\begin{slide}
\slideheading{Kritische Exponenten}
-Physikalische Gr"oe"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs
+Physikalische Gr"o"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs
\begin{itemize}
\item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
\item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
\item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
\end{itemize}
Anmerkung:\\
-$\rightarrow$ Abhaengig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Universalit"atsklassen
+$\rightarrow$ Abh"angig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Universalit"atsklassen
\end{slide}
\begin{slide}
Modellannahmen:
\begin{itemize}
\item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
-\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
+\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellm"oglichkeiten an jedem Gitterpunkt
\[
\mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
\]
Approximation: Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$\\
Spin-Wechselwirkungs-Term:
\[
- S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
+\begin{array}{ll}
+ S_iS_j & = (S_i-m+m)(S_j-m+m)\\
+ & = m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
+\end{array}
\]
wobei:
\begin{itemize}
\begin{slide}
\begin{itemize}
-\item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$ bei $m=0$
-\item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ bei $m=0$
+\item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$
+\item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ f"ur $m=0$
\end{itemize}
% \setlength{\unitlength}{2cm}
% \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\end{slide}
\begin{slide}
-\section{Loesungen des Ising Modells}
+\section{L"osungen des Ising Modells}
\end{slide}
\begin{slide}
\item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
\item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
\end{itemize}
-Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$
+Abk"urzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$
\end{slide}
\begin{slide}
Zustandssumme:
\[
\begin{array}{ll}
- \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
+ \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
\displaystyle & \displaystyle = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
\displaystyle & \displaystyle = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
\end{array}
\]
\begin{itemize}
-\item Trick: Vollstaendigkeit der Spinzustaende
+\item Trick: Vollst"andigkeit der Spinzust"ande
\item $\textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N$ ist Darstellungsunabh"angig
\item Eigenwerte: $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$
\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
-Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
+F"ur den Fall $B_0 = 0$ gilt:
\[
\begin{array}{l}
\displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
- \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
+ \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
\displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
\end{array}
\]
-weil $\lambda_+^N$ viel groesser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\
+weil $\lambda_+^N$ viel gr"o"ser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\
Magnetisierung:
\[
\begin{array}{ll}
\begin{slide}
Abbidlung:
\begin{itemize}
-\item Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld
-\item Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
+\item Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld
+\item Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
\item S"attigung f"ur gro"se Magnetfelder
\end{itemize}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{slide}
Erkenntnis:
\begin{itemize}
-\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
-\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
+\item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
+\item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
\end{itemize}
F"ur $T=0$:
\[
- \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{obere Approximation nichtmehr g"ultig)}
+ \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{, ist obere Approximation nichtmehr g"ultig}
\]
Phasen"ubergang bei $B_0=T=0$ (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich)\\
Kritische Exponenten:
\item keine exakte analytische L"osung
\item "uberzeugende Resultate durch Approximation und Monte Carlo Simulation
\item keine wieteren Informationen aus exakter L"osung erwartet
-\item $d=3$ Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange
+\item $d=3$ Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange
\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
Realisierung einer Boltzmannverteilung: Metropolis Algorithmus\\
-$[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
+$[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/
\[
W(A \rightarrow B) = \left\{
\begin{array}{ll}
Pseudocode:
\begin{itemize}
\item Gehe alle Gitterpl"atze durch
-\item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)
+\item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)
\item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
\item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$))
\end{itemize}
\item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
\item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
\item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
-\item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
+\item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/
\item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
\item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
\item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
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