\item \emph{Herrn Prof. Dr. Bernd Stritzker} f"ur die M"oglichkeit diese Arbeit an seinem Lehrstuhl durchf"uhren zu k"onnen,
\item \emph{Herrn Priv.-Doz. Dr. habil. Volker Eyert} f"ur die Bereitschaft sich dieser Arbeit als Zweitkorrektor anzunehmen,
\item \emph{Herrn Priv.-Doz. Dr. habil. J"org K. N. Lindner} f"ur die Vergabe des interessanten Themas, die engagierte Betreuung und Unterst"utzung, sowie die Durchsicht dieses Skripts,
- \item \emph{Herrn Dipl.-Phys. Maik H"aberlen} f"u die Betreuung und vorallem den Ansto"s zu diesem Thema, und
- \item \emph{Herrn Dipl.-Phys. Ralf Utermann f"ur einen tempor"aren Zugang zum Rechencluster des Physik Instituts.}
+ \item \emph{Herrn Dipl.-Phys. Maik H"aberlen} f"ur die Betreuung und vorallem den Ansto"s zu diesem Thema, und
+ \item \emph{Herrn Dipl.-Phys. Ralf Utermann} f"ur einen tempor"aren Zugang zum Rechencluster des Physik Instituts.
\end{itemize}
Allen weiteren Mitarbeitern des Lehrstuhls, insbesondere dem Diplomandenzimmer danke ich recht herzlich f"ur die freundschaftliche Arbeitsatmosph"are.
-Ein ganz besonderer Dank gilt meinen Eltern Wilfriede und Karl ohne deren Unterst"utzung das Studium nicht m"oglich gewesen w"are.
+Den gr"o"sten Dank gilt meinen Eltern Wilfriede und Karl Zirkelbach, die mir in unglaublicher G"ute hohe finanzielle Mittel zur Verf"ugung gestellt haben um den bayrischen Staat nicht unn"otig zu belasten (kein BAf"oG, kein Kindergeld, Zahlung f"ur Krankenkasse).
+Besonders danke ich Ihnen, dass Ihre Drohungen, mir die finanziellen Mittel zu entziehen, wenn ich nicht endlich zum Schluss komme, mich jeden Morgen aus dem Bett trieben.
+
+%Ein ganz besonderer Dank gilt meinen Eltern, ohne deren Unterst"utzung das Studium nicht m"oglich gewesen w"are.
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-node}
-\hyphenation{Auf-nah-me TEM-Auf-nah-me kris-tal-lin-en Kohlen-stoff-über-sättigung Selbstorganisationsprozesses kohlen-stoff-in-du-zierte nano-metrisch nano-metrische kris-tal-lin}
+\hyphenation{Auf-nah-me TEM-Auf-nah-me kris-tal-lin-en Kohlen-stoff-über-sättigung Selbstorganisationsprozesses kohlen-stoff-in-du-zierte nano-metrisch nano-metrische kris-tal-lin Target-atom Target-atoms Si-mu-la-tions-pa-ra-me-ter ge-startet}
% wer macht was? immer wichtig, auch wenn \maketitle versagt ... ;)
\author{Frank Zirkelbach}
\end{itemize}
Die Bestrahlung von Materialien mit energetischen Teilchen hat eine sehr hohe Energie-Dissipation im Material zur Folge, welche die zu Grunde liegende Nano- und Mikrostruktur weit aus dem Gleichgewichtszustand bringen kann.
-Eine der un"ublichsten Antworten des Systems auf die "au"sere Stimulation ist die Selbstorganisation der Nano- und Mikrostruktur zu periodisch angeordneten zwei- oder drei-dimensionalen Gebilden.
+Eine der un"ublichsten Antworten eines Systems auf "au"sere Stimulation ist die Selbstorganisation der Nano- und Mikrostruktur zu periodisch angeordneten zwei- oder drei-dimensionalen Gebilden.
Bei Untersuchungen von Hochdosis-Kohlenstoff-Ionenimplantationen in Silizium, als Methode zur Herstellung vergrabener epitaktischer $SiC$-Schichten \cite{herstellung_sic_schicht},\\
fand man bei Temperaturen kleiner $400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ die Ausbildung einer amorphen Schicht, begleitet von lamellaren und sph"arischen $SiC_x$-Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache.
Weiterhin bieten sie den Vorteil, dass die physikalischen Vorg"ange weitgehend ohne einschr"ankende Annahmen behandelt werden k"onnen.
Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut.
-In Kapitel \ref{chapter:grundlagen} werden die n"otigen Grundlagen der Ionen-Festk"orper Wechselwirkung wiederholt und eine kurze Einf"uhrung in das Konzept der Monte-Carlo-Simulation gegeben.
+In Kapitel \ref{chapter:grundlagen} werden die n"otigen Grundlagen der Ion-Festk"orper Wechselwirkung wiederholt und eine kurze Einf"uhrung in das Konzept der Monte-Carlo-Simulation gegeben.
Danach wird in Kapitel \ref{chapter:modell} das Modell konkret formuliert.
-In Kapitel \ref{chapter:simulation} wird die Implementierung des vorher vorgestellten Modells behandelt.
-Nach der Diskussion der Ergebnisse in Kapitel \ref{chapter:simulation} schliesst die Arbeit mit einer Zusammenfassung und einem Ausblick in Kapitel \ref{chapter:z_und_a}.
+In Kapitel \ref{chapter:simulation} wird die Implementierung des vorgestellten Modells behandelt.
+Nach der Diskussion der Ergebnisse in Kapitel \ref{chapter:ergebnisse} schlie"st die Arbeit mit einer Zusammenfassung und einem Ausblick in Kapitel \ref{chapter:z_und_a}.
Zus"atzlich ist der Verlauf des Kohelnstoffmaximums eingezeichnet.
Die amorphe Schicht erstreckt sich um das Kohlenstoff-Verteilungsmaximum.
- Die folgenden Tabellen f"assen die Kohlenstoffkonzentration an der vorderen und hinteren Grenzfl"ache f"ur Experiment und Simulation in Abh"angigkeit der Dosis zusammen.
+ Die Tabellen \ref{table:interface_conc_exp} und \ref{table:interface_conc_sim} fassen die Kohlenstoffkonzentration an der vorderen und hinteren Grenzfl"ache f"ur Experiment und Simulation in Abh"angigkeit der Dosis zusammen.
+ \begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\hline
\end{tabular}
\end{center}
+ \caption{Experimentell bestimmte Kohlenstoffkonzentration an den Grenzfl"achen der amorphen Schicht in Abh"angigkeit der Dosis.}
+ \label{table:interface_conc_exp}
+ \end{table}
+ \begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\hline
\end{tabular}
\end{center}
+ \caption{Durch die Simulation ermittelte Kohlenstoffkonzentration an den Grenzfl"achen der amorphen Schicht in Abh"angigkeit der Anzahl der Durchl"aufe.}
+ \label{table:interface_conc_sim}
+ \end{table}
Die Werte f"ur Simulation und Experiment liegen in der selben Gr"o"senordnung.
Ausserdem stimmen auch die Konzentrationen an vorderer und hinterer Grenzfl"ache bis auf einen Fehler von maximal $3 \%$ gut "uberein.
Dies ist ein erneuter Hinweis, dass die tiefenabh"angige nukleare Bremskraft eine untergeordnete Rolle im Amorphisierungsprozess einnimmt.
Da gleichzeitig die Rekristallisationswahrscheinlichkeit sinkt, haben die ballistisch amorphisierten Gebiete eine h"ohere Chance sich durch implantierten beziehungsweise diffundierten Kohlenstoff zu stabilisieren.
Die hintere Grenzfl"ache der durchgehenden Schicht bleibt ungef"ahr in der selben Tiefe.
- In Betracht auf die zu grosse amorphe Schicht in Abbildung \ref{img:} $b)$ bei einer Dosis von $2,1 \times 10^{17} cm^{-2}$ wurde in \ref{img:var_sim_paramters} $d)$ der Einfluss der kohlenstoff-induzierten Amorphisierung auf $p_c=0,0001$ reduziert.
+ In Betracht auf die zu grosse amorphe Schicht in Abbildung \ref{img:dose_devel} $b)$ bei einer Dosis von $2,1 \times 10^{17} cm^{-2}$ wurde in \ref{img:var_sim_paramters} $d)$ der Einfluss der kohlenstoff-induzierten Amorphisierung auf $p_c=0,0001$ reduziert.
