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   1 \chapter{Point defects in silicon}
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   3 Given the conversion mechnism of SiC in crystalline silicon introduced in \ref{section:assumed_prec} the understanding of carbon and silicon interstitial point defects in c-Si is of great interest.
   4 Both types of defects are examined in the following both by classical potential as well as density functional theory calculations.
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   6 In case of the classical potential calculations a simulation volume of nine silicon lattice constants in each direction is used.
   7 Calculations are performed in an isothermal-isobaric NPT ensemble.
   8 Coupling to the heat bath is achieved by the Berendsen thermostat with a time constant of 100 fs.
   9 The temperature is set to zero Kelvin.
  10 Pressure is controlled by a Berendsen barostat again using a time constant of 100 fs and a bulk modulus of 100 GPa for silicon.
  11 To exclude surface effects periodic boundary conditions are applied.
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  13 Due to the restrictions in computer time three silicon lattice constants in each direction are considered sufficiently large enough for DFT calculations.
  14 The ions are relaxed by a conjugate gradient method.
  15 The cell volume and shape is allowed to change using the pressure control algorithm of Parinello and Rahman \cite{}.
  16 Periodic boundary conditions in each direction are applied.
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  18 \begin{figure}[h]
  19 \begin{center}
  20 \includegraphics[width=9cm]{unit_cell_e.eps}
  21 \end{center}
  22 \caption{Insertion positions for the tetrahedral ({\color{red}$\bullet$}), hexagonal  ({\color{green}$\bullet$}), \hkl<1 0 0> dumbbell ({\color{yellow}$\bullet$}), \hkl<1 1 0> dumbbell ({\color{magenta}$\bullet$}) and bond-centered ({\color{cyan}$\bullet$}) interstitial configuration.}
  23 \label{fig:defects:ins_pos}
  24 \end{figure}
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  26 The interstitial atom positions are displayed in figure \ref{fig:defects:ins_pos}.
  27 In seperated simulation runs the silicon or carbon atom is inserted at the
  28 \begin{itemize}
  29  \item tetrahedral, $\vec{p}=(0,0,0)$, ({\color{red}$\bullet$})
  30  \item hexagonal, $\vec{p}=(-1/8,-1/8,1/8)$, ({\color{green}$\bullet$})
  31  \item nearly \hkl<1 0 0> dumbbell, $\vec{p}=(-1/4,-1/4,-1/8)$, ({\color{yellow}$\bullet$})
  32  \item nearly \hkl<1 1 0> dumbbell, $\vec{p}=(-1/8,-1/8,-1/4)$, ({\color{magenta}$\bullet$})
  33  \item bond-centered, $\vec{p}=(-1/8,-1/8,-3/8)$, ({\color{cyan}$\bullet$})
  34 \end{itemize}
  35 interstitial position.
  36 For the dumbbell configurations the nearest silicon atom is displaced by $(0,0,-1/8)$ and $(-1/8,-1/8,0)$ respectively of the unit cell length to avoid too high forces.
  37 A vacancy or a substitutional atom is realized by removing one silicon atom and switching the type of one silicon atom respectively.
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  39 From an energetic point of view the free energy of formation $E_{\text{f}}$ is suitable for the characterization of defect structures.
  40 For defect configurations consisting of a single atom species the formation energy is defined as
  41 \begin{equation}
  42 E_{\text{f}}=\left(E_{\text{coh}}^{\text{defect}}
  43                   -E_{\text{coh}}^{\text{defect-free}}\right)N
  44 \label{eq:defects:ef1}
  45 \end{equation}
  46 where $N$ and $E_{\text{coh}}^{\text{defect}}$ are the number of atoms and the cohesive energy per atom in the defect configuration and $E_{\text{coh}}^{\text{defect-free}}$ is the cohesive energy per atom of the defect-free structure.
  47 The formation energy of defects consisting of two or more atom species is defined as
  48 \begin{equation}
  49 E_{\text{f}}=E-N_1\mu_1-N_2\mu_2 - \ldots
  50 \label{eq:defects:ef2}
  51 \end{equation}
  52 where $E$ is the free energy of the interstitial system and $N_i$ and $\mu_i$ are the amount of atoms and the chemical potential of species $i$.
  53 The chemical potential is determined by the cohesive energy of the structure of the specific type in equilibrium at zero Kelvin.
  54 For a defect configuration of a single species equation \ref{eq:defects:ef2} is equivalent to equation \ref{eq:defects:ef1}.
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  56 \section{Silicon self-interstitials}
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  60 \section{Carbon related point defects}
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  62 \section[Migration of the carbon \hkl<1 0 0> interstitial]{\boldmath Migration of the carbon \hkl<1 0 0> interstitial}
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  64 \section{Combination of point defects}
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