X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?p=lectures%2Flatex.git;a=blobdiff_plain;f=posic%2Ftalks%2Fmd_simulation_von_silizium.tex;h=92adaa21d45a421fd6cb908647d92da889eb676e;hp=c3196b7d3c23866dc37d97708c7e4439a2307f11;hb=d6b64d4be7e48f04395e2862f4a53e0f06198e26;hpb=9fcbeaedc70ddab9de4da5854e774ae13553cb90 diff --git a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex index c3196b7..92adaa2 100644 --- a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex +++ b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex @@ -38,6 +38,12 @@ \def\slideleftmargin{5.1cm} \def\slidetopmargin{-0.6cm} +\def\slidetopmargin{-0.6cm} + +\newcommand{\ham}{\mathcal{H}} +\newcommand{\pot}{\mathcal{V}} +\newcommand{\foo}{\mathcal{U}} +\newcommand{\vir}{\mathcal{W}} % topic @@ -424,26 +430,88 @@ Andersen: }\\ Simulationszelle: \begin{itemize} - \item definiert durch Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung + \item Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung \item meist orthogonale Simulationszelle \item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt \item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen \end{itemize} Randbedingungen: \begin{itemize} - \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte - \item periodische Randbedingungen: - \item festgehaltene Randatome: unphysikalisch - (verwerfen einer gro"sen Region um fixierte Atome) + \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte\\ + (Bulk-Eigenschaften nur weit entfernt vom Rand) + \item besser: periodische Randbedingungen \end{itemize} +\begin{center} + \includegraphics[width=12cm]{pbc.eps} +\end{center} +\end{slide} +\begin{slide} +{\large\bf + Beispiele f"ur gemischte Randbedingungen +}\\ +Simulation von Oberfl"achen: +\begin{itemize} + \item ${\color{gray} \bullet}$ PBC nur in $x,y$-Richtung + \item $\bullet$ fixierte Randatome (Bulk) + \item ${\color{blue} \bullet}$ Schicht aus Atomen mit $T$-Skalierung +\end{itemize} +\includegraphics[width=8cm]{surface.eps} \end{slide} \begin{slide} {\large\bf - Die Zell-Methode + $SiC$-Ausscheidung in Silizium }\\ +\begin{picture}(350,10) +\end{picture} +\begin{minipage}{8cm} +\includegraphics[width=8cm]{sic_prec.eps} +\end{minipage} +\begin{minipage}{4cm} +\begin{itemize} + \item Zuf"alliges Hinzuf"ugen von Kohlenstoff\\ + (schraffierter Bereich)\\ + $\Rightarrow$ Energie- und Impulszufuhr in die MD-Zelle + \item $T$-Skalierung,\\ Kopplung ans W"armebad\\ + (blauer Bereich)\\ + $\Rightarrow$ Energie/Impuls aus der MD-Zelle + \item feste Randatome, Bulk\\ + (schwarzer Bereich) +\end{itemize} +\end{minipage} +\end{slide} +\begin{slide} +{\large\bf + Die Zell-Methode +}\\ +Problemstellung: Finden der Nachbarn f"ur Wechselwirkung +\begin{itemize} + \item intuitive Methode: (f"ur Atom $i$) + \begin{itemize} + \item gehe alle Atome $j$ durch + \item $r_{ij} < r_c$ $\Rightarrow$ berechne WW + \end{itemize} + $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N^2)$ + \item Zell-Methode:\\ + \begin{minipage}{6cm} + \begin{itemize} + \item MD-Zelle (L"ange $L$) aufteilen in\\ + $M \times M \times M$ Subzellen\\ + mit L"ange $l=L/M>r_c$ + \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\ + $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$ + \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\ + $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\ + $N/M^3$ Materialkonstante + \end{itemize} + $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$ + \end{minipage} + \begin{minipage}{5cm} + \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps} + \end{minipage} +\end{itemize} \end{slide} \begin{slide} @@ -451,31 +519,167 @@ Randbedingungen: Thermodynamische Gr"o"sen } \begin{itemize} - \item Innere Energie: $E = ...$ - \item Temperatur - \item Druck - \item W"armekapazit"at - \item Struktur Werte - \item Diffusion + \item Innere Energie: + \[ + E = + = < \sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{2m_i} > + + \] + \item Temperatur/Druck + \[ + = k_BT, \quad + = k_BT + \] + \begin{center} + {\em "Aquipartitionstheorem} + \end{center} + Temperatur: + \[ + <\sum_i {\bf p}_i \frac{{\bf p}_i}{m_i}> = 3Nk_BT \quad + \Rightarrow \quad T=\frac{1}{3Nk_B} <\sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{m_i}> + \] + Druck: + \[ + <\sum_i {\bf q}_i \nabla_{{\bf q}_i} \foo> = 3Nk_BT \quad + \stackrel{\textrm{kart. Koord.