Wie erwartet hat die Ausdehnung der amorphen Schicht abgenommen.
Mit knapp $180 nm$ ist sie jedoch zu klein im Vergleich mit den experiemntellen Ergebnis f"ur eine Dosis von $4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$.
Sie erstreckt sich weiterhin um das Kohlenstoffmaximum.
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=12cm]{nel_2mev.eps}
- \caption{.}
+ \caption{Durch {\em TRIM} ermittelte nukleare Bremskraft von $2 MeV$ $C^+$ in Silizium.}
\label{img:nel_2mev}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=12cm]{impl_2mev.eps}
- \caption{.}
+ \caption{Durch {\em TRIM} ermitteltes Implantationsprofil von $2 MeV$ $C^+$ in Silizium.}
\label{img:impl_2mev}
\end{figure}
- Im Folgenden soll ein Mechanismus zur Erzeugung grosser lamellarer Bereiche durch einen zweiten Implantationsschritt vorhergesagt werden.
+ Im Folgenden soll gepr"uft werden, ob ein zweiter Implantationsschritt einen geeigneten Mechanismus zur Erzeugung breiter lamellarer Bereiche darstellt.
+ Die Idee ist folgende.
Als Grundlage dient ein Silizium Target, das wie bisher mit $180 keV$ $C^{+}$ beschossen wird.
Ein entsprechendes Implantationsprofil stellt sich ein.
Allerdings soll das Target durchgehend kristallin sein.
Dies l"asst sich experimentell durch Erh"ohung der Targettemeperatur erreichen.
+ Ideal w"are eine Verbreiterung des Kohlenstoffprofils durch einen Temperschritt.
Das kristalline Target wird dann mit $2 MeV$ $C^{+}$ bei der gewohnten Implantationstemperatur von $150 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ implantiert.
Abbildung \ref{img:nel_2mev} und \ref{img:impl_2mev} zeigen das durch {\em TRIM} ermittelte nukleare Bremskraft- und Implantationsprofil.
- Auf Grund der hohen Energie wird kaum noch Kohlenstoff in den bisher relevanten Tiefenbereich zur Ruhe kommen.
- Des weiteren ist in diesen Bereich die nukleare Bremskraft, und damit die Wahrscheinlichkeit eines Sto"ses, ann"ahernd konstant.
- Man erwartet eine gleichm"assige, um das Kohlenstoffmaximum verteilte Amorphisierung.
+ Das stark verrauschte nukleare Bremskraftprofil wird f"ur die Simulation in den ersten $1,5 \mu m$ durch eine lineare Regression gen"ahert (gr"une Gerade in Abbildung \ref{img:nel_2mev}).
+ Sie ist nahzu konstant in dem bisher betrachteten Bereich um das Kohlenstoffmaximum.
+ St"o"se sind in diesem Bereich demnach gleichwahrscheinlich bez"uglich der Tiefe.
+ Auf Grund der hohen Energie kommt kaum noch weiterer Kohlenstoff in den bisher relevanten Tiefenbereich zur Ruhe.
- Abbildung \ref{img:2nd_impl_4_3}
+ Bei geeigneter Wahl der Ausgangskonzentration wird nicht der komplette kohlenstoffhaltige Bereich amorphisieren.
+ Die Konzentration sollte idealerweise so hoch sein, dass die kohlenstoff-induzierte Amorphisierung zusammen mit den Spannungsbeitrag amorpher Nachbarn gerade hoch genug ist um die Stabilit"at der amorphen Phase zu gewerleisten.
+ Dies sollte zur Bildung amorpher Lamellen f"uhren.
+ Wird gen"ugend lang implantiert tr"agt die Diffusion des Kohlenstoffs zur Stabilisierung der amorphen Ausscheidungen bei.
+
+ \begin{figure}[h]
+ %\includegraphics[width=12cm]{2nd_impl_4_3.eps}
+ EDIT: hier kommt die dosisentwicklung der 2ten implantation hin!
+ \caption{Dosisentwicklung des zweiten Implantationsschrittes mit $2 MeV$ $C^+$ in $180 keV$ $C^{+}$ implantiertes Silizium mit der Dosis $4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$.}
+ \label{img:2nd_impl_4_3}
+ \end{figure}
+ Abbildung \ref{img:2nd_impl_4_3} zeigt die Dosisentwicklung des zweiten Implantationsschrittes mit $2 MeV$ $C^+$.
+ Als Ausgangskonfiguration wurde eine Dosis von $4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$ von $180 keV$ schnellen Kohlenstoff ins Silizium gew"ahlt.
+
-\chapter*{Erklärung}
-\addcontentsline{toc}{chapter}{Erklärung}
+\chapter*{Erkl"arung}
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Erkl"arung}
+
+Ich versichere, dass ich diese Diplomarbeit selbstst"andig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
+
+\vspace{2cm}
+
+\begin{center}
+\begin{minipage}{8cm}
+\begin{center}
+Augsburg, der 22. Juli 2005
+\end{center}
+\end{minipage}
+\end{center}
+
+\vspace{2cm}
+
+\begin{center}
+\begin{minipage}{5cm}
+\hrule
+\vspace{0.2cm}
+\begin{center}
+Frank Zirkelbach
+\end{center}
+\end{minipage}
+\end{center}
+
\section{Monte-Carlo-Simulation}
- Monte-Carlo-Simulationen sind Computer-Experimente zur Untersuchung interessierender Sachverhalte, die auf stochastischen Simulationsalgorithmen basieren.
+ Monte-Carlo-Simulationen sind Computer-Experimente zur Untersuchung von interessierenden Sachverhalten, die auf stochastischen Simulationsalgorithmen basieren.
Dabei werden vom Computer generierte Pseudozufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
\begin{equation} \label{eq:kon_v}
a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
\end{equation}
- einen minimalen Standard was die Qulit"at der Zufallszahlen angeht.
+ einen minimalen Standard was die Qualit"at der Zufallszahlen angeht.
Diese Wahl der Konstanten wird in vielen Zufallsfunktionen der Standardbibliotheken verwendet.
\subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}
0 & \textrm{sonst}
\end{array} \right.
\end{equation}
- gegeben ist. Ausserdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
+ gegeben ist. Au"serdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
\begin{equation}
\int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
\end{equation}
Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
- Einige in dieser Arbeit ben"otigte Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
+ Einige in dieser Arbeit ben"otigten Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
\subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}
\section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}
- Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation mu"s die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
+ Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation muss die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgebremst, ein entsprechendes Implantationsprofil stellt sich ein.
Weitere Folgen sind die durch Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden.
Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
\begin{equation}
S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n}
\end{equation}
- Dieser ist proportional zur Bremskraft $\frac{\partial E}{\partial x}$, welche angibt, wieviel Energie $E$ des Ions pro zur"uckgelegter Wegl"ange $x$ abgegeben wird.
+ Dieser ist proportional zur Bremskraft $\frac{\partial E}{\partial x}$, welche angibt wieviel Energie $E$ des Ions pro zur"uckgelegter Wegl"ange $x$ abgegeben wird.
$N$ ist die atomare Dichte des Festk"orpers.
Zerlegt man nun die Energieverlustrate in einen nuklearen und einen elektronischen Anteil so erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Wegl"ange:
\begin{equation}
- \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big) \quad \textrm{.}
\end{equation}
Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie erh"alt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions.
- Sei dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
+ Ist dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
\begin{equation}
R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{d E}{S_e(E) + S_n(E)} \quad \textrm{.}
\label{eq:range}
Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
- Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelatische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
+ Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelastische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
Da die nukleare Bremskraft sehr wichtig f"ur die weitere Arbeit ist, wird auf ihre Herleitung etwas genauer eingegangen.
Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden.
M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
\label{eq:m_red}
\end{equation}
- erh"alt man f"ur die Schwerpunktsbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
+ erh"alt man f"ur die Schwerpunktbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
\begin{equation}
\vec v_c = \frac{M_c}{M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
\label{eq:v_sp}
\end{equation}
- Daraus l"asst sich ableiten, dass die Telchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen sind.
+ Daraus l"asst sich ableiten, dass die Teilchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen sind.
\begin{equation}
\frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
\label{eq:inv_prop}
\vec v_{Atom} = & 0 - \vec v_c = - \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
\label{eq:v_atom_vor}
\end{eqnarray}
- womit der Gesamtimpuls $M_1 \vec v_{Ion} + M_2 \vec v_{Atom}$ verschwindet.
