X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?p=lectures%2Flatex.git;a=blobdiff_plain;f=nlsop%2Fdiplom%2Fsimulation.tex;h=e62347ca21409cee5874ae0986735de92074483a;hp=c172d7ac15709b67934f46890ab138d349317e64;hb=e2bae9609c6f8e74c0ce1e355f003df0b9dff81a;hpb=b139af50865e37b3d95ad927a6e47de8204ab349 diff --git a/nlsop/diplom/simulation.tex b/nlsop/diplom/simulation.tex index c172d7a..e62347c 100644 --- a/nlsop/diplom/simulation.tex +++ b/nlsop/diplom/simulation.tex @@ -1 +1,537 @@ \chapter{Simulation} +\label{chapter:simulation} + + Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden. + Die Simulation tr"agt den Namen \linebreak[4] {\em NLSOP}, was f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amellar und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations-{\bf P}rozess steht. + Ziel der Simulation ist die Verifizierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse, die in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen. + Die genauen Daten sind: + \begin{itemize} + \item Energie: $E=180 keV$ + \item Dosis: $D = 4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$ + \item Temperatur: $T = 150 ^{\circ} \mathrm{C}$ + \item Implantationswinkel: $\alpha = 7 ^{\circ}$ + \item Ion/Target Kombination: $C^+ \rightarrow Si (100)$ + \end{itemize} + Anzumerken ist, dass es zwei Versionen der Simulation gibt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken. + Diese unterscheiden sich in einigen Punkten, was den Simualtionsalgorithmus betrifft. + Darauf wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen. + Der Simulationsalgorithmus wird erkl"art und die dazu ben"otigten Annahmen und Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen werden besprochen. + Das Kapitel schlie"st mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen und dem Ablaufschema der Simulation. + + \section{Annahmen der Simulation} + + \subsection{Unterteilung des Targets} + \label{subsection:unterteilung} + + Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit der Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt. + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps} + \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohlenstoffkonzentration} + \label{img:sim_gitter} + \end{figure} + Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung sind frei einstellbar. + Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden. + Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot), oder ist kristallin (blau). + Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert. + + Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gro"s und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden. + Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation, aus Gr"unden der Rechenzeit, m"oglichst klein halten zu k"onnen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet. + + \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation} + \label{subsection:a_and_r} + + Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei zur Amorphisierung beitragende Mechanismen. + Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Amorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die + \begin{itemize} + \item \textcolor[rgb]{0,1,1}{ballistische} + \item \textcolor{red}{kohlenstoffinduzierte} + \item \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{spannungsinduzierte} + \end{itemize} + Amorphisierung zusammen. + Sie wird wie folgt berechnet: + \begin{equation} + p_{c \rightarrow a}(\vec r) = \textcolor[rgb]{0,1,1}{p_{b}} + \textcolor{red}{p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r)} + \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{\sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}} + \label{eq:p_ca_local} + \end{equation} + + Die ballistische Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$. + Sie ist unabh"angig vom Ort und somit ein konstanter Beitrag f"ur jedes Volumen. + Sie hat keine Einheit. + Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art. + + Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_{Kohlenstoff}$ angenommen. + $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskonstante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$. + + Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene zusammen, da nur diese Spannungen aus"uben. + Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens $\vec{r'}$ auf das Volumen $\vec{r}$ wieder proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$. + Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in dem Volumen, das auf Grund der Dichtereduktion in dem amorphen Gebiet vorhanden ist, desto gr"o"ser die ausgehende Spannung auf die Umgebung. + Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck (Druck = Kraft pro Fl"ache) quadratisch mit der Entfernung abf"allt. + $p_s$ ist