X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?p=lectures%2Flatex.git;a=blobdiff_plain;f=nlsop%2Fdiplom%2Fsimulation.tex;h=d9d01e5bd78d86e9f2accdc50a46ac7571a826d1;hp=17785f48c97ab8044a6d071b544217689b7b8c58;hb=39decef6f91b5b3fdc4b448e3d0b1d655e449e73;hpb=5a38dfa30dc8b7834ed997eb797b060060a2a767 diff --git a/nlsop/diplom/simulation.tex b/nlsop/diplom/simulation.tex index 17785f4..d9d01e5 100644 --- a/nlsop/diplom/simulation.tex +++ b/nlsop/diplom/simulation.tex @@ -1,28 +1,314 @@ \chapter{Simulation} + Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden. + Die Simulation tr"agt den Namen {\em NLSOP}, was kurz f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amelle und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations{\bf P}rozess steht. + Ziel der Simulation ist die Verifizierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse die in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen. + Die genauen Daten sind: + \begin{itemize} + \item Energie: $E=180 keV$ + \item Dosis: $D = 4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$ + \item Temperatur: $T = 150 ^{\circ} \mathrm{C}$ + \item Imlantationswinkel: $\alpha = 7 ^{\circ}$ + \item Ion/Target Kombination: $C^+ \rightarrow Si (100)$ + \end{itemize} + Anzumerken ist, dass es zwei Versionen der Simulation gibt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken. + Diese unterscheiden sich in einigen Punkten, was den Simualtionsalgorithmus betrifft. + Darauf wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen. + Der Simulationsalgorithmus wird erkl"art und die dazu ben"otigten Annahmen und Informationen aus {\em TRIM} Ergebnissen werden besprochen. + Das Kapitel schliesst mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen und dem Ablaufschema der Simulation. + \section{Annahmen der Simulation} + \subsection{Unterteilung des Targets} + \label{subsection:unterteilung} + + Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt. + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps} + \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohelnstoffkonzentration} + \label{img:sim_gitter} + \end{figure} + Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung sind frei einstellbar. + Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden. + Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot) oder ist kristallin (blau). + Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert. + + Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gross und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden. + Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation, aus Gr"unden der Rechenzeit, m"oglichst klein halten zu k"onen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet. + \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation} + \label{subsection:a_and_r} + + Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei zur Amorphisierung beitragende Mechanismen. + Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Aamorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die + \begin{itemize} + \item \textcolor[rgb]{0,1,1}{ballistische} + \item \textcolor{red}{kohlenstoffinduzierte} + \item \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{spannungsinduzierte} + \end{itemize} + Amorphisierung zusammen. + Sie wird wie folgt berechnet: + \begin{equation} + p_{c \rightarrow a}(\vec r) = \textcolor[rgb]{0,1,1}{p_{b}} + \textcolor{red}{p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r)} + \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{\sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}} + \label{eq:p_ca_local} + \end{equation} + + Die ballistische Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$. + Sie ist unabh"angig vom Ort und somit ein konstanter Beitrag f"ur jedes Volumen. + Sie hat keine Einheit. + Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art. + Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_{Kohlenstoff}$ angenommen. + $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskosntante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$. + + Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene, da nur diese Spannungen aus"uben, zusammen. + Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens $\vec{r'}$ auf das Volumen $\vec{r}$ wieder proprtional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$. + Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in dem Volumen, das auf Grund der Dichtereduktion in dem amoprhen Gebiet vorhanden ist, desto groesser die ausgehende Spannung auf die Umgebung. + Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck (Druck = Kraft pro Fl"ache) quadratisch mit der Entfernung abf"allt. + $p_s$ ist wieder Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$. + + Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als + \begin{equation} + p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r) + \label{eq:p_ac_local} + \end{equation} + angenommen. + Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden. + F"ur