From 3e18d65abc9e14baccf0bd808dc5377c00a532b4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: hackbard Date: Sun, 18 May 2003 22:50:39 +0000 Subject: [PATCH] - --- ising/ising.tex | 91 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---------- 1 file changed, 73 insertions(+), 18 deletions(-) diff --git a/ising/ising.tex b/ising/ising.tex index 9c92b11..e8fd4e0 100644 --- a/ising/ising.tex +++ b/ising/ising.tex @@ -19,36 +19,45 @@ \tableofcontents \mainmatter -\chapter{Einfuehrung} +\chapter{Einführung} -\section{Zustandssumme und benoetigte Groessen} -Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle moeglichen Zustaende (Mikrozustaende). +\section{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen} +Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle m"oglichen Mikrozust"ande. \[ Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \, e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT} \] -Sie ist eine fundamentale Groesse in der statistischen Physik. Von ihr koennen viele wichtige Groessen abgeleitet werden. -\[ -\begin{array}{l} - \textrm{Wahrscheinlichkeit fuer Zustand} \, i \quad P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta} \\ - \textrm{freie Energie} \quad F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z \\ - \textrm{Magnetisierung} \quad M = - \frac{\partial F}{\partial B} \\ - \textrm{magnetische Suszeptibilitaet} \quad \chi = - \frac{\partial M}{\partial H} -\end{array} -\] +Sie ist eine fundamentale Gr"o"se in der statistischen Physik. Von ihr k"onnen viele wichtige Gr"o"sen abgeleitet werden. +\begin{itemize} +\item Wahrscheinlichkeit fuer Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$ +\item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$ +\item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$ +\item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$ +\item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$ +\end{itemize} -\section{Phasenuebergaenge} -Die Phase ist eine moegliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen aeussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele: +\section{Phasen"uberg"ange} +Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "aussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele: \begin{itemize} \item Dichte \item Magnetisierung -\item elektrische Leitfaehigkeit +\item elektrische Leitf"ahigkeit \end{itemize} -Mit einem Phasenuebergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase aendert. Man unterscheidet Uebrgaenge erster Ordnung (diskontinuierlich) und Uebergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich). +Mit einem Phasen"ubergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase "andert. Man unterscheidet "Ubrg"ange erster Ordnung (diskontinuierlich) und "Ubergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich). \begin{itemize} \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials -\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilitaet) +\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at) \end{itemize} +\section{Kritische Exponenten} +In der N"ahe eines Phasen"ubergangs beobachtet man das gewisse physikalische Gr"oe"sen Potenzgesetzen gehorchen. Diese Exponenten beschreiben wie die physikalischen Gr"o"sen nahe $T_C$ divergieren. +\begin{itemize} +\item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$ +\item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$ +\item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^\gamma$ +\end{itemize} +Anmerkung:\\ +Kritische Exponenten sind zu einem hohen Grad universell, d.h. sie h"angen nur von fundamentalen Parametern wie Dimension, Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung und Spindimensionalit"at ab, und nicht vom Modell selbst. Damit lassen sich Universalit"atsklassen definieren. + \section{Idee des Ising Modells} Modellannahmen: \begin{itemize} @@ -72,11 +81,57 @@ Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet) \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$ \end{itemize} Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen (Divergenz von $\chi$). +\\ +Molekularfeldn"aherung:\\ +Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-)$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben: +\[ + S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m) +\] +wobei $m=\frac{1}{N}(sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-)(S_j-)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian, +\[ + H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i +\] +und Zustandssumme: +\[ +\begin{array}{ll} + Z & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\ + & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\ + & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N +\end{array} +\] +Damit erhalten wir f"ur die freie Energie und Magnetisierung pro Spin folgendes: +\[ +\begin{array}{l} + g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\ + m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0)) +\end{array} +\] +Legt man nun kein magnetisches Feld $B_0$ an, so hat man eine implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung +\[ + \tanh (\beta Jm) = m +\] +die grafisch diskutiert werden kann. +\\ +\setlength{\unitlength}{2cm} +\begin{picture}(6,4)(-3,-2) + \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}} + \put(2.7,-0.1){$m$} + \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}} + \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}} + \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}} + \put(0.2,1.4){$f(m)$} + \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640) + \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640) +\end{picture} + + + + \chapter{Loesungen des Ising Modells} \section{1-dimensionale Loesung} -\setlength{\unitlength}{0.5cm} +\setlength{\unitlength}{1.5cm} \begin{picture}(10,2) \thicklines \put(0,0.7){$\bullet$} -- 2.20.1