eine Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$. + + Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als + \begin{equation} + p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r) + \label{eq:p_ac_local} + \end{equation} + angenommen. + Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden. + F"ur die Rekristallisation ist die Strukturinformation der kristallinen Nachbarschaft notwendig. + Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden, wenn kein einziger kristalliner Nachabr vorhanden ist. + Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Angriffsfl"achen die als Rekristallisationsfront dienen k"onnen. + Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt: + \begin{equation} + p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,} + \label{eq:p_ac_genau} + \end{equation} + mit + \begin{equation} + \delta (\vec r) = \left\{ + \begin{array}{ll} + 1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\ + 0 & \textrm{sonst} \\ + \end{array} + \right. + \label{eq:dedltafunc} + \end{equation} + + Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind frei w"ahlbare Simulationsparameter. + Es gilt somit einen Satz von Parametern zu finden, der die gr"o"stm"oglichste "Ubereinstimmung von Simulationsergebniss und dem experimentell gefundenen Ergebniss aus Abbildung \ref{img:xtem_img} zeigt. + Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden. + + \subsection{Diffusion} + + Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohlenstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor. + Die Diffusion wird durch zwei weitere Parameter beschrieben. + In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert. + Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden. + Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphe in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert. + Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar. + Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen. + + Prinzipiell sollte man den Kohlenstoff"ubertrag abh"angig von dem bereits vorhandenen Kohlenstoff in dem amorphen Volumen bestimmen. + Da die implantierte Dosis maximal die St"ochiometriedosis und der Parameter $d_r$ gro"s genug gew"ahlt ist, kommt es nicht zur "Ubers"attigung. + Da die S"attigungsgrenze in der kristallinen Struktur sehr viel niedriger ist, wird der Kohlenstoff immer bestrebt sein von dem kristallinen Bereich in die amorphen Gebiete zu diffundieren. + + \subsection{Sputtern} + + Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"assig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorgangs konstanten Sputterrate ausgegangen. + Auf Grund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit Seitenl"ange $3 nm$ muss diese Sputterrate in der Dosis, welche $3 nm$ sputtert, angegeben werden. + Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputter-Routine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt. + + \section{Auswertung von {\em TRIM} Ergebnissen} + + Da bereits Programme wie {\em TRIM} die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simulieren und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil, sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellen, wird auf diese Schritte in der Simulation aus Zeitgr"unden verzichtet. + Stattdessen werden die von {\em TRIM} erzeugten Statistiken verwendet. + Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen, k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden. + Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP} wichtige Statistiken eingegangen. + + \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft} + + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=12cm]{2pTRIM180C.eps} + \caption{Von {\em TRIM} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$} + \label{img:bk_impl_p} + \end{figure} + Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM} ermittelte nukleare und elektronische Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter. + Die gestrichelte Linie markiert das Implantationsmaximum. + Sputtereffekte und Abweichungen auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation, werden hier allerdings nicht ber"ucksichtigt. + + Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in seperate Dateien geschrieben. + Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren. + + \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe} + \label{subsection:parse_trim_coll} + + Weiterhin legt {\em TRIM} eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} an, in der s"amtliche, durch jedes Ion verursachte Sto"skaskaden protokolliert sind. + Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben. + Mit einem zur {\em NLSOP} Suite geh"orendem Programm kann diese Datei ausgewertet werden. + Die daraus gewonnen Erkenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden. + + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=12cm]{trim_coll.eps} + \caption{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot)} + \label{img:trim_coll} + \end{figure} + Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die Energieabgabe und Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit der Tiefe. + Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert. + Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind. + Die durchschnittliche Energieabgabe durch einen Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe. + Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}. + Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amorphisierungswahrscheinlichkeit bei. + + Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt. + Sie entspricht der nuklearen Bremskraft. + + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=12cm]{trim_nel.eps} + \caption{Durch {\em TRIM} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.} + \label{img:trim_nel} + \end{figure} + Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em TRIM} selbst berechnete nukleare Bremskraft. + Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgabe. + Dieses Profil wird f"ur {\em NLSOP} benutzt. + + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=12cm]{trim_impl.eps} + \caption{Durch {\em TRIM} berechnetes Implantationsprofil f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.} + \label{img:trim_impl} + \end{figure} + In Abbildung \ref{img:trim_impl} ist das f"ur diese Simulation verwendete, von {\em TRIM} berechnete Implantationsprofil abgebildet. + Es wurde aus der selben Rechnung wie das nukleare Bremskraftprofil gewonnen. + Das Implantationsmaximum liegt bei ungef"ahr $530 nm$. + + Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen jedoch mehr als nur eine Kollision mit den Targetatomen bis es zur Ruhe kommt. + Nach dem Auswertungsprogramm hat ein Ion durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen bei den gegebenen Bedingungen zur Folge. + Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer. + Das Auswertungsprogramm z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantierten Ion. + Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden. + Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl. + Ausserdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt. + Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird. + Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen. + + \section{Simulationsalgorithmus} + + Die Simulation kann in drei Abschnitte gegliedert werden. + Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen. + + Wenn pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion. + Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$. + Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist: + \begin{equation} + D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.} + \label{eq:dose_steps} + \end{equation} + + Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet. + + \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation} + \label{subsection:a_r_step} + + Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden. + Zun"achst muss das gesto"sene Volumen ausgew"ahlt werden. + Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt. + Es werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt. + Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene. + Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest. + Somit hat man den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang festgelegt. + Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden. + Eine weitere Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens. + Es gibt folgende M"oglichkeiten: + \begin{enumerate} + \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\ + Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu amorph. + Ansonsten bleibt der Status unver"andert. + \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\ + Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu kristallin. + Ansonsten bleibt der Status unver"andert. + \end{enumerate} + + Der Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt. + + \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target} + + Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe. + Die Wahl des Volumens ist analog zur Wahl der Ermittlung des zu sto"senden Volumens. + Lediglich die Implantationstiefe wird durch eine Zufallszahl bestimmt, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung dem Konzentrationsprofil entspricht. + Zur Erzeugung der Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt. + + In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht. + + \subsection{Diffusion und Sputtern} + + Im Folgenden wird auf die Realisierung der Diffusion eingegangen. + Die Simulation geht der Reihe nach alle Volumina durch. + Im Falle eines amorphen Volumens werden aus direkt anliegenden kristallinen Volumen der Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs abgezogen und zu dem amorphen Volumen addiert. + Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen, wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet. + Dieser Diffusionsvorgang wird alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt. + + Die Sputter-Routine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von $3 nm$ entspricht ausgef"uhrt. + Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben: + \begin{equation} + S = \frac{(3 nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.