X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?p=lectures%2Flatex.git;a=blobdiff_plain;f=ising%2Fising.tex;h=dabfe18c7517b95a6509fb2e8de2752879e157d4;hp=3ca8771f4b2261f4693ecf842944c5d15c0bfa7d;hb=92ef06d973ba2820596a94bcfb2e4f8e723a5ce3;hpb=7bdb66aeeef3af0f20b02c4fa7a6d149c81b62b5

diff --git a/ising/ising.tex b/ising/ising.tex
index 3ca8771..dabfe18 100644
--- a/ising/ising.tex
+++ b/ising/ising.tex
@@ -337,9 +337,33 @@ Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust
 \[
  <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
 \]
-$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in einer Computersimulation. Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung biette der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
-\\
-Pseudocode:
+$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in der Computersimulation.
+\begin{itemize}
+ \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
+ \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s dir Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
+\end{itemize}
+Damit gilt:
+\[
+ P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
+\]
+und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
+Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
+\[
+ W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t)
+\]
+und somit gilt:
+\[
+ \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
+\]
+Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
+\[
+ W(A \rightarrow B) = \left\{
+ \begin{array}{ll}
+  e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
+  1 & : \delta E < 0
+ \end{array} \right.
+\]
+Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
 \begin{itemize}
 \item Gehe alle Gitterplaetze durch
 \item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
@@ -349,8 +373,49 @@ Pseudocode:
 
 \chapter{Anwendungen}
 \begin{itemize}
-\item Spingl"aser
-\item Optimierung und Ged"achtnis
+\item Spingl"aser [\ref{lit8}]
+ \begin{itemize}
+ \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
+ \item Beobachtungen:
+  \begin{itemize}
+  \item keine spontane Magnetisierung
+  \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
+  \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, die sehr langsam relaxiert
+  \end{itemize}
+ \item Modell:
+  \begin{itemize}
+  \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
+  \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
+  \end{itemize}
+ \end{itemize}
+\item Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis [\ref{lit8}]
+ \begin{itemize}
+  \item Traveling Salesman Problem:
+   \begin{itemize}
+   \item "Aufheizen" des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
+   \item "Abk"uhlen des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
+   \end{itemize}
+  \item Ged"achtnis:
+  \begin{itemize}
+  \item Modell:
+   \[
+    \begin{array}{ll}
+     S_i  & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
+     S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
+     S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
+     J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
+     \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
+    \end{array}
+   \]
+  \item einige Eigenschaften
+   \begin{itemize}
+   \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
+   \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
+   \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
+   \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
+   \end{itemize}
+  \end{itemize}
+ \end{itemize}
 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
  \[
   \begin{array}{ll}
@@ -385,6 +450,7 @@ Pseudocode:
 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
+\item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis
 \end{enumerate}
 
 \end{document}