1 \chapter{Details of simulation parameters and test calculations}
2 \label{chapter:simulation}
4 All calculations are carried out utilizing the supercell approach, which means that the simulation cell contains a multiple of unti cells and periodic boundary conditions are imposed on the boundaries of that simulation cell.
5 Strictly, these supercells become the unit cells, which, by a periodic sequence, compose the bulk material that is actually investigated by this approach.
6 Thus, importance need to be attached to the construction of the supercell.
7 Three basic types of supercells to compose the initial Si bulk lattice, which can be scaled by integers in the different directions, are considered.
8 The basis vectors of the supercells are shown in Fig. \ref{fig:simulation:sc}.
9 \begin{figure}[t]
10 \begin{center}
11 \subfigure[]{\label{fig:simulation:sc1}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{sc_type0.eps}}
12 \subfigure[]{\label{fig:simulation:sc2}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{sc_type1.eps}}
13 \subfigure[]{\label{fig:simulation:sc3}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{sc_type2.eps}}
14 \end{center}
15 \caption{Basis vectors of three basic types of supercells used to create the initial Si bulk lattice.}
16 \label{fig:simulation:sc}
17 \end{figure}
18 Type 1 (Fig. \ref{fig:simulation:sc1}) constitutes the primitive cell.
19 The basis is face-centered cubic (fcc) and is given by $x_1=(0.5,0.5,0)$, $x_2=(0,0.5,0.5)$ and $x_3=(0.5,0,0.5)$.
20 Two atoms, one at $(0,0,0)$ and the other at $(0.25,0.25,0.25)$ with respect to the basis, generate the Si diamond primitive cell.
21 Type 2 (Fig. \ref{fig:simulation:sc2}) covers two primitive cells with 4 atoms.
22 The basis is given by $x_1=(0.5,-0.5,0)$, $x_2=(0.5,0.5,0)$ and $x_3=(0,0,1)$.
23 Type 3 (Fig. \ref{fig:simulation:sc3}) contains 4 primitive cells with 8 atoms and corresponds to the unit cell shown in Fig. \ref{fig:sic:unit_cell}.
24 The basis is simple cubic.
26 In the following an overview of the different simulation procedures and respective parameters is presented.
27 These procedures and parameters differ depending on whether classical potentials or {\em ab initio} methods are used and on what is going to be investigated.
29 \section{DFT calculations}
30 \label{section:simulation:dft_calc}
32 The first-principles DFT calculations are performed with the plane-wave-based Vienna {\em ab initio} simulation package ({\textsc vasp}) \cite{kresse96}.
33 The Kohn-Sham equations are solved using the GGA utilizing the exchange-correlation functional proposed by Perdew and Wang (GGA-PW91) \cite{perdew86,perdew92}.
34 The electron-ion interaction is described by norm-conserving ultra-soft pseudopotentials as implemented in {\textsc vasp} \cite{vanderbilt90}.
35 An energy cut-off of \unit{eV} is used to expand the wave functions into the plane-wave basis.
36 Sampling of the Brillouin zone is restricted to the $\Gamma$ point.
37 Spin polarization has been fully accounted for.
38 The electronic ground state is calculated by an interative Davidson scheme \cite{davidson75} until the difference in total energy of two subsequent iterations is below \unit[$10^{-4}$]{eV}.
40 Defect structures and the migration paths have been modeled in cubic supercells of type 3 containing 216 Si atoms.
41 The conjugate gradiant algorithm is used for ionic relaxation.
42 Migration paths are determined by the modified version of the CRT method as explained in section \ref{section:basics:migration}.
43 The cell volume and shape is allowed to change using the pressure control algorithm of Parinello and Rahman \cite{parrinello81} in order to realize constant pressure simulations.
44 Due to restrictions by the {\textsc vasp} code, {\em ab initio} MD could only be performed at constant volume.
45 In MD simulations the equations of motion are integrated by a fourth order predictor corrector algorithm for a timestep of \unit{fs}.
47 % todo
48 % All point defects are calculated for the neutral charge state.
50 Most of the parameter settings, as determined above, constitute a tradeoff regarding the tasks that need to be addressed.
51 These parameters include the size of the supercell, cut-off energy and $k$ point mesh.
52 The choice of these parameters is considered to reflect a reasonable treatment with respect to both, computational efficiency and accuracy, as will be shown in the next sections.
53 Furthermore, criteria concerning the choice of the potential and the exchange-correlation (XC) functional are being outlined.
54 Finally, the utilized parameter set is tested by comparing the calculated values of the cohesive energy and the lattice constant to experimental data.
56 \subsection{Supercell}
58 Describing defects within the supercell approach runs the risk of a possible interaction of the defect with its periodic, artificial images.