} + \end{equation} + Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben. + Der Inhalt der Ebene $i$ wird auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben. + Die Information der obersten Ebene $i=1$ geht dabei verloren. + Diese entspricht der abgetragenen Ebene. + Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null. + + Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren. + + Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} bestimmt werden. + Bei den gegebenen Bedingungen werden ungef"ahr $50 nm$ des Targets bei einer Dosis von $4,3 \times 10^{-17} cm^{-2}$ abgetragen. + + \section{Simulierte Tiefenbereiche} + \label{section:sim_tiefenbereich} + + Wie bereits erw"ahnt gibt es zwei verschiedene Versionen des Programms. Sie simulieren zwei unterschiedlich gro"se Tiefenbereiche, welche im Folgenden Simulationsfenster genannt werden. + + Da in erster Linie der Selbstorganisationsprozess der lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache der amorphen $SiC_x$-Schicht simuliert werden soll, ist der Tiefenbereich der ersten Version gerade bis zum Beginn der durchgehenden Schicht. + Dies entspricht einer Tiefe von ungef"ahr $300 nm$, und somit einer Anzahl von $Z=100$ W"urfeln in $z$-Richtung. + + Wie in \ref{img:bk_impl_p} gut zu erkennen ist, kann in diesem Tiefenbereich sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft durch eine von der Tiefe linear abh"angige Funktion gen"ahert werden. + Daher ergeben sich "Anderungen zu den im vorigen Abschnitt erkl"arten Methoden zur Wahl des Volumens, in dem ein Sto"sprozess beziehungsweise eine Kohlenstofferh"ohung stattfindet. + + Die Zufallszahl $z$, die auf die Tiefen-Koordinate $m$ abgebildet wird, muss der Verteilung $p(z)dz = (sz + s_0)dz$ gen"ugen. + Dabei sind $s$ und $s_0$ Simulationsparameter, die die linear gen"aherte nukleare Bremskraft beschreiben. + Die Transformation wird wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben durchgef"uhrt. + Dasselbe betrifft die Wahl der Tiefen-Koordinate f"ur den Einbau des Kohlenstoffatoms. + Anstatt der Wahrscheinlichkeitsverteilung der nuklearen Bremskraft entsprechend, wird eine Verteilung entsprechend dem linear gen"aherte Implantationsprofil verwendet. + Ausserdem wird nicht nach jedem Durchlauf ein Ion im Simulationsbereich zur Ruhe kommen. + Da das Maximum der Reichweitenverteilung sehr viel tiefer liegt, werden die meisten Ionen ausserhalb des Simulationsfensters stehen bleiben. + Daher wird immer nur dann ein Ion eingebaut, wenn der im Simulationsbereich vorhandene Kohlenstoff $n_c$ kleiner als die Anzahl der Durchl"aufe $n$ multipliziert mit dem Verh"altnis der Fl"ache der Implantationskurve $I(x)$ bis $300 nm$ zur Fl"ache der gesamten Implantationskurve ist. + \begin{equation} + n_c < n \frac{\int_0^{300 nm} I(x) dx}{\int_0^{\infty} I(x) dx} + \end{equation} + + Da sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft in Ebenen gr"osser $Z$ ungleich Null ist, kann Sputtern nicht beachtet werden. + Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt "moglich. + + Hier sei angemerkt, dass die Simulation prinzipiell auch Diffusion von Kohlenstoff innerhalb kristalliner Volumina behandeln kann. + Die erste Idee war, dass Kohlenstoff in kristalline Gebiete diffundieren kann, die bereits einen grossen Anteil ihres Kohlenstoffs an einen amorphen Nachbarn abgegeben haben. + Da jedoch das Konzentrationsprofil durch Diffusionsprozesse nicht ver"andert werden darf, wurde die rein kristalline Diffusion in $z$-Richtung ausgeschlossen. + Da weiterhin die Implantationsprofile von experimentellen Messungen und {\em TRIM}-Simulationen recht gut "ubereinstimmen, kann Diffusion in $z$-Richtung tats"achlich ausgeschlossen werden. + Eine Vorzugsrichtung der Diffusion ist unphysikalisch, weshalb die Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete in weiteren Simulationen ausgeschlossen wurde. + Als Relikt bleibt die Option die Diffusion in $z$-Richtung auszuschalten. + + In der zweiten Version wird die gesamte Implantationstiefe simuliert. + Das Simulationsfenster geht von $0-700 nm$. + Dies entspricht einer Anzahl $Z=233$ von W"urfeln in $z$-Richtung. + + Die Tiefen-Koordinaten f"ur den Sto"sprozess und die Kohlenstoffinkorporation werden wie in Abschnitt \ref{subsection:a_r_step} beschrieben nach der Verwerfungsmethode entsprechend dem nuklearen Bremskraftprofil und der Reichweitenverteilung gewonnen. + + Da sowohl der nukleare Energieverlust und die Kohlenstoffkonzentration in Ebenen gr"osser $Z$ auf Null abgesunken ist, kann die Sputterroutine ausgef"uhrt werden. + Der Diffusionsprozess ist ebenfalls uneingeschr"ankt m"oglich. + + \section{Test der Zufallszahlen} + + F"ur vern"unftige Ergebnisse muss die Qualit"at der Zufallszahlen gesichert sein. + Es gibt viele statistische Tests eine Zahlenfolge auf ihre Verteilung beziehungsweise Zuf"alligkeit zu "uberpr"ufen. + + Im Folgenden soll nur kontrolliert werden, dass f"ur gleichverteilte Zufallszahlen keine lokalen Anh"aufungen von Zahlen existieren. + Desweiteren werden die Methoden zur Erzeugung spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Vergleich der H"aufigkeit auftretender Zufallszahlen mit dem gew"unschten Verlauf "uberpr"uft. + + Dazu werden f"ur die unterschiedlichen Verteilungen jeweils 10 Millionen Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$ erzeugt und auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet. + Ein einfaches Script-Programm z"ahlt die H"aufigkeit der einzelnen Zufallszahlen in der Zufallszahlensequenz. + + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=12cm]{random.eps} + \caption{H"aufigkeit ganzzahliger Zufallszahlen unterschiedlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. F"ur jede Verteilung wurden 10 Millionen Zufallszahlen ausgew"urfelt.} + \label{img:random_distrib} + \end{figure} + Abbildung \ref{img:random_distrib} zeigt die H"aufigkeit von Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$, abgerundet auf die n"achst kleinere ganze Zahl, f"ur unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen. + + Die blauen Punkte zeigen die Gleichverteilung nach \eqref{eq:gleichverteilte_r}. + Man erkennt keine lokalen Anh"aufungen. + + Die roten Punkte zeigen die H"aufigkeit der Zufallszahlen bei Verwendung einer linear steigenden Wahrscheinlichkeitsverteilung wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben. + Dabei wurde $a=1$, $b=0$ und $Z=233$ gew"ahlt. + Wie erwartet zeigen die Punkte einen linearen Verlauf. + + Die H"aufigkeiten, der mit der Verwerfungsmethode erzeugten Zufallszahlen entsprechend der nuklearen Bremskraft (gr"un) und dem Implantationsprofil (schwarz), stimmen sehr gut mit den Profilen in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} "uberein. + + \section{Ablaufschema} + + Das Ablaufschema ist aus Platzgr"unden in zwei Teile gegliedert. + Abbildung \ref{img:flowchart1} zeigt das Ablaufschema des Amorphisierungs- und Rekristallisationsvorgangs. + In Abbildung \ref{img:flowchart2} wird der Kohlenstoffeinbau sowie Diffusion und Sputtern behandelt. + + \begin{figure}[h] + \begin{pspicture}(0,0)(12,18) + + \rput(6,18){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}} + + \rput(6,16){\rnode{random1}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{ + Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\ + $R_1$, $R_2$, $R_3$ entsprechend nuklearer Bremskraft\\ + $R_4 \in [0,1[$ + }}}} + \ncline[]{->}{start}{random1} + + \rput(6,14){\rnode{koord_wahl}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{ + Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_1$, $R_2$ und $R_3$ auf $k$, $l$ und $m$ + }}}} + \ncline[]{->}{random1}{koord_wahl} + + \rput(6,11){\rnode{berechnung_pca}{\psframebox{\parbox{12cm}{ + Berechnung von $p_{c \rightarrow a}(\vec{r})$ und $p_{a \rightarrow c}(\vec{r})$: + \[ + \begin{array}{lll} + p_{c \rightarrow a}(\vec r) & = & p_{b} + p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2} \\ + p_{a \rightarrow c}(\vec r) & = & (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) + \end{array} + \] + \[ + \delta (\vec r) = \left\{ + \begin{array}{ll} + 1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\ + 0 & \textrm{sonst} \\ + \end{array} + \right. + \] + }}}} + \ncline[]{->}{koord_wahl}{berechnung_pca} + + \rput(6,8){\rnode{status}{\psframebox{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}} + \ncline[]{->}{berechnung_pca}{status} + + \rput(3,6){\rnode{cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{$R_4 \le p_{c \rightarrow a}$?}}} + \rput(9,6){\rnode{amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{$R_4 \le p_{a \rightarrow c}$?}}} + \ncline[]{->}{status}{cryst} + \lput*{0}{nein} + + \ncline[]{->}{status}{amorph} + \lput*{0}{ja} + + \rput(3,4){\rnode{do_amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{Setze Volumen amorph}}} + \ncline[]{->}{cryst}{do_amorph} + \lput*{0}{ja} + + \rput(9,4){\rnode{do_cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{Setze Volumen kristallin}}} + \ncline[]{->}{amorph}{do_cryst} + \lput*{0}{ja} + + \rput(6,3){\rnode{check_h}{\psframebox{Anzahl der Durchl"aufe gleich Anzahl der Treffer pro Ion?}}} + + \rput(6,6){\pnode{h_2}} + \ncline[]{amorph}{h_2} + \ncline[]{->}{h_2}{check_h} + \lput*{0}{nein} + + \rput(6,6){\pnode{h_3}} + \ncline[]{cryst}{h_3} + \ncline[]{->}{h_3}{check_h} + \lput*{0}{nein} + + \rput(13,3){\pnode{h_4}} + \rput(13,16){\pnode{h_5}} + \ncline[]{check_h}{h_4} + \ncline[]{h_4}{h_5} + \lput*{0}{nein} + \ncline[]{->}{h_5}{random1} + + \ncline[]{->}{do_cryst}{check_h} + \ncline[]{->}{do_amorph}{check_h} + + \rput(6,1){\rnode{weiter_1}{\psframebox{$\bigotimes$}}} + \ncline[]{->}{check_h}{weiter_1} + \lput*{0}{ja} + + \end{pspicture} + \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 1: Amorphisierung und Rekristallisation.} + \label{img:flowchart1} + \end{figure} + + \begin{figure}[h] + \begin{pspicture}(0,0)(12,18) + + \rput(6,18){\rnode{weiter_2}{\psframebox{$\bigotimes$}}} + + \rput(6,16){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7.5cm}{ + Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\ + $R_5$, $R_6$, $R_7$ entsprechend Reichweitenverteilung + }}}} + \ncline[]{->}{weiter_2}{random2} + + \rput(2,14){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{ + Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_5$, $R_6$ und $R_7$ auf $k$, $l$ und $m$ + }}}} + \ncbar[angleA=180,angleB=180]{->}{random2}{koord_wahl_i} + + \rput(10,14){\rnode{inc_c}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{ + Erh"ohung des Kohlenstoffs im Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ + }}}} + \ncline[]{->}{koord_wahl_i}{inc_c} + + \rput(10,12){\rnode{is_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Durchlauf vielfaches von $d_v$?}}} + \ncline[]{->}{inc_c}{is_d} + + \rput(2,12){\rnode{is_s}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{Durchlauf vielfaches von $n$?}}} + \ncline[]{->}{is_d}{is_s} + \lput*{0}{nein} + + \rput(10,10){\rnode{loop_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Gehe alle/verbleibende Volumina durch?}}} + \ncline[]{->}{is_d}{loop_d} + \lput*{0}{ja} + + \rput(10,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}} + \ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph} + + \rput(10,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{ + Gehe alle/verbleibende\\ + direkte Nachbarn durch + }}}} + \ncline[]{->}{d_is_amorph}{loop_dn} + \lput*{0}{ja} + + \rput(10,6){\rnode{is_cryst}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Nachbarvolumen kristallin?}}} + \ncline[]{->}{loop_dn}{is_cryst} + + \rput(11,4){\rnode{transfer}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{3.5cm}{ + "Ubertrage den Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs + }}}} + \ncline[]{->}{is_cryst}{transfer} + \lput*{0}{ja} + + \rput(10,3){\rnode{check_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Nachbarn durch?}}} + \ncline[]{->}{transfer}{check_dn} + \rput(8.5,5){\pnode{h1}} + \ncline[]{is_cryst}{h1} + \rput(8.5,3.2){\pnode{h2}} + \ncline[]{->}{h1}{h2} + \lput*{0}{nein} + \rput(13,3){\pnode{h3}} + \ncline[]{check_dn}{h3} + \rput(13,7){\pnode{h4}} + \ncline[]{h3}{h4} + \lput*{0}{nein} + \ncline[]{->}{h4}{loop_dn} + + \rput(10,1){\rnode{check_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Volumina durch?}}} + \ncline[]{->}{check_dn}{check_d} + \lput*{0}{ja} + \rput(13.5,1){\pnode{h5}} + \ncline[]{check_d}{h5} + \rput(13.5,10){\pnode{h6}} + \ncline[]{h5}{h6} + \lput*{0}{nein} + \ncline[]{->}{h6}{loop_d} + \rput(6,1){\pnode{h7}} + \ncline[]{check_d}{h7} + \lput*{0}{ja} + \rput(6,11){\pnode{h8}} + \ncline[]{h7}{h8} + \rput(4.4,11.9){\pnode{h9}} + \ncline[]{->}{h8}{h9} + + \rput(2,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{ + Sputterroutine:\\ + \begin{itemize} + \item Kopiere Inhalt von Ebene $i$ nach\\ + Ebene $i-1$ f"ur $i = Z,Z-1,\ldots ,2$ + \item Setze Status jedes Volumens in Ebene $Z$ kristallin + \item Setze Kohlenstoff jedes Volumens in Ebene $Z$ auf Null + \end{itemize} + }}}} + \ncline[]{->}{is_d}{loop_d} + \lput*{0}{ja} + \ncline[]{->}{is_s}{s_p} + + \rput(2,5){\rnode{check_n}{\psframebox{\parbox{4cm}{ + Anzahl Durchl"aufe entsprechend Dosis? + }}}} + \ncline[]{->}{s_p}{check_n} + + \rput(4,3){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}} + \ncline[]{->}{check_n}{start} + \lput*{0}{nein} + \rput(0,3){\rnode{stop}{\psframebox{{\em NLSOP} Stop}}} + \ncline[]{->}{check_n}{stop} + \lput*{0}{ja} + + \end{pspicture} + \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Kohlenstoffeinbau (gr"un), Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).} + \label{img:flowchart2} + \end{figure} +