X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?p=lectures%2Flatex.git;a=blobdiff_plain;f=posic%2Ftalks%2Fmd_simulation_von_silizium.tex;h=c3196b7d3c23866dc37d97708c7e4439a2307f11;hp=b58414229732aa6dbe557aabc8788558b80adc57;hb=9fcbeaedc70ddab9de4da5854e774ae13553cb90;hpb=360e24a68a61bace438bf7a995e87e29f6496d40 diff --git a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex index b584142..c3196b7 100644 --- a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex +++ b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex @@ -139,7 +139,7 @@ Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$ \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\ \[ - \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}, + \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}, \qquad \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \]\\ @@ -153,7 +153,7 @@ $\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\ Notwendige Bestandteile der MD-Simulation } \begin{itemize} - \item Methode zum Intgrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator) + \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator) \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion) \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles \end{itemize} @@ -197,26 +197,316 @@ $\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\ \begin{slide} {\large\bf - + {\em Predictor-Corrector} Algorithmus +} +\begin{itemize} + \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ... + \begin{eqnarray} + {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) + + \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) + + \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots + \nonumber \\ + {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) + + \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots + \nonumber \\ + {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots + \nonumber \\ + {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots + \nonumber + \end{eqnarray} + \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$ + f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\ + $\Rightarrow$ Korrekturfaktor: + $\Delta {\bf a}(t + \delta t) = + {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$ + \item Korrektur: + \begin{eqnarray} + {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) + + c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\ + {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) + + c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\ + {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) + + c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\ + {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) + + c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber + \end{eqnarray} + \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes +\end{itemize} +{\scriptsize + C. W. Gear. + The numerical integration of ordinary differential equations of various orders. + (1966)\\ + C. W. Gear. + Numerical initial value problems in ordinary differential equations. + (1971) } \end{slide} \begin{slide} {\large\bf + Velocity Verlet +}\\ +Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung: +\begin{eqnarray} + {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) + + \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\ + {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t ( + {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber +\end{eqnarray} +Alogrithmus: +\begin{itemize} + \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$ + \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten + \[ + {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t) + \] + \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$ + $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$ + \item Update der Geschwindigkeiten + \[ + {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) + + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t) + \] +\end{itemize} +Eigenschaften: +\begin{itemize} + \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$ + \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$ + \item verh"altnism"a"sig pr"azise +\end{itemize} +\end{slide} + +\begin{slide} +{\large\bf + Modell zur Wechselwirkung - Das Potential +}\\ +Klassisches Potential: +\[ +{\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) + + \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) + + \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) + + \ldots +\] +\begin{minipage}{8.3cm} +\begin{itemize} + \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld) + \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential + (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$) + \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential + (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$) + \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut + \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie) + \item nur Paarpotential\\ + $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\ + $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien +\end{itemize} +\end{minipage} +\begin{minipage}{4cm} + \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps} +\end{minipage} +Cut-Off Radius $r_c$: +\begin{itemize} + \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht + \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden +\end{itemize} +\begin{picture}(350,5) +\end{picture} +Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$ +\end{slide} -} +\begin{slide} +{\large\bf + Wahl/Kontrolle des Ensembles +}\\ +\begin{picture}(350,10) +\end{picture} +Erinnerung: +\begin{itemize} + \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $_{ens} = _t$ + \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten + \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$ +\end{itemize} +$\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles +\[ + \rho_{ens}=\delta(H(t)-E) +\] +\begin{picture}(350,10) +\end{picture} +F"ur andere Ensembles: +\begin{itemize} + \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen + im gew"unschten Ensemble +\end{itemize} +\begin{center} +{\color{red} oder} +\end{center} +\begin{itemize} + \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$ + $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\ + Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren, + Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten +\end{itemize} \end{slide} \begin{slide} {\large\bf + kanonisches Ensemble (NVT) +}\\ +\begin{picture}(350,10) +\end{picture} +Trick: {\em temperature scaling} +\begin{itemize} + \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt + \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$ + \item eigentlich {\em velocity scaling} + \item Berendsen Thermostat: + \[ + \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)} + \] + \begin{center} + $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\ + {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.} + \end{center} +\end{itemize} +Andersen: +\begin{itemize} + \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend + der Temperatur + \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad + \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen} + \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\ + (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms) +\end{itemize} +\end{slide} +\begin{slide} +{\large\bf + isothermales isobares Ensemble (NpT) +}\\ +\begin{picture}(350,10) +\end{picture} +Trick: {\em pressure scaling} +\begin{itemize} + \item analog zum {\em temperature scaling} + \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater) + \item eigentlich {\em volume scaling} + \item Berendsen Barostat: + \[ + \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3} + \] +\end{itemize} +\begin{picture}(350,10) +\end{picture} +Andersen: +\begin{itemize} + \item modifizierte Bewegungsgleichung + (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$) + \[ + \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q}) + =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 - + \sum_{i