+ Der Gesamtimpuls $M_1 \vec v_{Ion} + M_2 \vec v_{Atom}$ verschwindet.
Die Impulse der Teilchen sind vor und nach dem Sto"s entgegengesetzt gleich gro"s.
Zusammen mit der Energieerhaltung folgt daraus, dass die Betr"age der Geschwindigkeiten durch den Sto"s nicht ver"andert werden.
Die kinetische Energie beider Teilchen bleibt im Schwerpunktsystem einzeln erhalten.
\vec v_2 = \vec v_{Atom} + \vec v_c
\end{equation}
gegeben.
- Der Zusammenhang zwischen Ablenkwinkel im Labor- und Schwerpunktsystem sowie der Ausdruck f"ur $v_2$ sind leicht zu erkennen.
+ Der Zusammenhang zwischen Ablenkwinkel im Labor- und Schwerpunktsystem, sowie der Ausdruck f"ur $v_2$, sind leicht zu erkennen.
\begin{eqnarray}
\Phi = & 2 \phi \\
\label{eq:angle_conv}
\label{eq:delta_e_max}
\end{equation}
- Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
+ Bis jetzt ist der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag, die Bremskraft, berechnet werden.
Unter der Annahme, dass Kr"afte nur entlang der Verbindungslinie zwischen Ion und Targetatom wirken, kann das Zweik"orperproblem auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
- Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange Gleichung gel"ost werden.
+ Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange-Gleichung gel"ost werden.
\begin{equation}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
\end{equation}
\begin{equation}
dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
\end{equation}
- kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens darstellen.
+ kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ darstellen, abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens.
\begin{equation}
\frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
\end{equation}
\Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{\sqrt{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
\label{eq:theta_of_p}
\end{equation}
- Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden.
+ Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Sto"sparameter $p$ bestimmt werden.
Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ erh"alt man durch die "Uberlegung, wieviel Teilchen $dN$ eines homogenen Einheitsstrahls $n$ durch die Kreisringfl"ache $2 \pi p dp$ gehen und wegen Erhaltung der Teilchenzahl zwischen $\Theta$ und $\Theta + d \Theta$ gestreut werden.
\begin{eqnarray}
d \sigma = & \frac{dN}{n} = 2 \pi p dp
\end{eqnarray}
Die Wahrscheinlichkeit $d \sigma$ bezeichnet man als differentiellen Wirkungsquerschnitt.
- $\Theta$ ist eine Funtkion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
+ $\Theta$ ist eine Funktion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
Die Funktion $p(\Theta)$ wiederrum ist diffenenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
\begin{equation}
d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} | \frac{dp}{d \Theta} | d \Omega
\end{equation}
- Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Integration aller m"oglicher Energie"ubertr"age $T(\Theta)$ gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit f"ur eine Streuung unter dem Winkel $\Theta$ berechnet werden.
+ Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Integration aller m"oglicher Energie"ubertr"age $T(\Theta)$, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit f"ur eine Streuung unter dem Winkel $\Theta$, berechnet werden.
\begin{equation}
S_n(E) = \int_0^{T_{max}} T d \sigma
\end{equation}
- Nun muss noch ein geeignetes interatomares Potential $V(r)$ zur Beschreibung der Wechselwirkung der Ionen mit dem Festk"orper gefunden werden.
+ Zuletzt muss noch ein geeignetes interatomares Potential $V(r)$ zur Beschreibung der Wechselwirkung der Ionen mit dem Festk"orper gefunden werden.
F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
\[
V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
\]
Dabei ist $\Phi$ eine geeignete Abschirmfunktion und $a$ der sogenannte Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
- Die Abschirmfunktion beachtet die Abschirumung des Coulombpotentials der Kerne des Ions und des Targetatoms durch die Elektronen.
+ Die Abschirmfunktion beachtet die Abschirmung des Coulombpotentials der Kerne des Ions und des Targetatoms durch die Elektronen.
Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment erh"alt man durch Verwendung des sogenannten \dq universal potential\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark}, dass von Ziegler et al. mit verbesserten Methoden, unter anderem dem Anfitten von Daten zahlreicher Ion-Target-Kombinationen an die Abschirmfunktion, eingef"uhrt wurde.
Diese ist in guter N"aherung f"ur alle Ion-Target-Kombinationen g"ultig.
Desweiteren schl"agt Biersack in \cite{ziegler_biersack_littmark} eine analytische N"aherungsformel zur einfachen Berechnung des Ablenkwinkels $\Theta$ aus dem Sto"sparameter $p$ vor.
Die elektronische Bremskraft ist abh"angig von der Energie der Ionen.
Verschiedene Theorien beschreiben die Abbremsung unterschiedlich schneller Ionen.
Da in dieser Arbeit nur niedrige Projektilenergien (kleiner $0,1 Mev/amu$) behandelt werden, sollen Theorien f"ur den Hochenergiebereich hier nicht diskutiert werden.
- F"ur hohe, nicht-relativistische Energien m"usste die Bethe-Bloch-Gleichung \cite{bethe_bloch} zur Beschreibung des elektronischen Energieverlusts herangezogen werden.
+ F"ur hohe, nicht-relativistische Energien m"usste die Bethe-Bloch-Gleichung \cite{bethe_bloch} zur Beschreibung des elektronischen Energieverlustes herangezogen werden.
Zus"atzliche relativistische Effekte f"uhren zu einem Anstieg der Bremskraft bei noch h"oheren Energien.
F"ur niedrige Teilchengeschwindigkeiten kann die elektronische Abbremsung mit Hilfe der LSS-Theorie \cite{lss} beschrieben werden.
S_e(E) = k_L \sqrt{E}
\label{eq:el_sp}
\end{equation}
- Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beachtet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und der Targetatome.
- Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in der Abh"angigkeit der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, beachtet werden.
- In \cite{ziegler_biersack_littmark} wird eine Theorie vorgestellt die auch die Oszillationen erkl"art.
- Dabei werden alle Bremskr"afte auf experimentell genau bekannte Wasserstoff-Bremskr"afte fuer jedes Element zur"uckgef"uhrt.
+ Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beachtet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und des Targetatoms.
+ Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in der Abh"angigkeit der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, ber"ucksichtigt werden.
+ In \cite{ziegler_biersack_littmark} wird eine Theorie vorgestellt, die auch die Oszillationen erkl"art.
+ Dabei werden alle Bremskr"afte auf experimentell genau bekannte Wasserstoff-Bremskr"afte f"ur jedes Element zur"uckgef"uhrt.
Die Wasserstoff-Bremskr"afte werden mittels der Brandt-Kitagawa-Theorie f"ur schwere Ionen im gleichen Target skaliert.
\subsection{Implantationsprofil}
Mit den im letzten Abschnitt bestimmten Bremsquerschnitten $S_n$ und $S_e$ kann nun mittels \eqref{eq:range} die mittlere Reichweite $R$ der Ionen angegeben werden.
- Diese ist allerdings ungleich der mittleren Tife, in der das Ion zur Ruhe kommt, da das implantierte Ion seine Richtung nach jedem Sto"s ver"andern wird.
+ Diese ist allerdings ungleich der mittleren Tiefe, in der das Ion zur Ruhe kommt, da das implantierte Ion seine Richtung nach jedem Sto"s ver"andern wird.
Die so erhaltene projezierte Reichweite $R_p$ und deren Standardabweichung $\Delta R_p$ k"onnen durch L"osung von Integro-Differentialgleichungen \cite{lss_2} berechnet werden.
Weiterhin wird in \cite{lss_2} vorgeschlagen, das Konzentrationsprofil durch eine Gau"sverteilung anzun"ahern.
Mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM} \cite{ziegler_biersack_littmark,biersack_haggmark} (kurz f"ur {\bf TR}ansport of {\bf I}ons in {\bf M}atter) k"onnen die tiefenabh"angigen Bremskr"afte und die Reichweitenverteilung simuliert werden.
Da in dieser Arbeit von {\em TRIM} simulierte nukleare Bremskraftprofile, Reichweitenverteilungen und Informationen aus den protokollierten Kollisionen verwendet werden, soll hier grob auf den Ablauf des Programms eingegangen werden.
- Das Programm folgt den Bahnen einer grossen Anzahl von Teilchen die in das Target implantiert werden.
+ Das Programm folgt den Bahnen einer gro"sen Anzahl von Teilchen, die in das Target implantiert werden.