}}{\Rightarrow} \quad + - \frac{1}{3} <\sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \foo> = -Nk_BT + \] + \begin{center} + mit + \end{center} + \[ + - \nabla_{{\bf r}_i} \foo = {\bf f}_i^{tot} = {\bf f}_i^{ext} + {\bf f}_i^{int} + \] + \begin{center} + wobei + \end{center} + \[ + \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{ext}=-pV, \quad + \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{int}= + - \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \pot = \vir + \] + \begin{center} + folgt + \end{center} + \[ + pV = Nk_BT + <\vir> + \] \end{itemize} \end{slide} +%\begin{slide} +%{\large\bf +% Thermodynamische Gr"o"sen +%} +%\begin{itemize} +% \item W"armekapazit"at +% \item Struktur Werte +% \item Diffusion +%\end{itemize} +%\end{slide} + \begin{slide} {\large\bf - Tersoff + Idee des Tersoff Potentials } + \begin{picture}(350,10) + \end{picture} +\begin{itemize} + \item Potential f"ur kovalente Bindungen\\ + ($Si$: $sp^3$-Hybridisierung, 4 "au"sere Elektronen, + 4 gerichtete Bindungen, Winkel: $109,47 ^{\circ}$)\\ + $\Rightarrow$ Bindungsenergie von 3 Atomen $i,j,k$ + abh"angig von $r_{ij},r_{ik},r_{jk}$ {\color{red} und} + $\theta_{ijk},\theta_{ikj},\theta_{kij}$ + \item {\em\color{blue} bond order} Potential + im Gegensatz zu {\em explicit angular}\\ + \[ + \pot = \pot_R(r_{ij}) + {\color{blue} b_{ijk}} \pot_A(r_{ij}) + \] + \begin{picture}(350,10) + \end{picture} + \begin{itemize} + \item $b_{ijk}$: umgebungsabh"angiger Term + \item $b_{ijk}=const.$ $\Rightarrow$ Paarpotential + \item Schw"achung der Paarbindung je mehr Nachbarn vorhanden\\ + qualitative Motivation: Anzahl der Elektronenpaare pro Bindung + \item St"arke der Bindung monoton fallend mit Koordinationszahl\\ + steiler Abfall $\Rightarrow$ Dimer\\ + schwacher Abfall $\Rightarrow$ maximale Koordinationszahl + (hcp-Struktur) + \item Pseudopotentialtheorie: + \[ + b_{ijk} \sim Z^{-\delta} + \] + \begin{center} + {\scriptsize Abell et al. Phys. Rev. B 31 (1985) 6184.} + \end{center} + \end{itemize} +\end{itemize} \end{slide} \begin{slide} {\large\bf - EAM -} + Form des Tersoff Potentials: +}\\ +Gesamtenergie: +\[ +E = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} \pot_{ij}, \quad +\pot_{ij} = f_C(r_{ij}) \left[ f_R(r_{ij}) + b_{ij} f_A(r_{ij}) \right] +\] +Repulsiver und attraktiver Beitrag: +\begin{eqnarray} +f_R(r_{ij}) &=& A_{ij} \exp(-\lambda_{ij} r_{ij}) \nonumber \\ +f_A(r_{ij}) &=& - B_{ij} \exp(-\mu_{ij} r_{ij}) \nonumber +\end{eqnarray} +Cut-Off Funktion: +\[ +f_C(r_{ij})=\left\{\begin{array}{ll} + 1, & r_{ij} < R_{ij} \\ + \frac{1}{2} + + \frac{1}{2} \cos \Big[ \pi (r_{ij} - R_{ij})/(S_{ij} - R_{ij}) \Big], + & R_{ij} < r_{ij} < S_{ij} \\ + 0, & r_{ij} > S_{ij} +\end{array} \right. +\] +{\em bond order} Term: +\begin{eqnarray} +b_{ij} &=& \chi_{ij} (1 + \beta_i^{n_i} \zeta^{n_i}_{ij})^{-1/2n_i} +\nonumber \\ +\zeta_{ij} &=& \sum_{k \ne i,j} f_C (r_{ik}) \omega_{ik} g(\theta_{ijk}) +\nonumber \\ +g(\theta_{ijk})&=&1+c_i^2/d_i^2 - c_i^2/[d_i^2 + (h_i - \cos \theta_{ijk})^2] +\nonumber +\end{eqnarray} +Anmerkung: +\begin{itemize} + \item einfach indizierte Parameter nur abh"angig vom jeweiligen Atomtyp + \item doppelt indizierte: geometrisches Mittel ($A,B,R,S,\omega,\chi$), + arithmetisches Mittel ($\lambda,\mu$) +\end{itemize} \end{slide} +%\begin{slide} +%{\large\bf +% EAM +%} +% +%\end{slide} + \begin{slide} {\large\bf Albe Reparametrisierung -} +}\\ +\begin{picture}(350,20) +\end{picture} +Schw"achen von Tersoff (2,3) +\begin{itemize} + \item Zu geringe Dimer-Bindungsenergie + \item T(2): gut f"ur Oberfl"acheneigenschaften + \item T(3): gut f"ur Bulkeigenschaften +\end{itemize} +\begin{picture}(350,20) +\end{picture} +$\Rightarrow$ Reparametrisierung durch Albe et al.\\ +{\scriptsize P. Erhart und K. Albe. Phys. Rev. B 71 (2005) 035211} \end{slide} \begin{slide} @@ -492,19 +696,20 @@ Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\ {\bf Potential} & & & \\ Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\ Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\ -Tersoff/Albe & ${\color{green} \surd\surd}$ & & - \\ +Tersoff & ${\color{green} \surd}$ & & - \\ +Albe & ${\color{green} \surd}$ & & - \\ Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ & & $\bullet\bullet\bullet$ \\ -EAM & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet\bullet$ \\ {\bf Ensembles} & & & \\ {\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\ {\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\ Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\ Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\ -{\bf Simulationzelle} & & & \\ +{\bf Simulationszelle} & & & \\ periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\ $T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\ -{\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele&$\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\ +{\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele + & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\ \hline \end{tabular} \end{slide}