59 Obviously, the interaction reduces with increasing system size and will be negligible from a certain size on.
60 \begin{figure}[t]
61 \begin{center}
62 \includegraphics[width=0.7\textwidth]{si_self_int_thesis.ps}
63 \end{center}
64 \caption{Defect formation energies of several defects in c-Si with respect to the size of the supercell.}
65 \label{fig:simulation:ef_ss}
66 \end{figure}
67 To estimate a critical size the formation energies of several intrinsic defects in Si with respect to the system size are calculated.
68 An energy cut-off of \unit{eV} and a $4\times4\times4$ Monkhorst-Pack $k$-point mesh \cite{monkhorst76} is used.
69 The results are displayed in Fig. \ref{fig:simulation:ef_ss}.
70 The formation energies converge fast with respect to the system size.
71 Thus, investigating supercells containing more than 56 primitive cells or $112\pm1$ atoms should be reasonably accurate.
73 \subsection{Brillouin zone sampling}
75 Throughout this work sampling of the BZ is restricted to the $\Gamma$ point.
76 The calculation is usually two times faster and half of the storage needed for the wave functions can be saved since $c_{i,q}=c_{i,-q}^*$, where the $c_{i,q}$ are the Fourier coefficients of the wave function.
77 As discussed in section \ref{subsection:basics:bzs} this does not pose a severe limitation if the supercell is large enough.
78 Indeed, it was shown \cite{dal_pino93} that already for calculations involving only 32 atoms energy values obtained by sampling the $\Gamma$ point differ by less than \unit[0.02]{eV} from calculations using the Baldereschi point \cite{baldereschi73}, which constitutes a mean-value point in the BZ.
79 Thus, the calculations of the present study on supercells containing $108$ primitive cells can be considered sufficiently converged with respect to the $k$-point mesh.
81 \subsection{Energy cut-off}
83 To determine an appropriate cut-off energy of the plane-wave basis set a $2\times2\times2$ supercell of type 3 containing $32$ Si and $32$ C atoms in the 3C-SiC structure is equilibrated for different cut-off energies in the LDA.
84 % todo
85 % mention that results are within lda
86 \begin{figure}[t]
87 \begin{center}
88 \includegraphics[width=0.7\textwidth]{sic_32pc_gamma_cutoff_lc.ps}
89 \end{center}
90 \caption{Lattice constants of 3C-SiC with respect to the cut-off energy used for the plane-wave basis set.}
91 \label{fig:simulation:lc_ce}
92 \end{figure}
93 Fig. \ref{fig:simulation:lc_ce} shows the respective lattice constants of the relaxed 3C-SiC structure with respect to the cut-off energy.
94 As can be seen, convergence is reached already for low energies.
95 Obviously, an energy cut-off of \unit{eV}, although the minimum acceptable, is sufficient for the plane-wave expansion.
97 \subsection{Potential and exchange-correlation functional}
99 To find the most suitable combination of potential and XC functional for the C/Si system a $2\times2\times2$ supercell of type 3 of Si and C, both in the diamond structure, as well as 3C-SiC is equilibrated for different combinations of the available potentials and XC functionals.
100 To exclude a possibly corrupting influence of the other parameters highly accurate calculations are performed, i.e. an energy cut-off of \unit{eV} and a $6\times6\times6$ Monkhorst-Pack $k$-point mesh is used.
101 Next to the ultra-soft pseudopotentials \cite{vanderbilt90} {\textsc vasp} offers the projector augmented-wave method (PAW) \cite{bloechl94} to describe the ion-electron interaction.
102 The two XC functionals included in the test are of the LDA \cite{ceperley80,perdew81} and GGA \cite{perdew86,perdew92} type as implemented in {\textsc vasp}.
104 \begin{table}[t]
105 \begin{center}
106 \begin{tabular}{l r c c c c c}
107 \hline
108 \hline
109  & & USPP, LDA & USPP, GGA & PAW, LDA & PAW, GGA & Exp. \\
110 \hline
111 Si (dia) & $a$ [\AA] & 5.389 & 5.455 & - & - & 5.429 \\
112          & $\Delta_a$ [\%] & \unit[{\color{green}0.7}]{\%} & \unit[{\color{green}0.5}]{\%} & - & - & - \\
113        & $E_{\text{coh}}$ [eV] & -5.277 & -4.591 & - & - & -4.63 \\
114        & $\Delta_E$ [\%] & \unit[{\color{red}14.0}]{\%} & \unit[{\color{green}0.8}]{\%} & - & - & - \\
115 \hline
116 C (dia) & $a$ [\AA] & 3.527 & 3.567 & - & - & 3.567 \\
117          & $\Delta_a$ [\%] & \unit[{\color{green}1.1}]{\%} & \unit[{\color{green}0.01}]{\%} & - & - & - \\
118        & $E_{\text{coh}}$ [eV] & -8.812 & -7.703 & - & - & -7.374 \\
119        & $\Delta_E$ [\%] & \unit[{\color{red}19.5}]{\%} & \unit[{\color{orange}4.5}]{\%} & - & - & - \\
120 \hline
121 3C-SiC & $a$ [\AA] & 4.319 & 4.370 & 4.330 & 4.379 & 4.359 \\
122          & $\Delta_a$ [\%] & \unit[{\color{green}0.9}]{\%} & \unit[{\color{green}0.3}]{\%} & \unit[{\color{green}0.7}]{\%} & \unit[{\color{green}0.5}]{\%} & - \\
123        & $E_{\text{coh}}$ [eV] & -7.318 & -6.426 &  -7.371 & -6.491 & -6.340 \\
124        & $\Delta_E$ [\%] & \unit[{\color{red}15.4}]{\%} & \unit[{\color{green}1.4}]{\%} & \unit[{\color{red}16.3}]{\%} & \unit[{\color{orange}2.4}]{\%} & - \\
125 \hline
126 \hline
127 \end{tabular}
128 \end{center}
129 \caption[Equilibrium lattice constants and cohesive energies of fully relaxed structures of Si, C (diamond) and 3C-SiC for different potentials and XC functionals.]{Equilibrium lattice constants and cohesive energies of fully relaxed structures of Si, C (diamond) and 3C-SiC for different potentials (ultr-soft PP and PAW) and XC functionals (LDA and GGA). Deviations of the respective values from experimental values are given. Values are in good (green), fair (orange) and poor (red) agreement.}
130 \label{table:simulation:potxc}
131 \end{table}
132 Table \ref{table:simulation:potxc} shows the lattice constants and cohesive energies obtained for the fully relaxed structures with respect to the utilized potential and XC functional.
133 As expected, cohesive energies are poorly reproduced by the LDA whereas the equilibrium lattice constants are in good agreement.
134 Using GGA together with the ultra-soft pseudopotential yields improved lattice constants and, more importantly, a very nice agreement of the cohesive energies to the experimental data.
135 The 3C-SiC calculations employing the PAW method in conjunction with the LDA suffers from the general problem inherent to LDA, i.e. overestimated binding energies.
136 Thus, the PAW \& LDA combination is not pursued.
137 Since the lattice constant and cohesive energy of 3C-SiC calculated by the PAW method using the GGA are not improved compared to the ultra-soft pseudopotential calculations using the same XC functional, this concept is likewise stopped.
138 To conclude, the combination of ultr-soft pseudopotentials and the GGA XC functional are considered the optimal choice for the present study.
140 \subsection{Lattice constants and cohesive energies}
142 As a last test, the equilibrium lattice parameters and cohesive energies of Si, C (diamond) and 3C-SiC are again compared to experimental data.
143 However, in the current calculations, the entire parameter set as determined in the beginning of this section is applied.
144 \begin{table}[t]
145 \begin{center}
146 \begin{tabular}{l c c c}
147 \hline
148 \hline
149  & Si (dia) & C (dia) & 3C-SiC \\
150 \hline
151 $a$ [\AA] & 5.458 & 3.562 & 4.365 \\
152 $\Delta_a$ [\%] & 0.5 & 0.1 & 0.1 \\
153 \hline
154 $E_{\text{coh}}$ [eV] & -4.577 & -7.695 & -6.419 \\
155 $\Delta_E$ [\%] & 1.1 & 4.4 & 1.2 \\
156 \hline
157 \hline
158 \end{tabular}
159 \end{center}
160 \caption{Equilibrium lattice constants and cohesive energies of Si, C (diamond) and 3C-SiC using the entire parameter set as determined in the beginning of this section.}
161 \label{table:simulation:paramf}
162 \end{table}
163 Table \ref{table:simulation:paramf} shows the respective results and deviations from experiment.
164 A nice agreement with experimental results is achieved.
165 Clearly, a competent parameter set is found, which is capabale of describing the C/Si system by {\em ab initio} calculations.
167 % todo
168 % rewrite dft chapter
169 % ref for experimental values!
171 \section{Classical potential MD}
172 \label{section:classpotmd}
174 The classical potential MD method is much less computationally costly compared to the highly accurate quantum-mechanical method.
175 Thus, the method is capable of performing structural optimizations on large systems and MD calulations may be used to model a system over long time scales.
176 Defect structures are modeled in a cubic supercell (type 3) of nine Si lattice constants in each direction containing 5832 Si atoms.
177 Reproducing the SiC precipitation was attempted in cubic c-Si supercells, which have a size up to 31 Si unit cells in each direction consisting of 238328 Si atoms.
178 A Tersoff-like bond order potential by Erhart and Albe (EA) \cite{albe_sic_pot} is used to describe the atomic interaction.
