X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?p=lectures%2Flatex.git;a=blobdiff_plain;f=ising%2Fising_slides.tex;h=29a79263ba9d8f97208bce6eb4c04e872f2e3894;hp=48c1cd71215cb42683d13e374d737f2250d69b1b;hb=HEAD;hpb=f14dad2b7ace6d51b2b1857b5b9f19337c04f7c2 diff --git a/ising/ising_slides.tex b/ising/ising_slides.tex index 48c1cd7..29a7926 100644 --- a/ising/ising_slides.tex +++ b/ising/ising_slides.tex @@ -83,14 +83,14 @@ Phasen"ubergang verbunden mit kritischen Bereich einer Variablen \begin{slide} \slideheading{Kritische Exponenten} -Physikalische Gr"oe"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs +Physikalische Gr"o"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs \begin{itemize} \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$ \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$ \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$ \end{itemize} Anmerkung:\\ -$\rightarrow$ Abhaengig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Universalit"atsklassen +$\rightarrow$ Abh"angig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Universalit"atsklassen \end{slide} \begin{slide} @@ -99,7 +99,7 @@ Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\ Modellannahmen: \begin{itemize} \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$ -\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt +\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellm"oglichkeiten an jedem Gitterpunkt \[ \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i \] @@ -128,7 +128,10 @@ Molekularfeldn"aherung:\\ Approximation: Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-$\\ Spin-Wechselwirkungs-Term: \[ - S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m) +\begin{array}{ll} + S_iS_j & = (S_i-m+m)(S_j-m+m)\\ + & = m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m) +\end{array} \] wobei: \begin{itemize} @@ -169,8 +172,8 @@ implizite Bestimmungsgleichung f"ur $B_0=0$: \begin{slide} \begin{itemize} -\item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$ bei $m=0$ -\item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ bei $m=0$ +\item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$ +\item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ f"ur $m=0$ \end{itemize} % \setlength{\unitlength}{2cm} % \begin{picture}(6,4)(-3,-2) @@ -198,7 +201,7 @@ implizite Bestimmungsgleichung f"ur $B_0=0$: \end{slide} \begin{slide} -\section{Loesungen des Ising Modells} +\section{L"osungen des Ising Modells} \end{slide} \begin{slide} @@ -228,7 +231,7 @@ Annahmen: \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$ \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$ \end{itemize} -Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ +Abk"urzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \end{slide} \begin{slide} @@ -282,13 +285,13 @@ Die Matrix muss also wie folgt aussehen: Zustandssumme: \[ \begin{array}{ll} - \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} \ldots \\[2mm] + \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} \ldots \\[2mm] \displaystyle & \displaystyle = \sum_{S_1} \\[2mm] \displaystyle & \displaystyle = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N \end{array} \] \begin{itemize} -\item Trick: Vollstaendigkeit der Spinzustaende +\item Trick: Vollst"andigkeit der Spinzust"ande \item $\textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N$ ist Darstellungsunabh"angig \item Eigenwerte: $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$ \end{itemize} @@ -301,15 +304,15 @@ Zustandssumme: \end{slide} \begin{slide} -Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt: +F"ur den Fall $B_0 = 0$ gilt: \[ \begin{array}{l} \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm] - \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm] + \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm] \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J)) \end{array} \] -weil $\lambda_+^N$ viel groesser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\ +weil $\lambda_+^N$ viel gr"o"ser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\ Magnetisierung: \[ \begin{array}{ll} @@ -324,8 +327,8 @@ Magnetisierung: \begin{slide} Abbidlung: \begin{itemize} -\item Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld -\item Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist +\item Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld +\item Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist \item S"attigung f"ur gro"se Magnetfelder \end{itemize} \setlength{\unitlength}{1cm} @@ -344,12 +347,12 @@ Abbidlung: \begin{slide} Erkenntnis: \begin{itemize} -\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$ -\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$ +\item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$ +\item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$ \end{itemize} F"ur $T=0$: \[ - \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{obere Approximation nichtmehr g"ultig)} + \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{, ist obere Approximation nichtmehr g"ultig} \] Phasen"ubergang bei $B_0=T=0$ (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich)\\ Kritische Exponenten: @@ -446,7 +449,7 @@ Fazit: \item keine exakte analytische L"osung \item "uberzeugende Resultate durch Approximation und Monte Carlo Simulation \item keine wieteren Informationen aus exakter L"osung erwartet -\item $d=3$ Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange +\item $d=3$ Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange \end{itemize} \end{slide} @@ -497,7 +500,7 @@ somit gilt: \begin{slide} Realisierung einer Boltzmannverteilung: Metropolis Algorithmus\\ -$[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html +$[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/ \[ W(A \rightarrow B) = \left\{ \begin{array}{ll} @@ -508,7 +511,7 @@ $[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html Pseudocode: \begin{itemize} \item Gehe alle Gitterpl"atze durch -\item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen) +\item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen) \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$ \item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$)) \end{itemize} @@ -608,7 +611,7 @@ Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html -\item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html +\item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/ \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics