X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?p=lectures%2Flatex.git;a=blobdiff_plain;f=posic%2Ftalks%2Fmd_simulation_von_silizium.tex;h=c3196b7d3c23866dc37d97708c7e4439a2307f11;hp=d2b37f44ad97b8480b48213bdf5e00f67367fe00;hb=9fcbeaedc70ddab9de4da5854e774ae13553cb90;hpb=d8ba9d1112e8f769a1c0043262e1239d0ee8a984 diff --git a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex index d2b37f4..c3196b7 100644 --- a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex +++ b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex @@ -139,7 +139,7 @@ Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$ \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\ \[ - \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}, + \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}, \qquad \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \]\\ @@ -153,7 +153,7 @@ $\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\ Notwendige Bestandteile der MD-Simulation } \begin{itemize} - \item Methode zum Intgrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator) + \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator) \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion) \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles \end{itemize} @@ -287,59 +287,182 @@ Klassisches Potential: \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) + \ldots \] +\begin{minipage}{8.3cm} \begin{itemize} \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld) \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential - (nur abh"angig vom Abstand ${\bf r}_{ij}$) + (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$) \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential + (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$) + \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut + \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie) + \item nur Paarpotential\\ + $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\ + $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien \end{itemize} +\end{minipage} +\begin{minipage}{4cm} + \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps} +\end{minipage} +Cut-Off Radius $r_c$: +\begin{itemize} + \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht + \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden +\end{itemize} +\begin{picture}(350,5) +\end{picture} +Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$ \end{slide} \begin{slide} {\large\bf Wahl/Kontrolle des Ensembles -} +}\\ +\begin{picture}(350,10) +\end{picture} +Erinnerung: +\begin{itemize} + \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $_{ens} = _t$ + \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten + \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$ +\end{itemize} +$\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles +\[ + \rho_{ens}=\delta(H(t)-E) +\] +\begin{picture}(350,10) +\end{picture} +F"ur andere Ensembles: +\begin{itemize} + \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen + im gew"unschten Ensemble +\end{itemize} +\begin{center} +{\color{red} oder} +\end{center} +\begin{itemize} + \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$ + $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\ + Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren, + Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten +\end{itemize} \end{slide} \begin{slide} {\large\bf kanonisches Ensemble (NVT) -} +}\\ +\begin{picture}(350,10) +\end{picture} +Trick: {\em temperature scaling} +\begin{itemize} + \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt + \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$ + \item eigentlich {\em velocity scaling} + \item Berendsen Thermostat: + \[ + \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)} + \] + \begin{center} + $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\ + {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.} + \end{center} +\end{itemize} +Andersen: +\begin{itemize} + \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend + der Temperatur + \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad + \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen} + \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\ + (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms) +\end{itemize} \end{slide} \begin{slide} {\large\bf isothermales isobares Ensemble (NpT) -} +}\\ +\begin{picture}(350,10) +\end{picture} +Trick: {\em pressure scaling} +\begin{itemize} + \item analog zum {\em temperature scaling} + \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater) + \item eigentlich {\em volume scaling} + \item Berendsen Barostat: + \[ + \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3} + \] +\end{itemize} +\begin{picture}(350,10) +\end{picture} +Andersen: +\begin{itemize} + \item modifizierte Bewegungsgleichung + (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$) + \[ + \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q}) + =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 - + \sum_{i