec{\tilde{r}}(r,\theta,\phi)
 234 \end{equation}
 235 and
 236 \begin{equation}
 237 d\vec{\tilde{r}}(r,\theta,\phi)=J^{-1}d\vec{r}(x,y,z) \text{ .}
 238 \end{equation}
 239 $J$ and $J^{-1}$ are explicitily given by
 240 \begin{equation}
 241 \end{equation}
 242
 243 \section{Fourier integrals}
 244