179 Constant pressure simulations are realized by the Berendsen barostat \cite{berendsen84} using a time constant of \unit{fs} and a bulk modulus of \unit{GPa} for Si.
180 The temperature is controlled by the Berendsen thermostat \cite{berendsen84} with a time constant of \unit{fs}.
181 Integration of the equations of motion is realized by the velocity Verlet algorithm \cite{verlet67} using a fixed time step of \unit{fs}.
182 For structural relaxation of defect structures the same algorithm is utilized with the temperature set to zero Kelvin.
183 This also applies for the relaxation of structures within the CRT calculations to find migration pathways.
184 In the latter case the time constant of the Berendsen thermostat is set to \unit{fs} in order to achieve direct velocity scaling, which corresponds to a steepest descent minimazation driving the system into a local minimum, if the temperature is set to zero Kelvin.
185 However, in some cases  a time constant of \unit{fs} turned out to result in lower barriers.
186 Defect structures as well as the simulations modeling the SiC precipitation are performed in the isothermal-isobaric $NpT$ ensemble.
188 In addition to the bond order formalism the EA potential provides a set of parameters to describe the interaction in the C/Si system, as discussed in section \ref{subsection:interact_pot}.
189 There are basically no free parameters, which could be set by the user and the properties of the potential and its parameters are well known and have been extensively tested by the authors \cite{albe_sic_pot}.
190 Therefore, test calculations are restricted to the time step used in the Verlet algorithm to integrate the equations of motion.
191 Nevertheless, a further and rather uncommon test is carried out to roughly estimate the capabilities of the EA potential regarding the description of 3C-SiC precipitation in c-Si.
192 % todo
193 % rather a first investigation than a test
195 \subsection{Time step}
197 The quality of the integration algorithm and the occupied time step is determined by the ability to conserve the total energy.
198 Therefore, simulations of a $9\times9\times9$ 3C-SiC unit cell containing 5832 atoms in total are carried out in the $NVE$ ensemble.
199 The calculations are performed for \unit{ps} corresponding to $10^5$ integration steps and two different initial temperatures are considered, i.e. \unit{$^{\circ}$C} and \unit{$^{\circ}$C}.
200 \begin{figure}[t]
201 \begin{center}
202 \includegraphics[width=0.7\textwidth]{verlet_e.ps}
203 \end{center}
204 \caption{Evolution of the total energy of 3C-SiC in the $NVE$ ensemble for two different initial temperatures.}
205 \label{fig:simulation:verlet_e}
206 \end{figure}
207 The evolution of the total energy is displayed in Fig. \ref{fig:simulation:verlet_e}.
208 Almost no shift in energy is observable for the simulation at \unit{$^{\circ}$C}.
209 Even for \unit{$^{\circ}$C} the shift is as small as \unit[0.04]{eV}, which is a quite acceptable error for $10^5$ integration steps.
210 Thus, using a time step of \unit{ps} is considered small enough.
212 \subsection{3C-SiC precipitate in c-Si}
213 \label{section:simulation:prec}
215 Below, a spherical 3C-SiC precipitate enclosed in a c-Si surrounding is investigated by means of MD.
216 On the one hand, these investigations are meant to draw conclusions on the capabilities of the potential for modeling the respective tasks in the C/Si system.
217 Since, on the other hand, properties of the 3C-SiC precipitate, its surrounding as well as the interface can be obtained, the calculations could be considered to constitute a first investigation rather than a test of the capabilities of the potential.
219 \subsubsection{Interfacial energy}
221 To construct a spherical and topotactically aligned 3C-SiC precipitate in c-Si, the approach illustrated in the following is applied.
222 A total simulation volume $V$ consisting of 21 unit cells of c-Si in each direction is created.
223 To obtain a minimal and stable precipitate 5500 carbon atoms are considered necessary according to experimental results as discussed in section \ref{subsection:ibs} and \ref{section:assumed_prec}.
224 This corresponds to a spherical 3C-SiC precipitate with a radius of approximately \unit{nm}.
225 The initial precipitate configuration is constructed in two steps.
226 In the first step the surrounding Si matrix is created.
227 This is realized by just skipping the generation of Si atoms inside a sphere of radius $x$, which is the first unknown variable.
228 The Si lattice constant $a_{\text{Si}}$ of the surrounding c-Si matrix is assumed to not alter dramatically and, thus, is used for the initial lattice creation.
229 In a second step 3C-SiC is created inside the empty sphere of radius $x$.
230 The lattice constant $y$, the second unknown variable, is chosen in such a way, that the necessary amount of carbon is generated and that the total amount of silicon atoms corresponds to the usual amount contained in the simulation volume.
231 This is entirely described by the equation
232 \begin{equation}
233 \frac{8}{a_{\text{Si}}^3}(
234 V
235 -\frac{4}{3}\pi x^3)+
236 \frac{4}{y^3}\frac{4}{3}\pi x^3
237 =21^3\cdot 8
238 \text{ ,}
239 \label{eq:simulation:constr_sic_01}
240 \end{equation}
241 where the volume is given by $V=21^3 a_{\text{Si}}^3$ and the the additional condition $\frac{4}{y^3}\frac{4}{3}\pi x^3=5500$.
242 This can be simplified to read
243 \begin{equation}
244 \frac{8}{a_{\text{Si}}^3}\frac{4}{3}\pi x^3=5500
245 \Rightarrow x = \left(\frac{5500 \cdot 3}{32 \pi} \right)^{1/3}a_{\text{Si}}
246 \label{eq:simulation:constr_sic_02}
247 \end{equation}
248 and
249 \begin{equation}
250 %x^3=\frac{16\pi}{5500 \cdot 3}y^3=
251 %\frac{16\pi}{5500 \cdot 3}\frac{5500 \cdot 3}{32 \pi}a_{\text{Si}}^3
252 %\Rightarrow
253 y=\left(\frac{1}{2} \right)^{1/3}a_{\text{Si}}
254 \text{ .}
255 \label{eq:simulation:constr_sic_03}
256 \end{equation}
257 By this means values of \unit[2.973]{nm} and \unit[4.309]{\AA} are obtained for the initial precipitate radius and lattice constant of 3C-SiC.
258 Since the generation of atoms is a discrete process with regard to the size of the volume the expected amounts of atoms are not obtained.
259 However, by applying these values the final configuration varies only slightly from the expected one by five carbon and eleven silicon atoms, as can be seen in Table \ref{table:simulation:sic_prec}.
260 \begin{table}[t]
261 \begin{center}
262 \begin{tabular}{l c c c c}
263 \hline
264 \hline
265  & C in 3C-SiC & Si in 3C-SiC & Si in c-Si surrounding & total amount of Si\\
266 \hline
267 Obtained & 5495 & 5486 & 68591 & 74077\\
268 Expected & 5500 & 5500 & 68588 & 74088\\
269 Difference & -5 & -14 & 3 & -11\\
270 Notation & $N^{\text{3C-SiC}}_{\text{C}}$ & $N^{\text{3C-SiC}}_{\text{Si}}$
271          & $N^{\text{c-Si}}_{\text{Si}}$ & $N^{\text{total}}_{\text{Si}}$ \\
272 \hline
273 \hline
274 \end{tabular}
275 \caption{Comparison of the expected and obtained amounts of Si and C atoms by applying the values from equations \eqref{eq:simulation:constr_sic_02} and \eqref{eq:simulation:constr_sic_03} in the 3C-SiC precipitate construction approach.}
276 \label{table:simulation:sic_prec}
277 \end{center}
278 \end{table}
280 After the initial configuration is constructed some of the atoms located at the 3C-SiC/c-Si interface show small distances, which results in high repulsive forces acting on the atoms.
281 Thus, the system is equilibrated using strong coupling to the heat bath, which is set to be \unit{$^{\circ}$C}.
282 Once the main part of the excess energy is carried out previous settings for the Berendsen thermostat are restored and the system is relaxed for another \unit{ps}.
284 \begin{figure}[t]
285 \begin{center}
286 \includegraphics[width=0.7\textwidth]{pc_0.ps}
287 \end{center}
288 \caption[Radial distribution of a 3C-SiC precipitate embedded in c-Si at $20\,^{\circ}\mathrm{C}$.]{Radial distribution of a 3C-SiC precipitate embedded in c-Si at \unit{$^{\circ}$C}. The Si-Si radial distribution of plain c-Si is plotted for comparison. Green arrows mark bumps in the Si-Si distribution of the precipitate configuration, which do not exist in plain c-Si.}
289 \label{fig:simulation:pc_sic-prec}
290 \end{figure}
291 Fig. \ref{fig:simulation:pc_sic-prec} shows the radial distribution of the obtained precipitate configuration.
292 The Si-Si radial distribution for both, plain c-Si and the precipitate configuration show a maximum at a distance of \unit[0.235]{nm}, which is the distance of next neighboured Si atoms in c-Si.
293 Although no significant change of the lattice constant of the surrounding c-Si matrix was assumed, surprisingly, there is no change at all within observational accuracy.
294 Looking closer at higher order Si-Si peaks might even allow the guess of a slight increase of the lattice constant compared to the plain c-Si structure.
295 A new Si-Si peak arises at \unit[0.307]{nm}, which is identical to the peak of the C-C distribution around that value.
296 It corresponds to second next neighbors in 3C-SiC, which applies for Si as well as C pairs.
297 The bumps of the Si-Si distribution at higher distances marked by the green arrows can be explained in the same manner.
