author hackbard Mon, 6 Feb 2012 21:32:17 +0000 (22:32 +0100) committer hackbard Mon, 6 Feb 2012 21:32:17 +0000 (22:32 +0100)

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A vector $\vec{a}$ of an $N$-dimensional vector space (see \ref{math_app:vector_space} for mathematical details) is represented by its components $a_i$ with respect to a set of $N$ basis vectors ${\vec{e}_i}$.
\begin{equation}
-\vec{a}=\sum_i \vec{e}_i a_i
+\vec{a}=\sum_i^N \vec{e}_i a_i
\label{eq:vec_sum}
\end{equation}
The scalar product for an $N$-dimensional vector space is defined as
\begin{equation}
(\vec{a},\vec{b})=\sum_i^N a_i b_i \text{ ,}
+\label{eq:vec_sp}
\end{equation}
-which introduces a norm
+which enables to define a norm
\begin{equation}
||\vec{a}||=\sqrt{(\vec{a},\vec{a})}
\end{equation}
-that correpsonds to the length of vector \vec{a}.
-Evaluating the scalar product $(\vec{a},\vec{b})$ by the sum representation of \eqref{eq:vec_sum} \ldots
+that just corresponds to the length of vector \vec{a}.
+Evaluating the scalar product $(\vec{a},\vec{b})$ by the sum representation of \eqref{eq:vec_sum} leads to
\begin{equation}
+(\vec{a},\vec{b})=(\sum_i\vec{e}_ia_i,\sum_j\vec{e}_jb_j)=
+\sum_i\sum_j(\vec{e}_i,\vec{e}_j)a_ib_j \text { ,}
\end{equation}
+which is equal to \eqref{eq:vec_sp} only if
+\begin{equation}
+(\vec{e}_i,\vec{e}_j)=
+\delta_{ij}  = \left\{ \begin{array}{lll}
+0 & {\rm for} ~i \neq j \\
+1 & {\rm for} ~i = j   \end{array} \right.
+\text{ (Kronecker delta symbol),}
+\end{equation}
+i.e.\  the basis vectors are mutually perpendicular (orthogonal) and  have unit length (normalized).
+Such a basis set is called orthonormal.
+The component of a vector can be obtained by taking the scalar product with the respective basis vector.
+\begin{equation}
+\vec{e}_j\vec{a}=\vec{e}_j \sum_i \vec{e}_ia_i=\sum_i \vec{e}_j\vec{e}_ia_i=
+\sum_i\delta_{ij}a_i=a_j
+\end{equation}
+Inserting the expression for the coefficients into \eqref{eq:vec_sum}, the vector can be written as
+\begin{equation}
+\label{eq:complete}
+\vec{a}=\sum_i \vec{e}_i (\vec{e}_i\vec{a}) \Leftrightarrow \sum_i\vec{e}_i\vec{e}_i=\vec{1}
+\end{equation}
+if the basis is complete.
+Thus, the very important second part of \eqref{eq:complete} is known as the completeness relation or closure.

+Todo: outer product ... + explicitly mark scalar product