die Rekristallisation ist Strukturinformation krsitalliner Nachbarschaft notwendig. + Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden wenn kein einziger kristalliner Nachabr vorhanden ist. + Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Angriffsfl"achen die als Rekristallisationsfront dienen k"onnen. + Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt: + \begin{equation} + p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,} + \label{eq:p_ac_genau} + \end{equation} + mit + \begin{equation} + \delta (\vec r) = \left\{ + \begin{array}{ll} + 1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\ + 0 & \textrm{sonst} \\ + \end{array} + \right. + \label{eq:dedltafunc} + \end{equation} + + Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind frei w"ahlbare Simulationsparameter. + Es gilt somit einen Satz von Parametern zu finden, der die gr"o"stm"oglichste "Ubereinstimmung von Simulationsergebiss und dem experimentell gefundenen Ergebniss aus Abbildung \ref{img:xtem_img} zeigt. + Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden. + \subsection{Diffusion} + Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohelnstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor. + Die Diffusion wird durch zwei weitere Parameter beschrieben. + In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert. + Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden. + Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphe in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert. + Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar. + Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen. + + Prinzipiell sollte man den Kohlenstoff"ubertrag abh"angig von dem bereits vorhandenen Kohlenstoff in dem amorphen Volumen bestimmen. + Da die implantierte Dosis maximal die St"ochiometridosis und der Parameter $d_r$ gro"s genug gew"ahlt ist, kommt es nicht zur "Ubers"attigung. + Der Kohlenstoff in kristallinen Gebieten ist also immer bestrebt in amorphe Gebiete zu diffundieren um die sehr viel geringere S"attigung im Kristallinen zu reduzieren. + \subsection{Sputtern} + Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"assig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorgangs konstanten Sputterrate ausgegangen. + Auf Grund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit Seitenl"ange $3 nm$ muss diese Sputterrate in der Dosis, welche $3 nm$ sputtert, angegeben werden. + Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputter-Routine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt. + \section{Auswertung von {\em TRIM} Ergebnissen} + Da bereits Programme wie {\em TRIM} die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simulieren und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellen, wird auf diese Schritte in der Simulation aus Zeitgr"unden verzichtet. + Stattdessen werden die von {\em TRIM} erzeugten Statistiken verwendet. + Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen, k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden. + Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP} wichtige, Statistiken eingegangen. + \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft} + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=12cm]{2pTRIM180C.eps} + \caption{Von {\em TRIM} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$} + \label{img:bk_impl_p} + \end{figure} + Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM} ermittelte nukleare und elektronische Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter. + Die gestrichelte Linie markiert das Implantationsmaximum. + Sputtereffekte und Abweichungne auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation werden hier allerdings nicht ber"ucksichtigt. + + Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in seperate Dateien geschrieben. + Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren. + \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe} + \label{subsection:parse_trim_coll} - \section{Simulierte Tiefenbereiche} + Weiterhin legt {\em TRIM} eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} an, in der s"amtliche durch jedes Ion verursachte Sto"skaskaden protokolliert sind. + Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben. + Mit einem zur {\em NLSOP} Suite geh"orendem Programm kann diese Datei ausgewertet werden. + Die Daraus gewonnen Ekenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden. + + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=12cm]{trim_coll.eps} + \caption{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot)} + \label{img:trim_coll} + \end{figure} + Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die Energieabgabe und Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit der Tiefe. + Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert. + Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind. + Die