298 They correspond to the fourth and sixth next neighbor distance in 3C-SiC.
299 It is easily identifiable how these C-C peaks, which imply Si pairs at same distances inside the precipitate, contribute to the bumps observed in the Si-Si distribution.
300 The Si-Si and C-C peak at \unit[0.307]{nm} enables the determination of the lattic constant of the embedded 3C-SiC precipitate.
301 A lattice constant of \unit[4.34]{\AA} compared to \unit[4.36]{\AA} for bulk 3C-SiC is obtained.
302 This is in accordance with the peak of Si-C pairs at a distance of \unit[0.188]{nm}.
303 Thus, the precipitate structure is slightly compressed compared to the bulk phase.
304 This is a quite surprising result since due to the finite size of the c-Si surrounding a non-negligible impact of the precipitate on the materializing c-Si lattice constant especially near the precipitate could be assumed.
305 However, it seems that the size of the c-Si host matrix is chosen large enough to even find the precipitate in a compressed state.
307 The absence of a compression of the c-Si surrounding is due to the possibility of the system to change its volume.
308 Otherwise the increase of the lattice constant of the precipitate of roughly \unit[4.31]{\AA} in the beginning up to \unit[4.34]{\AA} in the relaxed precipitate configuration could not take place without an accompanying reduction of the lattice constant of the c-Si surrounding.
309 If the total volume is assumed to be the sum of the volumes that are composed of Si atoms forming the c-Si surrounding and Si atoms involved forming the precipitate, the expected increase can be calculated by
310 \begin{equation}
311  \frac{V}{V_0}=
312  \frac{\frac{N^{\text{c-Si}}_{\text{Si}}}{8/a_{\text{c-Si prec}}}+
313  \frac{N^{\text{3C-SiC}}_{\text{Si}}}{4/a_{\text{3C-SiC prec}}}}
314  {\frac{N^{\text{total}}_{\text{Si}}}{8/a_{\text{plain c-Si}}}}
315 \end{equation}
316 with the notation used in Table \ref{table:simulation:sic_prec}.
317 Here, $a_{\text{c-Si prec}}$ denotes the lattice constant of the surrounding crystalline Si and $a_{\text{3C-SiC prec}}$ is the lattice constant of the precipitate.
318 The lattice constant of plain c-Si at \unit{$^{\circ}$C} can be determined more accurately by the side lengthes of the simulation box of an equilibrated structure instead of using the radial distribution data.
319 By this, a value of $a_{\text{plain c-Si}}=5.439\,\text{\AA}$ is obtained.
320 The same lattice constant is assumed for the c-Si surrounding in the precipitate configuration $a_{\text{c-Si prec}}$ since peaks in the radial distribution match the ones of plain c-Si.
321 Using $a_{\text{3C-SiC prec}}=4.34\,\text{\AA}$ as observed from the radial distribution finally results in an increase of the initial volume by \unit[0.12]{\%}.
322 However, each side length and the total volume of the simulation box is increased by \unit[0.20]{\%} and \unit[0.61]{\%} respectively compared to plain c-Si at \unit{$^{\circ}$C}.
323 Since the c-Si surrounding resides in an uncompressed state the excess increase must be attributed to relaxation of strain with the strain resulting from either the compressed precipitate or the 3C-SiC/c-Si interface region.
324 This also explains the possibly identified slight increase of the c-Si lattice constant in the surrounding as mentioned earlier.
325 As the pressure is set to zero the free energy is minimized with respect to the volume enabled by the Berendsen barostat algorithm.
326 Apparently the minimized structure with respect to the volume is a configuration of a small compressively stressed precipitate and a large amount of slightly stretched c-Si in the surrounding.
328 To finally draw some conclusions concerning the capabilities of the potential, the 3C-SiC/c-Si interface is now addressed.
329 One important size analyzing the interface is the interfacial energy.
330 A good estimate of the interfacial energy should be obtained by utilizing the formula for determining the defect formation energy as described in equation \eqref{eq:basics:ef2}.
331 Using the notation of Table \ref{table:simulation:sic_prec} and assuming that the system is composed out of $N^{\text{3C-SiC}}_{\text{C}}$ C atoms forming the SiC compound plus the remaining Si atoms, the energy is given by
332 \begin{equation}
333  E_{\text{f}}=E-
334  N^{\text{3C-SiC}}_{\text{C}} E_{\text{coh}}^{\text{SiC}}-
335  \left(N^{\text{total}}_{\text{Si}}-N^{\text{3C-SiC}}_{\text{C}}\right)
336  \mu_{\text{coh}}^{\text{Si}} \text{ ,}
337 \label{eq:simulation:ife}
338 \end{equation}
339 where $E$ is the total energy of the precipitate configuration at zero temperature.