Jedes Ion startet mit einer gegebenen Energie, Position und Richtung.
Die Teilchen vollziehen Richtungs"anderungen auf Grund von Kernst"o"sen mit den Atomen des Targets.
Zwischen zwei Kollisionen bewegt sich das Ion geradlinig innerhalb einer freien Wegl"ange.
Durch die nukleare und elektronische Bremskraft verliert das Teilchen Energie.
- Die Verfolgung der Teilchenbahn terminiert wenn die Energie unter einen bestimmten Wert abgefallen oder das Teilchen das Taregt verlassen hat.
- Das Target wird als amorph angenommen weshalb kristalline Richtungseigenschaften, wie zum Beispiel das sogenannte Channeling, ignoriert werden.
+ Die Verfolgung der Teilchenbahn terminiert, wenn die Energie unter einen bestimmten Wert abgefallen, oder das Teilchen das Taregt verlassen hat.
+ Das Target wird als amorph angenommen, weshalb kristalline Richtungseigenschaften, wie zum Beispiel das sogenannte Channeling, ignoriert werden.
Der nukleare und elektronische Energieverlust werden unabh"angig voneinander behandelt.
- Das Teilchen verliert einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se und kontinuierlich auf Grund der elektronischen Bremskraft.
+ Das Teilchen verliert neben den kontinuierlichen Energieverlust auf Grund der elektronischen Bremskraft einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se.
Das einfallende Teilchen startet mit der Anfangsenergie $E = E_0$ an der Oberfl"ache des Targets.
Drei Zufallszahlen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden auf die physikalischen Gr"o"sen freie Wegl"ange $l$, Sto"sparamter $p$ und den Azimutwinkel $\Phi$ abgebildet.
\begin{equation}
l = N^{- \frac{1}{3}}
\end{equation}
- F"ur gr"ossere Energien muss der M"oglichkeit gr"osserer freier Wegl"angen Rechnung getragen werden und eine entsprechende Abbildung von $R_1$ auf $l$ ist n"otig \cite{ziegler_biersack_littmark}.
+ F"ur gr"o"sere Energien muss der M"oglichkeit gr"o"serer freier Wegl"angen Rechnung getragen werden und eine entsprechende Abbildung von $R_1$ auf $l$ ist n"otig \cite{ziegler_biersack_littmark}.
Danach wird der Sto"sparameter durch
\begin{equation}
Der elektronische Energieverlust ergibt sich aus dem Produkt der freien Wegl"ange $l$ mit dem Ausdruck f"ur die elektronische Bremskraft $S_e(E)$ aus \eqref{eq:el_sp} und der atomaren Dichte $N$.
Durch die freie Wegl"ange und den Ablenk- und Azimutwinkel ist der Ort des n"achsten Sto"sprozesses festgelegt.
Die Koordinaten und der Energie"ubertrag jedes Sto"ses werden protokolliert, womit die nukleare und elektronische Bremskraft bestimmt ist.
- Die Koordinaten der Ionen die unter einen bestimmten Energiebetrag abgefallen sind merkt sich das Programm ebenfalls.
+ Die Koordinaten der Ionen, die unter einen bestimmten Energiebetrag abgefallen sind, werden ebenfalls durch das Programm festgehalten.
Damit ist das Implantationsprofil bekannt.
\subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}
Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann.
Die Anzahl und Verteilung der Strahlensch"aden h"angt dabei von Temperatur, Energie und Masse der implantierten Ionen sowie der Masse der Targetatome ab.
Ein Ma"s f"ur die Konzentration der Strahlensch"adigung ist der Energieanteil, der in Form von Kernwechelswirkung an den Festk"orper abgegeben wurde \cite{brice1,brice2}.
- Dieser ist prportional zu den erzeugten Leerstellen und komplexeren Defekten im Target \cite{stein_vook_borders}.
+ Dieser ist proportional zu den erzeugten Leerstellen und komplexeren Defekten im Target \cite{stein_vook_borders}.
Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease \cite{kinchin_pease} zu
\begin{equation}
\listoffigures
\addcontentsline{toc}{chapter}{Abbildungsverzeichnis}
+\listoftables
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabellenverzeichnis}
\section{Implantationsbedingungen f"ur nanometrische Ausscheidungen}
- Gegenstand dieser Arbeit ist die Umsetzung eines Modells welches den Selbstorganisationsvorgang von lamellaren und sph"arischen $SiC_x$-Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache zur durchgehenden amorphen $SiC_x$-Schicht erkl"aren soll.
+ Gegenstand dieser Arbeit ist die Umsetzung eines Modells, welches den Selbstorganisationsvorgang von lamellaren und sph"arischen $SiC_x$-Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache zur durchgehenden amorphen $SiC_x$-Schicht erkl"aren soll.
Die Entstehung solcher Ausscheidungen beobachtet man nur unter bestimmten Implantationsbedingungen.
- Die Implantationstemperatur muss hoch genug sein um eine komplette Amorphisierung des Targets, und gleichzeitig niedrig genug um die Kristallisation amorpher Ausscheidungen zu kubischen $3C-SiC$ zu verhindern.
+ Die Implantationstemperatur muss hoch genug sein, um eine komplette Amorphisierung des Targets, und gleichzeitig niedrig genug, um die Kristallisation amorpher Ausscheidungen zu kubischen $3C-SiC$ zu verhindern.
F"ur Kohlenstoff in Silizium sind Temperaturen zwischen $150$ und $400 \, ^{\circ} C$ geeignet.
Da bei diesen Temperaturen kaum Amorphisierung zu erwarten ist, muss sehr viel Kohlenstoff implantiert werden, was letztendlich zur Nukleation kohlenstoffreicher amorpher $SiC_x$-Ausscheidungen f"uhrt.
\begin{figure}[h]
In einer Tiefe von ungef"ahr $300 nm$ beginnt die amorphe durchgehende Schicht.
An der vorderen Grenzfl"ache sind die lamellaren und sph"arischen $SiC_x$-Ausscheidungen zu erkennen.
Diese erstrecken sich "uber einen Tiefenbereich von ca. $100 nm$.
- Im rechten Teil von Abbildung \ref{img:xtem_img} sieht man einen vergr"osserten Ausschnitt der vorderen Grenzfl"ache.
- Man erkennt die regelm"assige Anordnung der lamellaren Ausscheidungen ($L$) in Abst"anden die ungef"ahr der H"ohe der Ausscheidungen selbst entspricht.
+ Im rechten Teil von Abbildung \ref{img:xtem_img} sieht man einen vergr"o"serten Ausschnitt der vorderen Grenzfl"ache.
+ Man erkennt die regelm"a"sige Anordnung der lamellaren Ausscheidungen ($L$) in Abst"anden, die ungef"ahr der H"ohe der Ausscheidungen selbst entspricht.
Die Lamellen sind parallel zur Targetoberfl"ache ausgerichtet.
Neben Kohlenstoffimplantation in Silizium wurden solche Ausscheidungen auch in Hochdosis-Sauerstoffimplantation in Silizium, $Ar^+$ in Saphir und $Si^+$ in $SiC$ \cite{van_ommen,specht,ishimaru} gefunden.
- Entscheidend ist eine Dichtereduktion des Materialsystems bei Amorphisierung, worauf im n"achsten Abschnitt eingegangen wird.
+ Entscheidend ist eine Dichtereduktion des Materialsystems bei der Amorphisierung, worauf im n"achsten Abschnitt eingegangen wird.
\section{Formulierung des Modells}
Tats"achlich wurde in \cite{linnross} gezeigt, dass reines amorphes Silizium bei Temperaturen "uber $130 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ ionenstrahl-induziert epitaktisch rekristallisiert.
Die Amorphisierung bei den gegebenen Temperaturen muss also dem Vorhandensein von Kohlenstoff zugeschrieben werden, der die amorphe Phase stabilisiert \cite{kennedy}.
Die Tatsache, dass die $SiC_x$ -Ausscheidungen in amorpher Form vorliegen, l"asst sich durch den Unterschied in der Gitterkonstante von kristallinen Silizium ($a=5,43 \textrm{\AA}$) und kubischen $3C-SiC$ ($a=4,36 \textrm{\AA}$) erkl"aren.