durchschnittliche Energieabgabe durch einen Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe. + Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}. + Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amoprhisierungswahrscheinlichkeit bei. + + Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt. + Sie entspricht der nuklearen Bremskraft. + + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=12cm]{trim_nel.eps} + \caption{Durch {\em TRIM} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$} + \label{img:trim_nel} + \end{figure} + Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em TRIM} selbst berechnete nukleare Bremskraft. + Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgab. + Der Unterschied liegt daran, dass letzteres Profil durch eine gr"ossere Anzahl von {\em TRIM}-Simulationsschritten ermittelt wurde. + Dieses Profil wird f"ur {\em NLSOP} benutzt. + + Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen jedoch mehr als nur eine Kollision mit den Targetatomen bis es zur Ruhe kommt. + Nach dem Auswertungsprogramm hat ein Ion durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen bei den gegebenen Bedingungen zur Folge. + Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer. + Das Auswertungsprogramm z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantierten Ion. + Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden. + Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl also. + Ausserdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt. + Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird. + Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen. \section{Simulationsalgorithmus} + Die Simulation kann in drei Abschnitte geliedert werden. + Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen. + + Wenn pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion. + Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$. + Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist: + \begin{equation} + D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.} + \end{equation} + + Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet. + \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation} + \label{subsection:a_r_step} + + Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden. + Zun"achst muss das gestossene Volumen ausgew"ahlt werden. + Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt. + Zun"achst werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt. + Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene. + Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest. + Somit hat man den Otrsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang festgelegt. + Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden. + Eine weitere Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens. + Es gibt folgende M"oglichkeiten: + \begin{enumerate} + \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\ + Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu Amorph. + Ansonsten bleibt der Status unver"andert. + \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\ + Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu Kristallin. + Ansonsten bleibt der Status unver"andert. + \end{enumerate} + + Der Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt. \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target} + Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe. + Die Wahl des Volumens in dem das passiert ist analog zur Wahl des getroffenen Volumens. + Jedoch wird die Tiefe durch eine Zufallszahl, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung der Reichweitenverteilung entspricht, bestimmt. + Zur Erzeugung der Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt. + + In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht. + \subsection{Diffusion und Sputtern} + Die Diffusions-Routine ist wie folgt realisiert. + Die Simulation geht der Reihe nach alle Volumina durch. + Im Falle eines amorphen Volumens werden aus direkt anliegenden kristallinen Volumen der Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs abgezogen und zu dem amorphen Volumen addiert. + Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet. + Dieser Diffusionsvorgang wird alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt. + + Die Sputter-Routine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von $3 nm$ enstpricht ausgef"uhrt. + Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben: + \begin{equation} + S = \frac{(3 nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.