340 An interfacial energy of \unit[2267.28]{eV} is obtained.
341 The amount of C atoms together with the observed lattice constant of the precipitate leads to a precipitate radius of \unit[29.93]{\AA}.
342 Thus, the interface tension, given by the energy of the interface devided by the surface area of the precipitate is \unit[20.15]{eV/nm$^2$} or \unit[$3.23\times 10^{-4}$]{J/cm$^2$}.
343 This value perfectly fits within the eperimentally estimated range of \unit[$2-8\times10^{-4}$]{J/cm$^2$} \cite{taylor93}.
344 Thus, the EA potential is considered an appropriate choice for the current study concerning the accurate description of the energetics of interfaces.
345 Furthermore, since the calculated interfacial energy is located in the lower part of the experimental range, the obtained interface structure might resemble an authentic configuration of an energetically favorable interface structure of a 3C-SiC precipitate in c-Si.
347 % todo
348 % nice to reproduce this value!
350 \subsubsection{Stability of the precipitate}
352 To investigate the stability of the precipiate, which is assumed to be stable even at temperatures above the Si melting temperature, the configuration is heated up beyond the critical point, at which the Si melting transition occurs.
353 For this, the transition point of c-Si needs to be evaluated first.
354 According to the authors of the potential, the Si melting point is \degk{2450}.
355 However, melting is not predicted to occur instantly after exceeding the melting point due to the additionally required transition enthalpy and hysteresis behaviour.
356 To determine the transition point, c-Si is heated up using a heating rate of \unit{$^{\circ}$C/ps}.
357 \begin{figure}[tp]
358 \begin{center}
359 \includegraphics[width=0.7\textwidth]{fe_and_t.ps}
360 \end{center}
361 \caption{Total energy and temperature evolution of c-Si at temperatures in the region around the melting transition.}
362 \label{fig:simulation:fe_and_t}
363 \end{figure}
364 Fig.~\ref{fig:simulation:fe_and_t} shows the total energy and temperature evolution in the region around the transition temperature.
365 Indeed, a transition and the accompanied critical behaviour of the total energy is first observed at approximately \degk{3125}, which corresponds to \unit{\%} of the Si melting temperature.
366 The difference in total energy is \unit[0.58]{eV} per atom corresponding to \unit[55.7]{kJ/mole}, which compares quite well to the Si enthalpy of melting of \unit[50.2]{kJ/mole}.
368 The precipitate structure is heated up using the same heating rate.
369 As can be seen in Fig.~\ref{fig:simulation:sic_melt}, which shows a cross-sectional image of the configuration at different temperatures, the precipitate is stable whereas melting of the surrounding Si host matrix starting at the interface region is observed.
370 \begin{figure}[tp]
371 \begin{center}
372 \subfigure[]{\label{fig:simulation:sic_melt1}\includegraphics[width=7cm]{sic_prec/melt_01.eps}}
373 \subfigure[]{\label{fig:simulation:sic_melt2}\includegraphics[width=7cm]{sic_prec/melt_02.eps}}
374 \subfigure[]{\label{fig:simulation:sic_melt3}\includegraphics[width=7cm]{sic_prec/melt_03.eps}}
375 \end{center}
376 \caption{Cross section image of the 3C-SiC precipitate in c-Si at temperatures before (a), at the onset of (b) and after (c) the Si melting transition.}
377 \label{fig:simulation:sic_melt}
378 \end{figure}
379 This is verified by the radial distribution function shown in Fig.~\ref{fig:simulation:pc_500-fin}, which displays configurations before and after the Si transition occurs.
380 \begin{figure}[tp]
381 \begin{center}
382 \includegraphics[width=0.7\textwidth]{pc_500-fin.ps}
383 \end{center}
384 \caption{Radial distribution of a 3C-SiC precipitate embedded in c-Si at temperatures below and above the Si melting transition point.}
385 \label{fig:simulation:pc_500-fin}
386 \end{figure}
387 The precipitate itself is not involved in the transition, as indicated by the Si-C and C-C distribution, which essentially stays the same.
388 It is only the c-Si surrounding undergoing a structural phase transition, which is very well reflected by the difference observed for the respective Si-Si distributions.
389 The temperature of transition is determined to be around \degk{2840}.
390 This is surprising since the melting transition of c-Si for the same heating conditions is expected at temperatures around \degk{3125} as discussed above.
391 Obviously, the precipitate lowers the transition point of the surrounding c-Si matrix.
392 This is indeed verified by the cross-sectional images of the configurations shown in Fig.~\ref{fig:simulation:sic_melt}.
393 Melting of the Si surrounding in fact starts in the defective interface region of the 3C-SiC precipitate and the c-Si surrounding propagating outwards until the whole Si matrix is affected.