- Auf Grund des Unterschiedes von fast $20\%$ in der Gitterkonstante, hat die Nukleation von kubischen Siliziumkarbid in kristallinen Silizium eine hohe Grenzfl"achenenrgie zur Folge, die in \cite{taylor} zu $2-8 \times 10^{-4} J cm^{-2}$ abgesch"atzt wird.
+ Auf Grund des Unterschiedes von fast $20\%$ in der Gitterkonstante, hat die Nukleation von kubischen Siliziumkarbid in kristallinen Silizium eine hohe Grenzfl"achenenergie zur Folge, die in \cite{taylor} zu $2-8 \times 10^{-4} J cm^{-2}$ abgesch"atzt wird.
Es ist also energetisch g"unstiger, wenn eine der beiden Substanzen in amorpher Form vorliegt.
- Energie-gefilterte Transmissionselektronenmikroskopie \cite{eftem_tbp} hat gezeigt, dass die amorphe Phase in der Tat kohelnstoffreicher als deren kristalline Umgebung ist.
+ Energie-gefilterte Transmissionselektronenmikroskopie \cite{eftem_tbp} hat gezeigt, dass die amorphe Phase in der Tat kohlenstoffreicher als deren kristalline Umgebung ist.
Weiterhin best"atigten Temperexperimente \cite{maik_temper}, dass die amorphen Gebiete selbst weit "uber der Rekristallisationstemperatur stabil sind.
Bei l"angeren Tempervorg"angen bei $900 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ entstehen geordnete Ketten von abwechselnd amorphen und kristallinen $3C-SiC$ Ausscheidungen, was nochmal die kohlenstoffreiche Natur der amorphen Phase zeigt.
Mit zunehmender Dosis wird also eine S"attigungsgrenze von Kohlenstoff in kristallinen Silizium "uberschritten, was zur Nukleation sph"arischer amorpher $SiC_x$-Ausscheidungen f"uhrt.
Amorphes $SiC$ ($a-SiC$) hat eine $20$ bis $30\%$ geringere Dichte im Vergleich zu kubischen Siliziumkarbid ($3C-SiC$) \cite{horton,skorupa}.
Dasselbe wird f"ur die Dichte von nicht st"ochiometrischen $SiC_x$ zu kristallinen Silizium ($c-Si$) angenommen.
- Die amorphen Gebite sind demnach bestrebt sich auszudehnen und "uben Druckspannungen auf die kristalline Umgebung aus.
+ Die amorphen Gebiete sind demnach bestrebt sich auszudehnen und "uben Druckspannungen auf die kristalline Umgebung aus.
Diese sind in Abbildung \ref{img:modell} durch die von $R$ ausgehenden Pfeile dargestellt.
Da sich die Ausscheidungen relativ nah an der Oberfl"ache des Targets befinden, kann der vertikale Anteil der Spannungen durch Expansion des Targets relaxieren.
- Dies gilt nicht fuer die horizontale Komponente.
+ Dies gilt nicht f"ur die horizontale Komponente.
Es verbleiben laterale Druckspannungen parallel zur Oberfl"ache.
Diese beg"unstigen Amorphisierung in der Nachbarschaft der Ausscheidung, da im Falle einer Sto"skaskade die versetzten Atome auf Grund der vorhandenen Spannungen nur erschwert auf ihre regul"aren Gitterpl"atze zur"uckkehren k"onnen.
Im Gegensatz dazu wird $a-Si$ in einer kristallinen Nachbarschaft unter den gegebenen Bedingungen sehr wahrscheinlich rekristallisieren.
-\chapter{Funktion und Quelltext der Programme}
+\chapter{Funktionen der Programme}
+
+{\em NLSOP} besteht aus einer Anzahl von Programmen.
+Diese sollen im Folgenden vorgestellt werden.
+Der Quellcode ist auf der beigelegten Compact Disc enthalten.
+
\section{Server}
+ \begin{verbatim}
+ nlsop_server.c
+ \end{verbatim}
+ Ein {\em Server}-Programm, bei dem sich {\em Client} und {\em Benutzeroberfl"ache} anmelden.
+ Dieses verteilt die zu rechnenden Simulationen auf freie {\em Client}-Rechner oder h"alt Simulationsauftr"age in einer Warteschlange.
+ Es nimmt fertige Rechenergebnisse entgegen und speichert sie lokal ab.
+ Es h"alt Statusinformationen "uber die laufenden Rechnungen und die Warteschlange zur Abfrage bereit.
+ Weiterhin nimmt es Simulationsauftr"age entgegen.
+ Die Interaktion mit {\em Client} und {\em Benutzeroberfl"ache} erfolgt durch das Netzwerk "uber eine {\em TCP/IP}-Verbindung.
\section{Client}
+ \begin{verbatim}
+ nlsop_client.c
+ \end{verbatim}
+ Das {\em Client}-Programm beinhaltet den eigentlichen Simulationscode.
+ Es meldet sich beim {\em Server} an und nimmt Rechenaufgaben entgegen.
+ Nach einer eintellbaren Anzahl von Durchl"aufen "ubergibt es Zwischenergebnisse beziehungsweise das Endergebnisse an den {\em Server}-Prozess.
+ Nach Beendigung einer Simulation geht es zur"uck in den Ruhezustand und wartet auf neue Rechenauftr"age.
\section{Benutzeroberfl"ache}
+ \begin{verbatim}
+ nlsop_gui.c
+ \end{verbatim}
+ Die {\em Benutzeroberfl"ache} dient zur "Ubergabe von Simulationsauftr"agen an den {\em Server}.
+ Weiterhin dient es zur Statusabfrage von laufenden Rechnungen, der Warteschlange und der angemeldeten {\em Client}-Rechner.
\section{Standalone Version}
+ \begin{verbatim}
+ nlsop.c
+ \end{verbatim}
+ Die {\em Standalone Version} ist ein eigenst"andiges Programm, das unter anderem auch den Simulationscode beinhaltet.
+ Zus"atzlich stellt sie eine Benutzeroberfl"ache zur Verf"ugung, die die Untersuchung des fertig simulierten Ergebnisses erm"oglicht.
+ Man kann Grafiken, die den TEM-Aufnahmen "ahnlich sind, sowie Druckspannungen und den Kohlenstoffgehalt visualisieren und als Bitmap abspeichern.
+ Ausserdem kann man Kohlenstoffprofile erzeugen und die Tiefe der vorderen und hinteren Grenzfl"ache einer vorhandenen durchgehenden Schicht bestimmen.
\section{APIs}
+ Einige Funktionalit"at wurde in externen Programmierschnittstellen ausgelagert.
+ Diese sind im Folgenden vorgestellt.
+ \begin{itemize}
+ \item \begin{verbatim} network.c, network.h \end{verbatim} \\
+ Hilfsmittel zur Verbindung der Programmteile "uber das Netzwerk.
+ \item \begin{verbatim} input.c, input.h \end{verbatim} \\
+ Funktionen f"ur die Benutzereingabe.
+ \item \begin{verbatim} list.c, list.h \end{verbatim} \\
+ Hilfsmittel zur Benutzung von verlinkten Listen.
+ \item \begin{verbatim} display.c, display.h \end{verbatim} \\
+ Funktionen zur Visulisierung auf Konsolenebene.
+ \item \begin{verbatim} event.c, event.h \end{verbatim} \\
+ Hilfsmittel zum Eventmanagement.
+ \item \begin{verbatim} bmp.c, bmp.h \end{verbatim} \\
+ Funktionen f"ur die Erstellung und Bearbeitung von Bitmap Dateien.
+ \item \begin{verbatim} fourier.c, fourier.h \end{verbatim}
+ Funktionen f"ur die diskrete Fouriertransformation.
+ \item \begin{verbatim} dfbapi.c, dfbapi.h \end{verbatim}
+ Helfer f"ur die Visulaisierung der Endergebnisse.
+ \item \begin{verbatim} random.c, randomi.h \end{verbatim}
+ Funktionen zur Erzeugung spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
+ \end{itemize}
+
+ \section{Andere Hilfsmittel}
+
+ Im Folgenden sind weiter Programme vorgestellt, deren Funktionalit"at aus diversen Gr"unden nicht in die Hauptprogramme eingeflossen ist.
+
+ \begin{itemize}
+ \item \begin{verbatim} nlsop_make_cryst.c \end{verbatim} \\
+ Estellt ein Duplikat eines gespeicherten Ergebnisses wobei alle Zust"ande der Volumen auf \dq Kristallin\dq{} gesetzt werden.
