\tableofcontents
\mainmatter
-\chapter{Einfuehrung}
+\chapter{EinfΓΌhrung}
-\section{Zustandssumme und benoetigte Groessen}
-Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle moeglichen Zustaende (Mikrozustaende).
+\section{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
+Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle m"oglichen Mikrozust"ande.
\[
Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \, e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
\]
-Sie ist eine fundamentale Groesse in der statistischen Physik. Von ihr koennen viele wichtige Groessen abgeleitet werden.
-\[
-\begin{array}{l}
- \textrm{Wahrscheinlichkeit fuer Zustand} \, i \quad P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta} \\
- \textrm{freie Energie} \quad F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z \\
- \textrm{Magnetisierung} \quad M = - \frac{\partial F}{\partial B} \\
- \textrm{magnetische Suszeptibilitaet} \quad \chi = - \frac{\partial M}{\partial H}
-\end{array}
-\]
+Sie ist eine fundamentale Gr"o"se in der statistischen Physik. Von ihr k"onnen viele wichtige Gr"o"sen abgeleitet werden.
+\begin{itemize}
+\item Wahrscheinlichkeit fuer Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
+\item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$
+\item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
+\item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
+\item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
+\end{itemize}
-\section{Phasenuebergaenge}
-Die Phase ist eine moegliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen aeussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
+\section{Phasen"uberg"ange}
+Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "aussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
\begin{itemize}
\item Dichte
\item Magnetisierung
-\item elektrische Leitfaehigkeit
+\item elektrische Leitf"ahigkeit
\end{itemize}
-Mit einem Phasenuebergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase aendert. Man unterscheidet Uebrgaenge erster Ordnung (diskontinuierlich) und Uebergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
+Mit einem Phasen"ubergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase "andert. Man unterscheidet "Ubrg"ange erster Ordnung (diskontinuierlich) und "Ubergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
\begin{itemize}
\item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
-\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilitaet)
+\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
\end{itemize}
+\section{Kritische Exponenten}
+In der N"ahe eines Phasen"ubergangs beobachtet man das gewisse physikalische Gr"oe"sen Potenzgesetzen gehorchen. Diese Exponenten beschreiben wie die physikalischen Gr"o"sen nahe $T_C$ divergieren.
+\begin{itemize}
+\item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
+\item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
+\item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^\gamma$
+\end{itemize}
+Anmerkung:\\
+Kritische Exponenten sind zu einem hohen Grad universell, d.h. sie h"angen nur von fundamentalen Parametern wie Dimension, Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung und Spindimensionalit"at ab, und nicht vom Modell selbst. Damit lassen sich Universalit"atsklassen definieren.
+
\section{Idee des Ising Modells}
Modellannahmen:
\begin{itemize}
\item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
\end{itemize}
Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen (Divergenz von $\chi$).
+\\
+Molekularfeldn"aherung:\\
+Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>)$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben:
+\[
+ S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
+\]
+wobei $m=\frac{1}{N}(sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian,
+\[
+ H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
+\]
+und Zustandssumme:
+\[
+\begin{array}{ll}
+ Z & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
+ & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
+ & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
+\end{array}
+\]
+Damit erhalten wir f"ur die freie Energie und Magnetisierung pro Spin folgendes:
+\[
+\begin{array}{l}
+ g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
+ m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
+\end{array}
+\]
+Legt man nun kein magnetisches Feld $B_0$ an, so hat man eine implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung
+\[
+ \tanh (\beta Jm) = m
+\]
+die grafisch diskutiert werden kann.
+\\
+\setlength{\unitlength}{2cm}
+\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
+ \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
+ \put(2.7,-0.1){$m$}
+ \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
+ \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+ \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+ \put(0.2,1.4){$f(m)$}
+ \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
+ \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
+\end{picture}
+
+
+
+
\chapter{Loesungen des Ising Modells}
\section{1-dimensionale Loesung}
-\setlength{\unitlength}{0.5cm}
+\setlength{\unitlength}{1.5cm}
\begin{picture}(10,2)
\thicklines
\put(0,0.7){$\bullet$}
projects / lectures / latex.git / blobdiff