1 \chapter{Mathematical tools}
3 \section{Vector algebra}
5 \subsection{Vector space}
6 \label{math_app:vector_space}
8 \begin{definition}
9 A vector space $V$ over a field $(K,+,\cdot)$ is an additive abelian group $(V,+)$ and an additionally defined scalar multiplication of $\vec{v}\in V$ by $\lambda\in K$, which fullfills:
10 \begin{itemize}
11 \item $\forall \vec{v} \, \exists 1$ with: $\vec{v}1=\vec{v}$
12       (identity element of scalar multiplication)
13 \item $\vec{v}(\lambda_1+\lambda_2)=\vec{v}\lambda_1+\vec{v}\lambda_2$
14       (distributivity of scalar multiplication)
15 \item $(\vec{v}_1+\vec{v}_2)\lambda=\vec{v}_1\lambda + \vec{v}_2\lambda$
16       (distributivity of scalar multiplication)
17 \item $(\vec{v}\lambda_1)\lambda_2=\vec{v}(\lambda_1\lambda_2)$
18       (compatibility of scalar multiplication with field multiplication)
19 \end{itemize}
20 The elements $\vec{v}\in V$ are called vectors.
21 \end{definition}
22 \begin{remark}
23 Due to the additive abelian group, the following properties are additionally valid:
24 \begin{itemize}
25 \item $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ (commutativity of addition)
26 \item $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$
28 \item $\forall \vec{v} \, \exists \vec{0}$ with:
29       $\vec{0}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}$
31 \item $\forall \vec{v} \, \exists -\vec{v}$ with: $\vec{v}+(-\vec{v})=0$
33 \end{itemize}
35 \end{remark}
37 \subsection{Dual space}
39 \begin{definition}
40 The dual space $V^{\dagger}$ of vector space $V$ over field $K$ is defined as the set of all linear maps from the vector space $V$ into its field $K$
41 \begin{equation}
42 \varphi:V\rightarrow K \text{ .}
43 \end{equation}
44 These type of linear maps are termed linear functionals.
45 The dual space $V^{\dagger}$ becomes a vector space over $K$ itself by the following additional definitions
46 \begin{eqnarray}
47 (\varphi+\psi)(\vec{v}) & = & \varphi(\vec{v})+\psi(\vec{v}) \\
48 (\lambda\varphi)(\vec{v}) & = & \lambda\varphi(\vec{v})
49 \end{eqnarray}
50 for all $\vec{v}\in V$, $\varphi,\psi\in V^{\dagger}$ and $\lambda\in K$.
52 The map $V^{\dagger}\times V \rightarrow K: [\varphi,\vec{v}]=\varphi(\vec{v})$ is termed dual pairing of a functional $\varphi\in V^{\dagger}$ and an elemnt $\vec{v}\in V$.
53 \end{definition}
55 \subsection{Inner and outer product}
56 \label{math_app:product}
58 \begin{definition}
59 The inner product on a vector space $V$ over $K$ is a map
60 \begin{equation}
61 (\cdot,\cdot):V\times V \rightarrow K
62 \text{ ,}
63 \end{equation}
64 which satisfies
65 \begin{itemize}
66 \item $(\vec{u},\vec{v})=(\vec{v},\vec{u})^*$
67       (conjugate symmetry, symmetric for $K=\mathbb{R}$)
68 \item $(\lambda\vec{u},\vec{v})=\lambda(\vec{u},\vec{v})$ and
69       $(\vec{u}'+\vec{u}'',\vec{v})=(\vec{u}',\vec{v})+(\vec{u}'',\vec{v})$
70       (linearity in first argument)
71 \item $(\vec{u},\vec{u})\geq 0 \text{, } =" \Leftrightarrow \vec{u}=0$
72       (positive definite)
73 \end{itemize}
74 for $\vec{u},\vec{v}\in V$ and $\lambda\in K$.
75 Taking the complex conjugate $(\cdot)^*$ is the map from $K\ni z=a+bi\mapsto a-bi=z^*\in K$.
76 \end{definition}
78 \begin{remark}
79 Due to conjugate symmetry, linearity in the first argument results in conjugate linearity (also termed antilinearity) in the second argument.