+ \item \begin{verbatim} parse_trim_collision.c \end{verbatim} \\
+ Werkzeug zur Auswertung der Datei in der {\em TRIM} die Kollisionen protokolliert.
+ \item \begin{verbatim} dft.c, dft.h \end{verbatim} \\
+ Erstellt die zweidimensionale Fouriertransformation eines Bitmaps.
+ \item \begin{verbatim} linescan.c \end{verbatim} \\
+ Erstellt den Linescan "uber ein fouriertransformiertes Bitmap.
+ \item \begin{verbatim} random_parse.sh \end{verbatim} \\
+ Simples Shell-Script zur Auswertung und "Uberpr"ufung der Zufallszahlen.
+ \end{itemize}
+
\label{chapter:simulation}
Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
- Die Simulation tr"agt den Namen {\em NLSOP}, was kurz f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amelle und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations{\bf P}rozess steht.
- Ziel der Simulation ist die Verifizierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse die in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
+ Die Simulation tr"agt den Namen {\em NLSOP}, was f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amelle und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations{\bf P}rozess steht.
+ Ziel der Simulation ist die Verifizierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse, die in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
Die genauen Daten sind:
\begin{itemize}
\item Energie: $E=180 keV$
\item Dosis: $D = 4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$
\item Temperatur: $T = 150 ^{\circ} \mathrm{C}$
- \item Imlantationswinkel: $\alpha = 7 ^{\circ}$
+ \item Implantationswinkel: $\alpha = 7 ^{\circ}$
\item Ion/Target Kombination: $C^+ \rightarrow Si (100)$
\end{itemize}
Anzumerken ist, dass es zwei Versionen der Simulation gibt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
Diese unterscheiden sich in einigen Punkten, was den Simualtionsalgorithmus betrifft.
Darauf wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
- Der Simulationsalgorithmus wird erkl"art und die dazu ben"otigten Annahmen und Informationen aus {\em TRIM} Ergebnissen werden besprochen.
- Das Kapitel schliesst mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen und dem Ablaufschema der Simulation.
+ Der Simulationsalgorithmus wird erkl"art und die dazu ben"otigten Annahmen und Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen werden besprochen.
+ Das Kapitel schlie"st mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen und dem Ablaufschema der Simulation.
\section{Annahmen der Simulation}
\subsection{Unterteilung des Targets}
\label{subsection:unterteilung}
- Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
+ Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit der Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps}
- \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohelnstoffkonzentration}
+ \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohlenstoffkonzentration}
\label{img:sim_gitter}
\end{figure}
Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung sind frei einstellbar.
Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
- Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot) oder ist kristallin (blau).
+ Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot), oder ist kristallin (blau).
Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
- Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gross und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden.
- Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation, aus Gr"unden der Rechenzeit, m"oglichst klein halten zu k"onen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet.
+ Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gro"s und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden.
+ Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation, aus Gr"unden der Rechenzeit, m"oglichst klein halten zu k"onnen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet.
\subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
\label{subsection:a_and_r}
Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
- Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Aamorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die
+ Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Amorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die
\begin{itemize}
\item \textcolor[rgb]{0,1,1}{ballistische}
\item \textcolor{red}{kohlenstoffinduzierte}
Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_{Kohlenstoff}$ angenommen.
- $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskosntante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
+ $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskonstante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
- Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene, da nur diese Spannungen aus"uben, zusammen.
- Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens $\vec{r'}$ auf das Volumen $\vec{r}$ wieder proprtional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
- Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in dem Volumen, das auf Grund der Dichtereduktion in dem amoprhen Gebiet vorhanden ist, desto groesser die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
+ Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene zusammen, da nur diese Spannungen aus"uben.
+ Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens $\vec{r'}$ auf das Volumen $\vec{r}$ wieder proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
+ Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in dem Volumen, das auf Grund der Dichtereduktion in dem amorphen Gebiet vorhanden ist, desto gr"o"ser die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck (Druck = Kraft pro Fl"ache) quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
- $p_s$ ist wieder Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
+ $p_s$ ist eine Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
\begin{equation}
\end{equation}
angenommen.
Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
- F"ur die Rekristallisation ist Strukturinformation krsitalliner Nachbarschaft notwendig.
- Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden wenn kein einziger kristalliner Nachabr vorhanden ist.
+ F"ur die Rekristallisation ist die Strukturinformation der kristallinen Nachbarschaft notwendig.
+ Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden, wenn kein einziger kristalliner Nachabr vorhanden ist.
Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Angriffsfl"achen die als Rekristallisationsfront dienen k"onnen.
Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
\begin{equation}
\end{equation}
Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind frei w"ahlbare Simulationsparameter.
- Es gilt somit einen Satz von Parametern zu finden, der die gr"o"stm"oglichste "Ubereinstimmung von Simulationsergebiss und dem experimentell gefundenen Ergebniss aus Abbildung \ref{img:xtem_img} zeigt.
+ Es gilt somit einen Satz von Parametern zu finden, der die gr"o"stm"oglichste "Ubereinstimmung von Simulationsergebniss und dem experimentell gefundenen Ergebniss aus Abbildung \ref{img:xtem_img} zeigt.
Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
\subsection{Diffusion}
- Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohelnstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
+ Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohlenstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
Die Diffusion wird durch zwei weitere Parameter beschrieben.
In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
Prinzipiell sollte man den Kohlenstoff"ubertrag abh"angig von dem bereits vorhandenen Kohlenstoff in dem amorphen Volumen bestimmen.
- Da die implantierte Dosis maximal die St"ochiometridosis und der Parameter $d_r$ gro"s genug gew"ahlt ist, kommt es nicht zur "Ubers"attigung.
- Der Kohlenstoff in kristallinen Gebieten ist also immer bestrebt in amorphe Gebiete zu diffundieren um die sehr viel geringere S"attigung im Kristallinen zu reduzieren.
+ Da die implantierte Dosis maximal die St"ochiometriedosis und der Parameter $d_r$ gro"s genug gew"ahlt ist, kommt es nicht zur "Ubers"attigung.
+ Da die S"attigungsgrenze in der kristallinen Struktur sehr viel niedriger ist, wird der Kohlenstoff immer bestrebt sein von dem kristallinen Bereich in die amorphen Gebiete zu diffundieren.
\subsection{Sputtern}
\section{Auswertung von {\em TRIM} Ergebnissen}
- Da bereits Programme wie {\em TRIM} die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simulieren und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellen, wird auf diese Schritte in der Simulation aus Zeitgr"unden verzichtet.
+ Da bereits Programme wie {\em TRIM} die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simulieren und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil, sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellen, wird auf diese Schritte in der Simulation aus Zeitgr"unden verzichtet.
Stattdessen werden die von {\em TRIM} erzeugten Statistiken verwendet.
Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen, k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
- Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP} wichtige, Statistiken eingegangen.
+ Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP} wichtige Statistiken eingegangen.
\subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
\end{figure}
Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM} ermittelte nukleare und elektronische Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
Die gestrichelte Linie markiert das Implantationsmaximum.
- Sputtereffekte und Abweichungne auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation werden hier allerdings nicht ber"ucksichtigt.
+ Sputtereffekte und Abweichungen auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation, werden hier allerdings nicht ber"ucksichtigt.
Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in seperate Dateien geschrieben.
Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
\subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
\label{subsection:parse_trim_coll}
- Weiterhin legt {\em TRIM} eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} an, in der s"amtliche durch jedes Ion verursachte Sto"skaskaden protokolliert sind.
+ Weiterhin legt {\em TRIM} eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} an, in der s"amtliche, durch jedes Ion verursachte Sto"skaskaden protokolliert sind.
Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
Mit einem zur {\em NLSOP} Suite geh"orendem Programm kann diese Datei ausgewertet werden.
- Die Daraus gewonnen Ekenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
+ Die daraus gewonnen Erkenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=12cm]{trim_coll.eps}
Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
Die durchschnittliche Energieabgabe durch einen Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
- Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amoprhisierungswahrscheinlichkeit bei.
+ Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amorphisierungswahrscheinlichkeit bei.
Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
Sie entspricht der nuklearen Bremskraft.
\label{img:trim_nel}
\end{figure}
Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em TRIM} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
- Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgab.
- Der Unterschied liegt daran, dass letzteres Profil durch eine gr"ossere Anzahl von {\em TRIM}-Simulationsschritten ermittelt wurde.
+ Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgabe.
Dieses Profil wird f"ur {\em NLSOP} benutzt.
\begin{figure}[h]
Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
Das Auswertungsprogramm z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantierten Ion.
Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden.
- Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl also.
+ Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl.
Ausserdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt.
Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird.
Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen.
\section{Simulationsalgorithmus}
- Die Simulation kann in drei Abschnitte geliedert werden.
+ Die Simulation kann in drei Abschnitte gegliedert werden.
Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen.
Wenn pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion.
\label{subsection:a_r_step}
Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden.
- Zun"achst muss das gestossene Volumen ausgew"ahlt werden.
+ Zun"achst muss das gesto"sene Volumen ausgew"ahlt werden.
Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt.
- Zun"achst werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
+ Es werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene.
Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest.
- Somit hat man den Otrsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang festgelegt.
+ Somit hat man den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang festgelegt.
Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden.
Eine weitere Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens.
Es gibt folgende M"oglichkeiten:
\begin{enumerate}
\item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\
- Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu Amorph.
+ Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu amorph.
Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
\item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\
- Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu Kristallin.
+ Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu kristallin.
Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
\end{enumerate}
\subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}
Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe.
- Die Wahl des Volumens in dem das passiert ist analog zur Wahl des getroffenen Volumens.
- Jedoch wird die Tiefe durch eine Zufallszahl, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung der Reichweitenverteilung entspricht, bestimmt.
+ Die Wahl des Volumens ist analog zur Wahl der Ermittlung des zu sto"senden Volumens.
+ Lediglich die Implantationstiefe wird durch eine Zufallszahl bestimmt, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung dem Konzentrationsprofil entspricht.
Zur Erzeugung der Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
\subsection{Diffusion und Sputtern}
- Die Diffusions-Routine ist wie folgt realisiert.
+ Im Folgenden wird auf die Realisierung der Diffusion eingegangen.
Die Simulation geht der Reihe nach alle Volumina durch.
Im Falle eines amorphen Volumens werden aus direkt anliegenden kristallinen Volumen der Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs abgezogen und zu dem amorphen Volumen addiert.
- Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
+ Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen, wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
Dieser Diffusionsvorgang wird alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt.
- Die Sputter-Routine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von $3 nm$ enstpricht ausgef"uhrt.
+ Die Sputter-Routine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von $3 nm$ entspricht ausgef"uhrt.
Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben:
\begin{equation}
S = \frac{(3 nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
\end{equation}
Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben.
- Dies geschieht wie folgt.
- Der Inhalt der Eben $i$ wrd auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben.
+ Der Inhalt der Ebene $i$ wird auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben.
Die Information der obersten Ebene $i=1$ geht dabei verloren.
Diese entspricht der abgetragenen Ebene.
Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null.
- Dies macht allerdings nur Sinn wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
+ Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} bestimmt werden.
Bei den gegebenen Bedingungen werden ungef"ahr $50 nm$ des Targets bei einer Dosis von $4,3 \times 10^{-17} cm^{-2}$ abgetragen.
\section{Simulierte Tiefenbereiche}
\label{section:sim_tiefenbereich}
- Wie bereits erw"ahnt gibt es zwei verschiedene Versionen des Programms, die verschiedene Tiefenbereiche, im Folgenden Simulationsfenster genannt, simulieren.
+ Wie bereits erw"ahnt gibt es zwei verschiedene Versionen des Programms. Sie simulieren zwei unterschiedlich gro"se Tiefenbereiche, welche im Folgenden Simulationsfenster genannt werden.
- Da in erster Linie der Selbstorganisationsprozess der lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache der amorphen $SiC_x$-Schicht simuliert werden soll, ist der Tiefenbereich der ersten Version gerade bis zu Beginn der durchgehenden Schicht.
+ Da in erster Linie der Selbstorganisationsprozess der lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache der amorphen $SiC_x$-Schicht simuliert werden soll, ist der Tiefenbereich der ersten Version gerade bis zum Beginn der durchgehenden Schicht.
Dies entspricht einer Tiefe von ungef"ahr $300 nm$, und somit einer Anzahl von $Z=100$ W"urfeln in $z$-Richtung.
- Wie in \ref{img:bk_impl_p} gut zu erkennen ist, kann in diesem Tiefenbereich sowohl die Reichweitenverteilung als auch die nukleare Bremskraft durch eine von der Tiefe linear abh"angige Funktion gen"ahert werden.
- Daher ergeben sich "Anderungen zu den im vorigen Abschnitt erkl"arten Methoden zur Wahl des Volumens in dem ein Sto"sprozess beziehungsweise eine Kohlenstofferh"ohung stattfindet.
+ Wie in \ref{img:bk_impl_p} gut zu erkennen ist, kann in diesem Tiefenbereich sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft durch eine von der Tiefe linear abh"angige Funktion gen"ahert werden.
+ Daher ergeben sich "Anderungen zu den im vorigen Abschnitt erkl"arten Methoden zur Wahl des Volumens, in dem ein Sto"sprozess beziehungsweise eine Kohlenstofferh"ohung stattfindet.
Die Zufallszahl $z$, die auf die Tiefen-Koordinate $m$ abgebildet wird, muss der Verteilung $p(z)dz = (sz + s_0)dz$ gen"ugen.
- Dabei sind $s$ unnd $s_0$ die linear gen"aherte nukleare Bremskraft beschreibende Simulationsparameter.
+ Dabei sind $s$ und $s_0$ Simulationsparameter, die die linear gen"aherte nukleare Bremskraft beschreiben.
Die Transformation wird wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben durchgef"uhrt.
Dasselbe betrifft die Wahl der Tiefen-Koordinate f"ur den Einbau des Kohlenstoffatoms.
- Anstatt der Wahrscheinlichkeitsverteilung der nuklearen Bremskraft entsprechend wird das linear gen"aherte Implantationsprofil verwendet.
+ Anstatt der Wahrscheinlichkeitsverteilung der nuklearen Bremskraft entsprechend, wird eine Verteilung entsprechend dem linear gen"aherte Implantationsprofil verwendet.
Ausserdem wird nicht nach jedem Durchlauf ein Ion im Simulationsbereich zur Ruhe kommen.
- Da das Maximum der Reichweitenverteilung sehr viel tiefer liegt werden die meisten Ionen ausserhalb des Simulationsfensters stehen bleiben.
+ Da das Maximum der Reichweitenverteilung sehr viel tiefer liegt, werden die meisten Ionen ausserhalb des Simulationsfensters stehen bleiben.
Daher wird immer nur dann ein Ion eingebaut, wenn der im Simulationsbereich vorhandene Kohlenstoff $n_c$ kleiner als die Anzahl der Durchl"aufe $n$ multipliziert mit dem Verh"altnis der Fl"ache der Implantationskurve $I(x)$ bis $300 nm$ zur Fl"ache der gesamten Implantationskurve ist.
\begin{equation}
n_c < n \frac{\int_0^{300 nm} I(x) dx}{\int_0^{\infty} I(x) dx}
\end{equation}
- Da sowohl die Reichweitenverteilung als auch die nukleare Bremskraft in Ebenen gr"osser $Z$ ungleich Null ist kann Sputtern nicht beachtet werden.
+ Da sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft in Ebenen gr"osser $Z$ ungleich Null ist, kann Sputtern nicht beachtet werden.
Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt "moglich.
Hier sei angemerkt, dass die Simulation prinzipiell auch Diffusion von Kohlenstoff innerhalb kristalliner Volumina behandeln kann.
Die erste Idee war, dass Kohlenstoff in kristalline Gebiete diffundieren kann, die bereits einen grossen Anteil ihres Kohlenstoffs an einen amorphen Nachbarn abgegeben haben.
- Da jedoch das Konzentartionsprofil durch Diffusionsprozesse nicht ver"andert werden darf, wurde die rein kristalline Diffusion in $z$-Richtung ausgeschlossen.
+ Da jedoch das Konzentrationsprofil durch Diffusionsprozesse nicht ver"andert werden darf, wurde die rein kristalline Diffusion in $z$-Richtung ausgeschlossen.
Da weiterhin die Implantationsprofile von experimentellen Messungen und {\em TRIM}-Simulationen recht gut "ubereinstimmen, kann Diffusion in $z$-Richtung tats"achlich ausgeschlossen werden.
Eine Vorzugsrichtung der Diffusion ist unphysikalisch, weshalb die Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete in weiteren Simulationen ausgeschlossen wurde.
Als Relikt bleibt die Option die Diffusion in $z$-Richtung auszuschalten.
