ising/ising_slides.tex

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   2
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   9
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  13
  14 \usepackage{fancyhdr}           % Headers and footers definitions
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  17
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  20
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  24
  25 \input{seminar.bug}             % Official bugs corrections
  26 \input{seminar.bg2}             % Unofficial bugs corrections
  27
  28 \author{Frank Zirkelbach}
  29 \title{Das Ising Modell}
  30
  31 \begin{document}
  32
  33 \extraslideheight{10in}
  34
  35 \begin{slide}
  36 \maketitle
  37 \end{slide}
  38
  39 \begin{slide}
  40 \tableofcontents
  41 \end{slide}
  42
  43 \begin{slide}
  44 \section{Einf"uhrung}
  45 \end{slide}
  46
  47 \begin{slide}
  48 \slideheading{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
  49 Zustandssumme: Summation "uber alle m"oglichen Mikrozust"ande
  50 \[
  51  Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
  52 \]
  53 Ableitung wichtiger Gr"o"sen:
  54 \begin{itemize}
  55 \item Wahrscheinlichkeit f"ur Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
  56 \item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$
  57 \item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
  58 \item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
  59 \item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
  60 \end{itemize}
  61 \end{slide}
  62
  63 \begin{slide}
  64 \slideheading{Phasen"uberg"ange}
  65 Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "au"sern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen.\\
  66 Beispiele:
  67 \begin{itemize}
  68 \item Dichte ($H_2O$)
  69 \item Magnetisierung (Nickel)
  70 \item elektrische Leitf"ahigkeit ($YBa_2Cu_2O_7$)
  71 \end{itemize}
  72 \end{slide}
  73
  74 \begin{slide}
  75 Phasen"ubergang verbunden mit kritischen Bereich einer Variablen
  76 \begin{itemize}
  77 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
  78 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
  79 % \\
  80 % \includegraphics[width=10cm,clip,draft=no]{phasen_ue}
  81 \end{itemize}
  82 \end{slide}
  83
  84 \begin{slide}
  85 \slideheading{Kritische Exponenten}
  86 Physikalische Gr"o"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs
  87 \begin{itemize}
  88 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
  89 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
  90 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
  91 \end{itemize}
  92 Anmerkung:\\
  93 $\rightarrow$ Abh"angig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Universalit"atsklassen
  94 \end{slide}
  95
  96 \begin{slide}
  97 \slideheading{Idee des Ising Modells}
  98 Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\
  99 Modellannahmen:
 100 \begin{itemize}
 101 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
 102 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellm"oglichkeiten an jedem Gitterpunkt
 103 \[
 104  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
 105 \]
 106 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
 107 \end{itemize}
 108 Hamilton-Funktion:
 109 \[
 110  H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
 111 \]
 112 \[
 113 (i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
 114 \]
 115 \end{slide}
 116
 117 \begin{slide}
 118 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
 119 \begin{itemize}
 120 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedriger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
 121 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zuf"allig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
 122 \end{itemize}
 123 Ergebnis: spontane Magnetisierung unterhalb kritischer Temperatur ohne externes $B$-Feld
 124 \end{slide}
 125
 126 \begin{slide}
 127 Molekularfeldn"aherung:\\
 128 Approximation: Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$\\
 129 Spin-Wechselwirkungs-Term:
 130 \[
 131 \begin{array}{ll}
 132  S_iS_j & = (S_i-m+m)(S_j-m+m)\\
 133         & = m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
 134 \end{array}
 135 \]
 136 wobei:
 137 \begin{itemize}
 138 \item $m=\frac{1}{N}(\sum_i^N S_i)$, mittlere Magnetisierung pro Spin
 139 \item $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ in MFN vernachl"assigt
 140 \item Definition: $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, mit $z$  Anzahl der n"achsten Nachbarn
 141 \end{itemize}
 142 \end{slide}
 143
 144 \begin{slide}
 145 Hamiltonian:
 146 \[
 147  H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
 148 \]
 149 Zustandssumme:
 150 \[
 151 \begin{array}{ll}
 152  Z  & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
 153     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
 154     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
 155 \end{array}
 156 \]
 157 \end{slide}
 158
 159 \begin{slide}
 160 freie Energie und Magnetisierung pro Spin:
 161 \[
 162 \begin{array}{l}
 163  g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
 164  m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
 165 \end{array}
 166 \]
 167 implizite Bestimmungsgleichung f"ur $B_0=0$:
 168 \[
 169  \tanh (\beta Jm) = m
 170 \]
 171 \end{slide}
 172
 173 \begin{slide}
 174 \begin{itemize}
 175 \item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$
 176 \item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ f"ur $m=0$
 177 \end{itemize}
 178 % \setlength{\unitlength}{2cm}
 179 % \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 180 %  \put(0,0){\line(1,1){1}}
 181 %  \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
 182 %  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 183 %  \put(2.7,-0.1){$m$}
