From: hackbard <hackbard>
Date: Thu, 28 Apr 2005 13:13:20 +0000 (+0000)
Subject: ++grundlagen;
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++grundlagen;
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diff --git a/nlsop/diplom/grundlagen.tex b/nlsop/diplom/grundlagen.tex
index 6fe38bd..b9a1c8d 100644
--- a/nlsop/diplom/grundlagen.tex
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       \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
 
+      Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
+      Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung.
+      Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
+      Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
+      Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
+      \begin{enumerate}
+        \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
+	\item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
+      \end{enumerate}
+      \begin{figure}[h]
+        \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
+	\caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$}
+	\label{img:rej_meth}
+      \end{figure}
+      Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
+      Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen. 
+      Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
+      Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
+      Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
+
   \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}
 
   Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation mu"s die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.