} + \end{equation} + Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben. + Dies geschieht wie folgt. + Der Inhalt der Eben $i$ wrd auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben. + Die Information der obersten Ebene $i=1$ geht dabei verloren. + Diese entspricht der abgetragenen Ebene. + Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null. + + Dies macht allerdings nur Sinn wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren. + + Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} bestimmt werden. + Bei den gegebenen Bedingungen werden ungef"ahr $50 nm$ des Targets bei einer Dosis von $4,3 \times 10^{-17} cm^{-2}$ abgetragen. + + \section{Simulierte Tiefenbereiche} + + Wie bereits erw"ahnt gibt es zwei verschiedene Versionen des Programms, die verschiedene Tiefenbereiche, im Folgenden Simulationsfenster genannt, simulieren. + + Da in erster Linie der Selbstorganisationsprozess der lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache der amorphen $SiC_x$-Schicht simuliert werden soll, ist der Tiefenbereich der ersten Version gerade bis zu Beginn der durchgehenden Schicht. + Dies entspricht einer Tiefe von ungef"ahr $300 nm$, und somit einer Anzahl von $Z=100$ W"urfeln in $z$-Richtung. + + Wie in \ref{img:bk_impl_p} gut zu erkennen ist, kann in diesem Tiefenbereich sowohl die Reichweitenverteilung als auch die nukleare Bremskraft durch eine von der Tiefe linear abh"angige Funktion gen"ahert werden. + Daher ergeben sich "Anderungen zu den im vorigen Abschnitt erkl"arten Methoden zur Wahl des Volumens in dem ein Sto"sprozess beziehungsweise eine Kohlenstofferh"ohung stattfindet. + + Die Zufallszahl $z$, die auf die Tiefen-Koordinate $m$ abgebildet wird, muss der Verteilung $p(z)dz = (sz + s_0)dz$ gen"ugen. + Dabei sind $s$ unnd $s_0$ die linear gen"aherte nukleare Bremskraft beschreibende Simulationsparameter. + Die Transformation wird wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben durchgef"uhrt. + Dasselbe betrifft die Wahl der Tiefen-Koordinate f"ur den Einbau des Kohlenstoffatoms. + Anstatt der Wahrscheinlichkeitsverteilung der nuklearen Bremskraft entsprechend wird das linear gen"aherte Implantationsprofil verwendet. + + Da sowohl die Reichweitenverteilung als auch die nukleare Bremskraft in Ebenen gr"osser $Z$ ungleich Null ist kann Sputtern nicht beachtet werden. + Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt "moglich. + + In der zweiten Version wird die gesamte Implantationstiefe simuliert. + Das Simulationsfenster geht von $0-700 nm$. + Dies entspricht einer Anzahl $Z=233$ von W"urfeln in $z$-Richtung. + + Die Tiefen-Koordinaten f"ur den Sto"sprozess und die Kohelnstoffinkorporation werden wie in Abschnitt \ref{subsection:a_r_step} beschrieben nach der Verwerfungsmethode entsprechend dem nuklearen Bremskraftprofil und der Reichweitenverteilung gewonnen. + + Da sowohl der nukleare Energieverlust und die Kohlenstoffkonzentration in Ebenen gr"osser $Z$ auf Null abgesunken ist, kann die Sputterroutine ausgef"uhrt werden. + Der Diffusionsprozess ist ebenfalls uneingeschr"ankt m"oglich. + + \section{Test der Zufallszahlen} + + F"ur vern"unftige Ergebnisse muss die Qualit"at der Zufallszahlen gesichert sein. + Es gibt viele statistische Tests eine Zahlenfolge auf ihre Verteilung beziehungsweise Zuf"alligkeit zu "uberpr"ufen. + + Im Folgenden soll nur kontrolliert werden, dass f"ur gleichverteilte Zufallszahlen keine lokalen Anh"aufungen von Zahlen existieren. + Desweiteren werden die Methoden zur Erzeugung spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Vergleich der H"aufigkeit auftretender Zufallszahlen mit dem gew"unschten Verlauf "uberpr"uft. + + Dazu werden f"ur die unterschiedlichen Verteilungen jeweils 10 Millionen Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$ erzeugt und auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet. + Ein einfaches Script-Programm z"ahlt die H"aufigkeit der einzelnen Zufallszahlen der Zufallszahlensequenz. + + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=12cm]{random.eps} + \caption{H"aufigkeit ganzzahliger Zufallszahlen unterschiedlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. F"ur jede Verteilung wurden 10 Millionen Zufallszahlen ausgew"urfelt.} + \label{img:random_distrib} + \end{figure} + Abbildung \ref{img:random_distrib} zeigt die H"aufigkeit von Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$, abgerundet auf die n"achst kleinere ganze Zahl, f"ur unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen. + + Die blauen Punkte zeigen die Gleichverteilung nach \eqref{eq:gleichverteilte_r}. + Man erkennt keine lokalen Anh"aufungen. + + Die roten Punkte zeigen die H"aufigkeit der Zufallszahlen bei Verwendung einer linear steigenden Wahrscheinlichkeitsverteilung wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben. + Dabei wurde $a=1$, $b=0$ und $Z=233$ gew"ahlt. + Wie erwartet zeigen die Punkte einen linearen Verlauf. + + Die H"aufigkeit der mit der Verwerfungsmethode erzeugten Zufallszahlen entsprechend der nuklearen Bremskraft (gr"un) und dem Implantationsprofil (schwarz) stimmen sehr gut mit den Profilen in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} "uberein. + \section{Ablaufschema} + Das +