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   1 \part{Quantum mechanics}
   2
   3 \chapter{Fundamental concepts}
   4
   5 \section{Variational method}
   6 \label{sec:var_meth}
   7
   8 The variational method constitutes a promising approach to estimate the ground-state energy $E_0$ of a system for which exact solutions are unknown.
   9 Considering a {\em trial ket} $|\tilde 0\rangle$, which tries to imitate the true ground-state ket $|0\rangle$, it can be shown that
  10 \begin{equation}
  11 \tilde E\equiv\frac{\langle \tilde 0|H|\tilde 0\rangle}{\langle \tilde 0|\tilde 0\rangle}
  12 \ge E_0 \textrm{ ,}
  13 \end{equation}
  14 i.e.\ an upper bound to the ground-state energy can be obtained by considering various kinds of $|\tilde 0\rangle$.
  15 To proof this, $|\tilde 0\rangle$ is expanded by the exact energy eigenkets $|k\rangle$ with
  16 \begin{equation}
  17 H|k\rangle = E_k|k\rangle\text{ ,}
  18 \qquad E_0\leq E_1\leq\ldots\leq E_k\ldots \text{ ,}
  19 \qquad \langle k|k'\rangle=\delta_{k k'} \text{ ,}
  20 \label{sec:vm_d}
  21 \end{equation}
  22 which are unknown but, still, form a complete and orthonormal basis set, to read
  23 \begin{equation}
  24 |\tilde 0\rangle = \vec{1} |\tilde 0\rangle
  25                  = \sum_{k=0}^{\infty} |k\rangle\langle k|\tilde 0\rangle
  26 \text{ .}
  27 \end{equation}
  28 Since $\langle k|k'\rangle=\delta_{k k'}$, $H|k\rangle = E_k|k\rangle$ and $E_k\geq E_0$ (see \eqref{sec:vm_d})
  29 \begin{equation}
  30 \tilde E=
  31 \frac{\sum_{k,k'}\langle \tilde 0|k\rangle\langle k|H|k'\rangle\langle k'|\tilde 0\rangle}
  32      {\sum_{k,k'}\langle \tilde 0|k\rangle\langle k|k'\rangle\langle k'|\tilde 0\rangle}=
  33 \frac{\sum_k \left| \langle k|\tilde 0\rangle  \right|^2 E_k}
  34      {\sum_k \left| \langle k|\tilde 0\rangle \right|^2} \geq
  35 \frac{\sum_k \left| \langle k|\tilde 0\rangle  \right|^2 E_0}
  36      {\sum_k \left| \langle k|\tilde 0\rangle \right|^2}=E_0
  37 \text{ ,}
  38 \label{sec:vm_f}
  39 \end{equation}
  40 which proofs the variational theorem.
  41 Moreover, equality in \eqref{sec:vm_f} is only achieved if $|\tilde 0\rangle$ coincides exactly with $|0\rangle$, i.e.\ if the coefficients $\langle k|\tilde 0\rangle$ all vanish for $k\neq 0$.
  42
  43 \chapter{Quantum dynamics}
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