80 This is called a sesquilinear form.
81 \begin{equation}
82 (\vec{u},\lambda(\vec{v}'+\vec{v}''))=(\lambda(\vec{v}'+\vec{v}''),\vec{u})^*=
83 \lambda^*(\vec{v}',\vec{u})^*+\lambda^*(\vec{v}'',\vec{u})^*=
84 \lambda^*(\vec{u},\vec{v}')+\lambda^*(\vec{u},\vec{v}'')
85 \end{equation}
87 The inner product $(\cdot,\cdot)$ provides a mapping
88 \begin{equation}
89 V\rightarrow V^{\dagger}:\vec{v}\mapsto \vec{v}^{\dagger}
90 \end{equation}
91 given by
92 \begin{equation}
93 v^{\dagger}()
94 \end{equation}
95 indicating structural identity (isomorphism) of $V$ and $V^{\dagger}$.
97 In physics and matrix algebra, the inner product is often defined with linearity in the second argument and conjugate linearity in the first argument.
98 This allows to express the inner product $(\vec{u},\vec{v})$ as a product of vector $\vec{v}$ with a dual vector or linear functional of dual space $V^{\dagger}$
99 \begin{equation}
100 (\vec{u},\vec{v}) \rightarrow \vec{u}^{\dagger}(\vec{u})\vec{v}
101 \text{ CHECK ! ! !}
102 \end{equation}
103 or the conjugate transpose in matrix formalism
104 \begin{equation}
105 (\vec{u},\vec{v}) \rightarrow \vec{u}^{\dagger}\vec{v} \text{ .}
106 \end{equation}
107 In doing so, conjugacy is associated with duality.
108 \end{remark}
110 \begin{definition}
111 If $\vec{u}\in U$, $\vec{v}\in V$ are vectors within the respective vector spaces and $\vec{\varphi}^{\dagger}\in V^{\dagger}$  is a linear functional of the dual space $V^{\dagger}$ of $V$,
112 the outer product $\vec{u}\otimes\vec{v}$ is defined as the tensor product of $\vec{\varphi}^{\dagger}$ and $\vec{u}$,
113 which constitutes a map $A:V\rightarrow U$ by
114 \begin{equation}
115 \vec{v}\mapsto\vec{\varphi}^{\dagger}(\vec{v})\vec{u}
116 \text{ ,}
117 \end{equation}
118 where $\vec{\varphi}^{\dagger}(\vec{v})$ denotes the linear functional $\vec{\varphi}^{\dagger}\in V^{\dagger}$ on $V$ when evaluated at $\vec{v}\in V$, a scalar that in turn is multiplied with $\vec{u}\in U$.
120 In matrix formalism, with respect to a given basis ${\vec{e}_i}$ of $\vec{u}$ and ${\vec{e}'_i}$ of $\vec{v}$,
121 if $\vec{u}=\sum_i^m \vec{e}_iu_i$ and $\vec{v}=\sum_i^n\vec{e}'_iv_i$,
122 the outer product can be written as matrix $A$ as
123 \begin{equation}
124 \vec{u}\otimes\vec{v}=A=\left(
125 \begin{array}{c c c c}
126 u_1v_1 & u_1v_2 & \cdots & u_1v_n\\
127 u_2v_1 & u_2v_2 & \cdots & u_2v_n\\
128 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
129 u_mv_1 & u_mv_2 & \cdots & u_mv_n\\
130 \end{array}
131 \right)
132 \text{ .}
133 \end{equation}
134 \end{definition}
135 \begin{remark}
136 The matrix can be equivalently obtained by matrix multiplication:
137 \begin{equation}
138 \vec{u}\otimes\vec{v}=\vec{u}\vec{v}^{\dagger} \text{ ,}
139 \end{equation}
140 if $\vec{u}$ and $\vec{v}$ are represented as $m\times 1$ and $n\times 1$ column vectors, respectively.
141 Here, $\vec{v}^{\dagger}$ represents the conjugate transpose of $\vec{v}$.
142 By definition, and as can be easily seen in the matrix representation, the following identity holds:
143 \begin{equation}
144 (\vec{u}\otimes\vec{v})\vec{w}=\vec{u}(\vec{v},\vec{w})
145 \end{equation}
146 \end{remark}
148 \section{Spherical coordinates}
150 \section{Fourier integrals}