395 \subsubsection{Concluding remarks}
397 To conclude, the obtained results, particularly the accurate value of the interface energy, the Si enthalpy of melting as well as the stability of the 3C-SiC structure give quite a good feeling concerning the applicability of the potential.
399 %Since the precipitate configuration is artificially constructed, the resulting interface does not necessarily correspond to the energetically most favorable configuration or to the configuration that is expected for an actually grown precipitate.
400 %Thus, annealing steps are appended to the gained structure in order to allow for a rearrangement of the atoms of the interface.
401 %The precipitate structure is rapidly heated up to \unit{$^{\circ}$C} with a heating rate of approximately \unit{$^{\circ}$C/ps}.
402 %From that point on the heating rate is reduced to \unit{$^{\circ}$C/ps} and heating is continued upto \unit{\%} of the Si melting temperature of the potential, i.e. \unit{K}.
403 %\begin{figure}[t]
404 %\begin{center}
405 %\includegraphics[width=0.7\textwidth]{fe_and_t_sic.ps}
406 %\end{center}
407 %\caption{Total energy and temperature evolution of a 3C-SiC precipitate embedded in c-Si at temperatures above the Si melting point.}
408 %\label{fig:simulation:fe_and_t_sic}
409 %\end{figure}
410 %Figure \ref{fig:simulation:fe_and_t_sic} shows the total energy and temperature evolution.
411 %The sudden increase of the total energy indicates possible melting occuring around \unit{K}.
412 %\begin{figure}[ht]
413 %\begin{center}
414 %\includegraphics[width=0.7\textwidth]{pc_500-fin.ps}
415 %\end{center}
416 %\caption{Radial distribution of a 3C-SiC precipitate embedded in c-Si at temperatures below and above the Si melting transition point.}
417 %\label{fig:simulation:pc_500-fin}
418 %\end{figure}
419 %Investigating the radial distribution function shown in figure \ref{fig:simulation:pc_500-fin}, which shows configurations below and above the temperature of the estimated transition, indeed supports the assumption of melting gained by the total energy plot in Fig. \ref{fig:simulation:fe_and_t_sic}.
420 %However, the precipitate itself is not involved, as can be seen from the Si-C and C-C distribution, which essentially stays the same for both temperatures.
421 %Thus, it is only the c-Si surrounding undergoing a structural phase transition, which is very well reflected by the difference observed for the two Si-Si distributions.
422 %This is surprising since the melting transition of plain c-Si for the same heating conditions is expected at temperatures around \unit{K}, as will be discussed later in section \ref{subsection:md:tval}.
423 %Obviously the precipitate lowers the transition point of the surrounding c-Si matrix.
424 %This is indeed verified by visualizing the atomic data.
425 %% ./visualize -w 640 -h 480 -d saves/sic_prec_120Tm_cnt1 -nll -11.56 -0.56 -11.56 -fur 11.56 0.56 11.56 -c -0.2 -24.0 0.6 -L 0 0 0.2 -r 0.6 -B 0.1
426 %\begin{figure}[tp]
427 %\begin{center}
428 %\begin{minipage}{7cm}
429 %\includegraphics[width=7cm,draft=false]{sic_prec/melt_01.eps}
430 %\end{minipage}
431 %\begin{minipage}{7cm}
432 %\includegraphics[width=7cm,draft=false]{sic_prec/melt_02.eps}
433 %\end{minipage}
434 %\begin{minipage}{7cm}
435 %\includegraphics[width=7cm,draft=false]{sic_prec/melt_03.eps}
436 %\end{minipage}
437 %\end{center}
438 %\caption{Cross section image of the precipitate configuration gained by annealing simulations of the constructed 3C-SiC precipitate in c-Si at \unit{ps} (top left), \unit{ps} (top right) and \unit{ps} (bottom).}
439 %\label{fig:simulation:sic_melt}
440 %\end{figure}
441 %Fig. \ref{fig:simulation:sic_melt} shows cross section images of the atomic structures at different times and temperatures.
442 %As can be seen from the image at \unit{ps} melting of the Si surrounding in fact starts in the defective interface region of the 3C-SiC precipitate and the c-Si surrounding propagating outwards until the whole Si matrix is affected at \unit{ps}.
443 %As predicted from the radial distribution data the precipitate itself indeed remains stable.
444 %
445 %For the rearrangement simulations temperatures well below the transition point should be used since it is very unlikely to recrystallize the molten Si surrounding properly when cooling down.
446 %To play safe the precipitate configuration at \unit{\%} of the Si melting temperature is chosen and cooled down to \unit{$^{\circ}$C} with a cooling rate of \unit{$^{\circ}$C/ps}.
447 %However, an energetically more favorable interface is not obtained by quenching this structure to zero Kelvin.
448 %Obviously the increased temperature run enables structural changes that are energetically less favorable but can not be exploited to form more favorable configurations by an apparently yet too fast cooling down process.