physics_compact/solid.tex

   1 \part{Theory of the solid state}
   2
   3 \chapter{Atomic structure}
   4
   5 \chapter{Electronic structure}
   6
   7 \section{Noninteracting electrons}
   8
   9 \subsection{Bloch's theorem}
  10
  11 \section{Nearly free and tightly bound electrons}
  12
  13 \subsection{Tight binding model}
  14
  15 \section{Interacting electrons}
  16
  17 \subsection{Density functional theory}
  18
  19 \subsubsection{Hohenberg-Kohn theorem}
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  21 Considering a system with a nondegenerate ground state, there is obviously only one ground-state charge density $n_0(\vec{r})$ that corresponds to a given potential $V(\vec{r})$.
  22 In 1964, Hohenberg and Kohn showed the opposite and far less obvious result \cite{hohenberg64}.
  23 For a nondegenerate ground state, the ground-state charge density uniquely determines the external potential in which the electrons reside.
  24 The proof presented by Hohenberg and Kohn proceeds by {\em reductio ad absurdum}.
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  26 Suppose two potentials $V_1$ and $V_2$ exist, which yield the same electron density $n(\vec{r})$.
  27 The corresponding Hamiltonians are denoted $H_1$ and $H_2$ with the respective ground-state wavefunctions $\Psi_1$ and $\Psi_2$ and eigenvalues $E_1$ and $E_2$.
  28 Then, due to the variational principle (see \ref{sec:var_meth}), one can write
  29 \begin{equation}
  30 E_1=\langle \Psi_1 | H_1 | \Psi_1 \rangle <
  31 \langle \Psi_2 | H_1 | \Psi_2 \rangle \text{ .}
  32 \label{subsub:hk01}
  33 \end{equation}
  34 Expressing $H_1$ by $H_2+H_1-H_2$, the last part of \eqref{subsub:hk01} can be rewritten:
  35 \begin{equation}
  36 \langle \Psi_2 | H_1 | \Psi_2 \rangle =
  37 \langle \Psi_2 | H_2 | \Psi_2 \rangle +
  38 \langle \Psi_2 | H_1 -H_2 | \Psi_2 \rangle
  39 \end{equation}
  40 The two Hamiltonians, which describe the same number of electrons, differ only in the potential
  41 \begin{equation}
  42 H_1-H_2=V_1(\vec{r})-V_2(\vec{r})
  43 \end{equation}
  44 and, thus
  45 \begin{equation}
  46 E_1<E2+\int n(\vec{r}) \left( V_1(\vec{r})-V_2(\vec{r}) \right) d\vec{r}
  47 \text{ .}
  48 \label{subsub:hk02}
  49 \end{equation}
  50 By switching the indices of \eqref{subsub:hk02} and adding the resulting equation to \eqref{subsub:hk02}, the contradiction
  51 \begin{equation}
  52 E_1 + E_2 < E_2 + E_1 +
  53 \underbrace{
  54 \int n(\vec{r}) \left( V_1(\vec{r})-V_2(\vec{r}) \right) d\vec{r} +
  55 \int n(\vec{r}) \left( V_2(\vec{r})-V_1(\vec{r}) \right) d\vec{r}
  56 }_{=0}
  57 \end{equation}
  58 is revealed, which proofs the Hohenberg Kohn theorem.
  59