From 7ca30286d0578c824740950c4cd9800181ec8ad3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: hackbard <hackbard>
Date: Tue, 7 Jun 2005 14:58:23 +0000
Subject: [PATCH] finished nuclear energy loss chapter (hopefully!)

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 nlsop/diplom/grundlagen.tex | 20 ++++++++++++++------
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--- a/nlsop/diplom/grundlagen.tex
+++ b/nlsop/diplom/grundlagen.tex
@@ -192,7 +192,7 @@
       \vec v_c = \frac{M_c}{M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
       \label{eq:v_sp}
       \end{equation}
-      Daraus l"asst sich ableiten, dass die Telchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massensind.
+      Daraus l"asst sich ableiten, dass die Telchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen sind.
       \begin{equation}
       \frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
       \label{eq:inv_prop}
@@ -292,14 +292,22 @@
       \end{equation}
       Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden.
 
-      Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ ist durch den differentiellen Streuquerschnitt $d \sigma$ gegeben:
+      Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ erh"alt man durch die "Uberlegung, wieviel Teilchen $dN$ eines homogenen Einheitsstrahls $n$ durch die Kreisringfl"ache $2 \pi p dp$ gehen und wegen Erhaltung der Teilchenzahl zwischen $\Theta$ und $\Theta + d \Theta$ gestreut werden.
+      \begin{eqnarray}
+      dN = & 2 \pi p dp \, n \\
+      d \sigma = & \frac{dN}{n} = 2 \pi p dp
+      \end{eqnarray}
+      Die Wahrscheinlichkeit $d \sigma$ bezeichnet man als differentiellen Wirkungsquerschnitt.
+      $\Theta$ ist eine Funtkion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
+      Die Funktion $p(\Theta)$ wiederrum ist diffenenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
       \begin{equation}
-      d \sigma = 2 \pi dp
+      d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} | \frac{dp}{d \Theta} | d \Omega
       \end{equation}
 
-      hier weiter ...
-
-      Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Einsetzen von \eqref{eq:theta_of_p} in \eqref{eq:final_delta_e} und Integration "uber alle $p$ bestimmt werden.
+      Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Integration aller m"oglicher Energie"ubertr"age $T(\Theta)$ gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit f"ur eine Streuung unter dem Winkel $\Theta$ berechnet werden.
+      \begin{equation}
+      S_n(E) = \int_0^{T_{max}} T d \sigma
+      \end{equation}
 
       F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
       \[
-- 
2.20.1