From: hackbard Date: Fri, 23 May 2003 17:05:40 +0000 (+0000) Subject: ue,ae,oe,ss ;) X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?p=lectures%2Flatex.git;a=commitdiff_plain;h=d196f40dbb4665b6da8a2b8a9dcbe6a3381b0100 ue,ae,oe,ss ;) --- diff --git a/ising/ising.tex b/ising/ising.tex index 0fb2c6e..a744658 100644 --- a/ising/ising.tex +++ b/ising/ising.tex @@ -67,7 +67,7 @@ Ein Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\ Modellannahmen: \begin{itemize} \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$ -\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt +\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellm"oglichkeiten an jedem Gitterpunkt \[ \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i \] @@ -137,7 +137,7 @@ die grafisch diskutiert werden kann. Man findet L"osungen $m \neq 0$ wenn die An Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie). -\chapter{Loesungen des Ising Modells} +\chapter{L"osungen des Ising Modells} \section{L"osung f"ur $d=1$} \setlength{\unitlength}{1.5cm} @@ -165,7 +165,7 @@ Annahmen: \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$ \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$ \end{itemize} -Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\ +Abk"urzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\ \\ Die Energie des Systems ist nun gegeben durch: \[ @@ -175,7 +175,7 @@ Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an ein \[ M = \] -Es gibt $2^N$ moegliche Spinzustaende. Die Zustandssumme lautet: +Es gibt $2^N$ m"ogliche Spinzust"ande. Die Zustandssumme lautet: \[ Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) } \] @@ -209,7 +209,7 @@ Die Matrix muss also wie folgt aussehen: \right) \qquad \textrm{Transfer-Matrix} \] -Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben: +Damit l"a"st sich die Zustandssumme neu schreiben: \[ \begin{array}{ll} \displaystyle Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} \ldots \\[2mm] @@ -225,7 +225,7 @@ Daraus folgt: \[ \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z \] -Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt: +F"ur den Fall $B_0 = 0$ gilt: \[ \begin{array}{l} \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm] @@ -233,8 +233,8 @@ Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt: \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J)) \end{array} \] -Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\ -Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt: +Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel gr"o"ser ist als $\lambda_-^N$. \\ +F"ur die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt: \[ \begin{array}{ll} \displaystyle M & \displaystyle = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm] @@ -244,7 +244,7 @@ Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt: \end{array} \] -Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie. +Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. F"ur sehr grosse Magnetfelder s"attigt sie. \\ \setlength{\unitlength}{2cm} \begin{picture}(6,4)(-3,-2) @@ -260,8 +260,8 @@ Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die \\ Erkenntnis:\\ \begin{itemize} -\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$ -\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$ +\item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$ +\item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$ \end{itemize} F"ur $T=0$ kann obere Approximation nicht mehr verwendet werden, da gilt: \[ @@ -325,14 +325,14 @@ Damit ist der kritische Exponent $\alpha = 0$.\\ \\ Fazit: \begin{itemize} -\item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung +\item es existiert ein Phasen"ubergang zweiter Ordnung \item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$ \end{itemize} \section{L"osung f"ur $d=3$} -Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\ +Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch "uberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\ \\ -Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange. +Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange. \chapter{Monte Carlo Simulation} Im Folgenden soll gezeigt werden wie man durch sogenannte Monte Carlo Simulationen das Ising Modell simuliert.\\ @@ -345,7 +345,7 @@ Gesucht sei der Erwartungswert $$. \displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i} \end{array} \] -Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht (importance sampling). +Anstatt "uber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht (importance sampling). \[ _{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i) \] @@ -377,10 +377,10 @@ Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algori \] Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen: \begin{itemize} -\item Gehe alle Gitterplaetze durch -\item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen) +\item Gehe alle Gitterpl"atze durch +\item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen) \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$ -\item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach genuegend vielen Iterationen ($N^3$)) +\item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$)) \end{itemize} \chapter{Anwendungen} @@ -397,7 +397,7 @@ Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen: \item Modell: \begin{itemize} \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung - \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt + \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zuf"allige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt \end{itemize} \end{itemize} \newpage