physics_compact/math_app.tex

   1 \chapter{Mathematical tools}
   2
   3 \section{Vector algebra}
   4
   5 \subsection{Vector space}
   6 \label{math_app:vector_space}
   7
   8 \begin{definition}
   9 A vector space $V$ over a field $(K,+,\cdot)$ is an additive abelian group $(V,+)$ and an additionally defined scalar multiplication of $\vec{v}\in V$ by $\lambda\in K$, which fullfills:
  10 \begin{itemize}
  11 \item $\forall \vec{v} \, \exists 1$ with: $\vec{v}1=\vec{v}$
  12       (identity element of scalar multiplication)
  13 \item $\vec{v}(\lambda_1+\lambda_2)=\vec{v}\lambda_1+\vec{v}\lambda_2$
  14       (distributivity of scalar multiplication)
  15 \item $(\vec{v}_1+\vec{v}_2)\lambda=\vec{v}_1\lambda + \vec{v}_2\lambda$
  16       (distributivity of scalar multiplication)
  17 \item $(\vec{v}\lambda_1)\lambda_2=\vec{v}(\lambda_1\lambda_2)$
  18       (compatibility of scalar multiplication with field multiplication)
  19 \end{itemize}
  20 The elements $\vec{v}\in V$ are called vectors.
  21 \end{definition}
  22 \begin{remark}
  23 Due to the additive abelian group, the following properties are additionally valid:
  24 \begin{itemize}
  25 \item $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ (commutativity of addition)
  26 \item $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$
  27       (associativity of addition)
  28 \item $\forall \vec{v} \, \exists \vec{0}$ with:
  29       $\vec{0}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}$
  30       (identity elemnt of addition)
  31 \item $\forall \vec{v} \, \exists -\vec{v}$ with: $\vec{v}+(-\vec{v})=0$
  32       (inverse element of addition)
  33 \end{itemize}
  34 The addition of two vectors is called vector addition.
  35 \end{remark}
  36
  37 \subsection{Dual space}
  38
  39 \subsection{Inner and outer product}
  40 \label{math_app:product}
  41
  42 \begin{definition}
  43 The inner product ...
  44 \end{definition}
  45
  46 \begin{definition}
  47 If $\vec{u}\in U$, $\vec{v}\in V$ and $\vec{v}^{\dagger}\in V^{\dagger}$  are vectors within the respective vector spaces and $V^{\dagger}$ is the dual space of $V$,
  48 the outer product $\vec{u}\otimes\vec{v}$ is defined as the tensor product of $\vec{v}^{\dagger}$ and $\vec{u}$,
  49 which constitutes a map $A:V\rightarrow U$ by
  50 \begin{equation}
  51 \vec{v}\mapsto\vec{v}^{\dagger}(\vec{v})\vec{u}
  52 \text{ ,}
  53 \end{equation}
  54 where $\vec{v}^{\dagger}(\vec{v})$ denotes the linear functional $\vec{v}^{\dagger}\in V^{\dagger}$ on $V$ when evaluated at $\vec{v}\in V$, a scalar that in turn is multiplied with $\vec{u}\in U$.
  55
  56 In matrix formalism, with respect to a given basis ${\vec{e}_i}$ of $\vec{u}$ and ${\vec{e}'_i}$ of $\vec{v}$,
  57 if $\vec{u}=\sum_i^m \vec{e}_iu_i$ and $\vec{v}=\sum_i^n\vec{e}'_iv_i$,
  58 the outer product can be written as matrix $A$ as
  59 \begin{equation}
  60 \vec{u}\otimes\vec{v}=A=\left(
  61 \begin{array}{c c c c}
  62 u_1v_1 & u_1v_2 & \cdots & u_1v_n\\
  63 u_2v_1 & u_2v_2 & \cdots & u_2v_n\\
  64 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
  65 u_mv_1 & u_mv_2 & \cdots & u_mv_n\\
  66 \end{array}
  67 \right)
  68 \text{ .}
  69 \end{equation}
  70 \end{definition}
  71 \begin{remark}
  72 The matrix can be equivalently obtained by matrix multiplication:
  73 \begin{equation}
  74 \vec{u}\otimes\vec{v}=\vec{u}\vec{v}^{\dagger} \text{ ,}
  75 \end{equation}
  76 if $\vec{u}$ and $\vec{v}$ are represented as $m\times 1$ and $n\times 1$ column vectors, respectively.
  77 Here, $\vec{v}^{\dagger}$ represents the conjugate transpose of $\vec{v}$.
  78 By definition, and as can be easily seen in the matrix representation, the following identity holds:
  79 \begin{equation}
  80 (\vec{u}\otimes\vec{v})\vec{w}=\vec{u}(\vec{v},\vec{w})
  81 \end{equation}
  82 \end{remark}
  83
  84 \section{Spherical coordinates}
  85
  86 \section{Fourier integrals}
  87