Das Simulationsfenster geht von $0-700 nm$.
Dies entspricht einer Anzahl $Z=233$ von W"urfeln in $z$-Richtung.
- Die Tiefen-Koordinaten f"ur den Sto"sprozess und die Kohelnstoffinkorporation werden wie in Abschnitt \ref{subsection:a_r_step} beschrieben nach der Verwerfungsmethode entsprechend dem nuklearen Bremskraftprofil und der Reichweitenverteilung gewonnen.
+ Die Tiefen-Koordinaten f"ur den Sto"sprozess und die Kohlenstoffinkorporation werden wie in Abschnitt \ref{subsection:a_r_step} beschrieben nach der Verwerfungsmethode entsprechend dem nuklearen Bremskraftprofil und der Reichweitenverteilung gewonnen.
Da sowohl der nukleare Energieverlust und die Kohlenstoffkonzentration in Ebenen gr"osser $Z$ auf Null abgesunken ist, kann die Sputterroutine ausgef"uhrt werden.
Der Diffusionsprozess ist ebenfalls uneingeschr"ankt m"oglich.
Desweiteren werden die Methoden zur Erzeugung spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Vergleich der H"aufigkeit auftretender Zufallszahlen mit dem gew"unschten Verlauf "uberpr"uft.
Dazu werden f"ur die unterschiedlichen Verteilungen jeweils 10 Millionen Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$ erzeugt und auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
- Ein einfaches Script-Programm z"ahlt die H"aufigkeit der einzelnen Zufallszahlen der Zufallszahlensequenz.
+ Ein einfaches Script-Programm z"ahlt die H"aufigkeit der einzelnen Zufallszahlen in der Zufallszahlensequenz.
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=12cm]{random.eps}
Dabei wurde $a=1$, $b=0$ und $Z=233$ gew"ahlt.
Wie erwartet zeigen die Punkte einen linearen Verlauf.
- Die H"aufigkeit der mit der Verwerfungsmethode erzeugten Zufallszahlen entsprechend der nuklearen Bremskraft (gr"un) und dem Implantationsprofil (schwarz) stimmen sehr gut mit den Profilen in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} "uberein.
+ Die H"aufigkeiten, der mit der Verwerfungsmethode erzeugten Zufallszahlen entsprechend der nuklearen Bremskraft (gr"un) und dem Implantationsprofil (schwarz), stimmen sehr gut mit den Profilen in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} "uberein.
\section{Ablaufschema}
- Das Ablaufshema ist aus Platzgr"unden in zwei Teile gegliedert.
- Abbildung \ref{img:flowchart1} zeigt das Ablaufshema des Amorphisierungs- und Rekristallisationsvorgangs.
+ Das Ablaufschema ist aus Platzgr"unden in zwei Teile gegliedert.
+ Abbildung \ref{img:flowchart1} zeigt das Ablaufschema des Amorphisierungs- und Rekristallisationsvorgangs.
In Abbildung \ref{img:flowchart2} wird der Kohlenstoffeinbau sowie Diffusion und Sputtern behandelt.
\begin{figure}[h]
\lput*{0}{ja}
\end{pspicture}
- \caption{{\em NLSOP} Ablaufshema Teil 1: Amorphisierung und Rekristallisation.}
+ \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 1: Amorphisierung und Rekristallisation.}
\label{img:flowchart1}
\end{figure}
\lput*{0}{ja}
\end{pspicture}
- \caption{{\em NLSOP} Ablaufshema Teil 2: Kohlenstoffeinbau (gr"un), Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
+ \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Kohlenstoffeinbau (gr"un), Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
\label{img:flowchart2}
\end{figure}
Da bei diesen Temepraturen kaum Amorphisierung erwartet wird, m"ussen hohe Dosen implantiert werden.
Der Kohlenstoff beg"unstigt die Amorphisierung.
Man spricht von kohlenstoff-induzierter Amorphisierung.
-Aus diesem Grund sind hohe Dosen von einigen $10^{17} cm{-2}$ notwendig.
+Aus diesem Grund sind hohe Dosen von einigen $10^{17} cm^{-2}$ notwendig.
Ein Modell zur Entstehung der selbstorganisierten amorphen Phasen wurde vorgestellt.
Bei "Uberschreitung einer S"attigungsgrenze von Kohlenstoff in kristallinen Silizium entstehen sph"arische amorphe Ausscheidungen.
Dabei fiel auf, dass die kohlenstoff-induzierte Amorphisierung eine weitaus gr"o"sere Rolle als die rein ballistische Amorphisierung einnimmt.
Energiegefilterte TEM-Aufnahmen, die besagen, dass die amorphen Gebiete eine sehr hohe Kohlenstoffkonzentration haben werden durch die Simulation best"atigt.
Mit Hilfe der Simulation k"onnen noch weitere Aussagen "uber die Verteilung des Kohlenstoffs angestellt werden.
-EDIT: genaue lage des kohlenstoffs.
-EDIT: selbstorganisationsprozess wird so nachvollziehbar.
+Eine genaue Lage des Kohlenstoffs in den amorphen und kristallinen Gebieten kann angegeben werden.
+Dadurch wird der Selbstorganisationsprozess nachvollziehbar.
+Amorphe und kristalline Gebiete sind in aufeinanderfolgenden Ebenen komplement"ar angeordnet.
+Da sich grosse und kleine amorphe Gebiete abwechseln und die amorphen Gebiete auf Grund der Diffusion sehr kohlenstoffreich sind, schwankt die Kohlenstoffkonzentration im Bereich der lamellaren Ausscheidungen.
+Mit der zweiten Version wird der gesamte Implantationsbereich abgedeckt.
+Man findet ein Satz von Simulationsparametern, der die experimentell beobachtete Dosisentwicklung ziemlich gut reproduziert.
+Man erkennt die Bildung einer amorphen durchgehenden Schicht aus einzelnen amorphen Ausscheidungen.
+Mit Erh"ohung der Dosis w"achst die Dicke dieser Schicht an.
+Gleichzeitig entstehen selbstorganisierte lamellare Ausscheidungen an der vorderen Grnezfl"ache der Schicht.
+Die Grenzfl"achen und die Lamellen werden bei fortgesetzter Implantation sch"arfer und strukturierter.
+Auch hier ist die kohlenstoff-induzierte Amorphisierung der wichtigste Mechanismus der zur Amorphisierung beitr"agt.
+Auf Ver"anderung, der die Diffusion und die spannungs-induzierte Amorphisierung beschreibenden Parameter, reagiert das System sensibel.
+Diffusion ist einerseits notwendig f"ur die lamellare Ordnung der amorphen Ausscheidungen, zu hohe Werte f"uhren andererseits jedoch zu einer kompletten lamellaren Amorphisierung des Targets, so dass sich keine durchgehende Schicht bildet.
+Zu hohe Werte f"ur den Parameter der Druckspannungen verursachen eine nahezu komplette Amorphisierung des kohlenstoffhaltigen Bereichs.
+Wie in der ersen Version des Programms f"allt auf, dass die amorphen und kristallinen Volumen in aufeinanderfolgenden Ebenen im Tiefenbereich der lamellaren Ausscheidungen komplement"ar angeordnet sind.
+Dies "aussert sich in Schwankungen der Kohlenstoffkonzentration im lamellaren Tiefenbereich.
+Weiterhin ist es durch die Simulation m"oglich eine Vorhersage zu machen, wie sich durch einen zweiten Implantationsschritt breite selbstorganisierte Bereiche herstellen lassen.
+
+Das Modell kann demnach die Bildung der selbstorganisierten lamellaren Ausscheidungen erkl"aren.
+Die Einf'uhrung lateraller Spannungen als Amorphisierungsmechanismus steht nicht im Widerspruch zur Bildung der durchgehenden Schicht, da deren Entstehung gemeinsam mit den lamellaren Ausscheidungen von der Simulation reproduziert wird.
+
+Mit Hilfe weiterer Implantationen anderer Ion-Target-Kombinationen k"onnte man die Abh"angigkeit der Simulationsparameter vom verwendeten Materialsystem untersuchen.
+Dadurch k"onnte die Simulation zu einem universellen Programm zur Amorphisierung jedes Materialsystems erweitert werden.
+Ein Zusammenhang zwischen den, die Amorphisierung beschreibenden Parameter, und den Materialkonstanten k"onnte ausserdem Aufschluss "uber die Amorphisierungsmechanismen liefern.
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