From ab8d9f996a4bbe6444f7d6a76eec05209f10076f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: hackbard <hackbard>
Date: Tue, 12 Jun 2007 15:49:38 +0000
Subject: [PATCH] boundarie conditions / simulation cell

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 posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex | 123 ++++++++++++++++++---
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+++ b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex
@@ -139,7 +139,7 @@ Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
  \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
  \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
        \[
-       \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
+       \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
        \qquad
        \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
        \]\\
@@ -318,9 +318,11 @@ Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
 {\large\bf
  Wahl/Kontrolle des Ensembles
 }\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
 Erinnerung:
 \begin{itemize}
- \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum
+ \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $<A>_{ens} = <A>_t$
  \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
  \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
 \end{itemize}
@@ -328,52 +330,139 @@ $\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
 \[
  \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
 \]
-F"ur ander Ensembles:
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+F"ur andere Ensembles:
 \begin{itemize}
- \item Anpassung der Bewegungsgleichungen
- \item Tricks
+ \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
+       im gew"unschten Ensemble
+\end{itemize}
+\begin{center}
+{\color{red} oder}
+\end{center}
+\begin{itemize}
+ \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
+       $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
+       Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
+       Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
 \end{itemize}
 \end{slide}
 
 \begin{slide}
 {\large\bf
  kanonisches Ensemble (NVT)
-}
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em temperature scaling}
+\begin{itemize}
+ \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
+ \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
+ \item eigentlich {\em velocity scaling}
+ \item Berendsen Thermostat:
+       \[
+       \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
+       \]
+       \begin{center}
+       $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
+       {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
+       \end{center}
+\end{itemize}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
+       der Temperatur
+ \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
+ \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
+ \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
+       (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
+\end{itemize}
 \end{slide}
 
 \begin{slide}
 {\large\bf
  isothermales isobares Ensemble (NpT)
-}
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em pressure scaling}
+\begin{itemize}
+ \item analog zum {\em temperature scaling}
+ \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
+ \item eigentlich {\em volume scaling}
+ \item Berendsen Barostat:
+       \[
+       \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
+       \]
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item modifizierte Bewegungsgleichung
+       (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
+       \[
+       \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
+                  =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
+                   \sum_{i<j} \mathcal{V}(Q^{1/3} \rho_{ij}) +
+                   \frac{1}{2}M\dot{Q}^2 - \alpha Q
+       \]
+ \item mit $Q=V$: erste 2 Terme $\equiv$ normaler Lagrange-Operator
+ \item Physikalische Interpretation:\\
+       Volumen $Q$ $\equiv$ Koordinate eines fiktiven Stempels
+       mit externen Druck $\alpha$
+ \item Zusammenhang: $V=Q$, ${\bf r}_i=Q^{1/3} \rho_i$,
+       ${\bf p}_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\dot{\rho}_i Q^{1/3})} =
+                 m Q^{1/3} \dot{\rho}_i$
+\end{itemize}
+{\scriptsize H. C. Andersen. J. Chem. Phys. 72 (1980) 2384.}
 \end{slide}
 
 \begin{slide}
 {\large\bf
  Die Simulationszelle \& Randbedingungen
-}
-\end{slide}
+}\\
+Simulationszelle:
+\begin{itemize}
+ \item definiert durch Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
+ \item meist orthogonale Simulationszelle
+ \item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
+ \item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
+\end{itemize}
+Randbedingungen:
+\begin{itemize}
+ \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte
+ \item periodische Randbedingungen:
+ \item festgehaltene Randatome: unphysikalisch
+       (verwerfen einer gro"sen Region um fixierte Atome)
+\end{itemize}
 
-\begin{slide}
-{\large\bf
- Trick: Nachbarlisten \& Zell-Methode
-}
 \end{slide}
 
 \begin{slide}
 {\large\bf
- Thermodynamische Gr"o"sen
-}
+ Die Zell-Methode
+}\\
+
 \end{slide}
 
 \begin{slide}
 {\large\bf
- 3-K"orper Potentiale
+ Thermodynamische Gr"o"sen
 }
+\begin{itemize}
+ \item Innere Energie: $E = ...$
+ \item Temperatur
+ \item Druck
+ \item W"armekapazit"at
+ \item Struktur Werte
+ \item Diffusion
+\end{itemize}
 \end{slide}
 
 \begin{slide}
 {\large\bf
- Brenner / Tersoff
+ Tersoff
 }
 \end{slide}
 
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2.20.1