completed monte carlo

[lectures/latex.git] / ising / ising.tex

diff --git a/ising/ising.tex b/ising/ising.tex
index c875d9c..dabfe18 100644 (file)
--- a/ising/ising.tex
+++ b/ising/ising.tex
@@ -337,9 +337,33 @@ Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust
 \[
  <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
 \]
-$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in einer Computersimulation. Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung biette der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
-\\
-Pseudocode:
+$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in der Computersimulation.
+\begin{itemize}
+ \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
+ \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s dir Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
+\end{itemize}
+Damit gilt:
+\[
+ P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
+\]
+und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
+Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
+\[
+ W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t)
+\]
+und somit gilt:
+\[
+ \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
+\]
+Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
+\[
+ W(A \rightarrow B) = \left\{
+ \begin{array}{ll}
+  e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
+  1 & : \delta E < 0
+ \end{array} \right.
+\]
+Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
 \begin{itemize}
 \item Gehe alle Gitterplaetze durch
 \item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
@@ -349,7 +373,7 @@ Pseudocode:
 
 \chapter{Anwendungen}
 \begin{itemize}
-\item Spingl"aser
+\item Spingl"aser [\ref{lit8}]
  \begin{itemize}
  \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
  \item Beobachtungen:
@@ -364,7 +388,7 @@ Pseudocode:
   \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
   \end{itemize}
  \end{itemize}
-\item Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis
+\item Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis [\ref{lit8}]
  \begin{itemize}
   \item Traveling Salesman Problem:
    \begin{itemize}
@@ -426,6 +450,7 @@ Pseudocode:
 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
+\item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis
 \end{enumerate}
 
 \end{document}