solid_state_physics/tutorial/1_05.tex

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  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27
  28 \begin{document}
  29
  30 % header
  31 \begin{center}
  32  {\LARGE {\bf Materials Physics I}\\}
  33  \vspace{8pt}
  34  Prof. B. Stritzker\\
  35  WS 2007/08\\
  36  \vspace{8pt}
  37  {\Large\bf Tutorial 5}
  38 \end{center}
  39
  40 \section{Charge carrier density of intrinsic semiconductors}
  41
  42 \begin{enumerate}
  43  \item Recall the free electron in a box.
  44        Write down an expression for the density of states $D(E)$
  45        of the free electron gas.
  46        {\bf Hint:} The density of states is a function of internal energy $E$
  47                    such that $D(E)dE$ is the number of states
  48                    (allowed $k$-values) with energies
  49                    between $E$ and $E+dE$.
  50                    For large values of $L$ (side length of the box)
  51                    the states are quasi-continuous and
  52                    sums in $k$-space can be replaced by integrals.
  53                    First calculate the amount of states $dZ'$
  54                    in-between $k$ and $k+dk$.
  55                    Therefor calculate the volume of the sperical shell
  56                    and the volume of a single allowed $k$-point.
  57                    Neglect terms of the order $(dk^2)$.
  58                    After that express $dk$ and $k$ by $dE$ and $E$
  59                    and insert these expressions into $dZ'$.
  60                    By definition $D(E)=dZ/dE$,
  61                    where $dZ$ is $dZ'$ devided by the box volume
  62                    (states per crystal volume).
  63                    Adjust the expression taking into account
  64                    the spin of an electron.
  65  \item The conduction and valence band in a semiconductor can be approximated
  66        by the same parabolic functions of $k$ close to the bandedges.
  67        The mass of the electron is replaced by an effective mass
  68        of the electron in the conduction band or the hole in the valence band.
  69        Show the relation of the effective mass and the curvature of the band.
  70        {\bf Hint:} The curvature of a function $f(x)$ is given by the second
  71                    derivative of this function with respect to $x$.
  72  \item Sketch the density of states, the Fermi function and the resulting
  73        density of charge carriers (electrons: $m_n$, holes: $m_p$)
  74        for $m_n=m_p$ and for $m_n\ne m_p$ for non-zero temperatures.
  75        {\bf Hint:} The density of states is given by
  76                    $D_c(E)=\frac{1}{2\pi^2}(\frac{2m_n}{\hbar^2})^{3/2}
  77                          (E-E_c)^{1/2}$ for electrons in the conduction band and
  78                    $D_v(E)=\frac{1}{2\pi^2}(\frac{2m_p}{\hbar^2})^{3/2}
  79                          (E_v-E)^{1/2}$ for holes in the valence band.
  80                    $E_c$ is the lowest energy level of the conduction and
  81                    $E_v$ the highest energy level of the valence band.
  82                    Thus the bandgap energy is given by $E_g=E_c-E_v$.
  83                    The density of charge carriers is the product of $D(E)$ and
  84                    the Fermi function $f(E)$.
  85                    The Fermi energy $E_F$ adjusts itself in such a way that
  86                    the amount of electrons and holes equals.
  87                    Keep in mind that the distribution valid for the holes is
  88                    $1-f(E)$.
  89 \end{enumerate}
  90
  91 \section{'Density of state mass' of holes in silicon}
  92
  93 The valence band of silicon is composed by three subbands.
  94 Two of them contact at the $\Gamma$-point ($k=0$),
  95 the one for heavy holes ($m_{ph}$) and the one for light holes ($m_{pl}$).
  96 An additional split-off hole band ($m_{pso}$) is located
  97 shortly below the first two bands (see Figure).
  98
  99 \begin{enumerate}
 100  \item Assume parabolic bands near $k=0$.
 101        Write down the total density of states
 102        near the maximum of the valence band.
 103        Only consider heavy and light holes.
 104  \item Write the above result in terms of a density of states expression
 105        of a parabolic band with a single uniform effective mass $m_p$.
 106        Determine this 'density of state mass' $m_p$.
 107        Calculate $m_p$ using the values $m_{ph}=0.49 \, m_e$ and
 108        $m_{pl}=0.16 \, m_e$ in which $m_e$ is the electron rest mass.
 109 \end{enumerate}
 110
 111 \vspace{0.5cm}
 112
 113 \begin{picture}(0,0)(0,140)
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 116
 117 \begin{flushright}
 118 \begin{minipage}{5cm}
 119 \end{minipage}
 120 \begin{minipage}{3cm}
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 122 \end{minipage}
 123 \begin{minipage}{5cm}
 124 \begin{center}
 125 {\Large\bf
 126  Merry Christmas\\
 127  \&\\
 128  Happy New Year!}
 129 \end{center}
 130 \end{minipage}
 131 \end{flushright}
 132
 133 \end{document}