 184 %  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 185 %  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 186 %  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 187 %  \put(0.2,1.4){$f(m)$}
 188 %  \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
 189 %  \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
 190 % \end{picture}
 191 % \\
 192 \includegraphics[width=08cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.eps}
 193 \end{slide}
 194
 195 \begin{slide}
 196 \begin{itemize}
 197 \item Phasen"ubergang unabh"angig von Gitterdimension
 198 \item Widerspruch zu exakter $d=1$ L"osung
 199 \item Typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie)
 200 \end{itemize}
 201 \end{slide}
 202
 203 \begin{slide}
 204 \section{L"osungen des Ising Modells}
 205 \end{slide}
 206
 207 \begin{slide}
 208 \slideheading{L"osung f"ur $d=1$}
 209 \setlength{\unitlength}{1.5cm}
 210 \begin{picture}(10,1)
 211  \thicklines
 212  \put(0,0.45){$\bullet$}
 213  \put(0,0){$1$}
 214  \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
 215  \put(2,0.45){$\bullet$}
 216  \put(2,0){$2$}
 217  \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
 218  \put(4,0.45){$\bullet$}
 219  \put(4,0){$3$}
 220  \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
 221  \put(6,0.45){$\bullet$}
 222  \put(6,0){$N$}
 223 \end{picture} \\
 224 \\
 225 Hamilton-Funktion:
 226 \[
 227  H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
 228 \]
 229 Annahmen:
 230 \begin{itemize}
 231  \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
 232  \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
 233 \end{itemize}
 234 Abk"urzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$
 235 \end{slide}
 236
 237 \begin{slide}
 238 Energie des Systems:
 239 \[
 240  E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
 241 \]
 242 % Magnetisierung:
 243 % \[
 244 %  M = <S_1>
 245 % \]
 246 Zustandssumme:
 247 \[
 248  Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
 249 \]
 250 \end{slide}
 251
 252 \begin{slide}
 253 Bestimmung der Zustandssumme mit Transfer-Matrix-Methode: \\
 254 \\
 255 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
 256 \[
 257 \begin{array}{l}
 258  <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
 259  \\
 260  \textrm{also:} \\
 261  \displaystyle <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\[2mm]
 262  \displaystyle <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\[2mm]
 263  \displaystyle <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\[2mm]
 264  \displaystyle |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,}
 265  \quad |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
 266 \end{array}
 267 \]
 268 \end{slide}
 269
 270 \begin{slide}
 271 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
 272 \[
 273  \mathbf{T} =
 274  \left(
 275  \begin{array}{cc}
 276  e^{K+h} & e^{-K} \\
 277  e^{-K} & e^{K-h}
 278  \end{array}
 279  \right)
 280  \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
 281 \]
 282 \end{slide}
 283
 284 \begin{slide}
 285 Zustandssumme:
 286 \[
 287  \begin{array}{ll}
 288  \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
 289  \displaystyle  & \displaystyle = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
 290  \displaystyle  & \displaystyle = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 291  \end{array}
 292 \]
 293 \begin{itemize}
 294 \item Trick: Vollst"andigkeit der Spinzust"ande
 295 \item $\textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N$ ist Darstellungsunabh"angig
 296 \item Eigenwerte: $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$
 297 \end{itemize}
 298 \[
 299  \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
 300 \]
 301 \[
 302  \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
 303 \]
 304 \end{slide}
 305
 306 \begin{slide}
 307 F"ur den Fall $B_0 = 0$ gilt:
 308 \[
 309  \begin{array}{l}
 310   \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
 311   \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
 312   \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
 313  \end{array}
 314 \]
 315 weil $\lambda_+^N$ viel gr"o"ser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\
 316 Magnetisierung:
 317 \[
 318  \begin{array}{ll}
 319   \displaystyle M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
 320   \displaystyle & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
 321   \displaystyle & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
 322   \displaystyle & \displaystyle = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
 323  \end{array}
 324 \]
 325 \end{slide}
 326
 327 \begin{slide}
 328 Abbidlung:
 329 \begin{itemize}
 330 \item Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld
 331 \item Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
 332 \item S"attigung f"ur gro"se Magnetfelder
 333 \end{itemize}
 334 \setlength{\unitlength}{1cm}
 335 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 336  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 337  \put(2.7,-0.1){$B_0$}
 338  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 339  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 340  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 341  \put(0.2,1.4){$M$}
 342  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
 343  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
 344 \end{picture}
 345 \end{slide}
 346
 347 \begin{slide}
 348 Erkenntnis:
 349 \begin{itemize}
 350 \item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
 351 \item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
 352 \end{itemize}
 353 F"ur $T=0$:
 354 \[
 355  \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{, ist obere Approximation nichtmehr g"ultig}
 356 \]
 357 Phasen"ubergang bei $B_0=T=0$ (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich)\\
 358 Kritische Exponenten:
 359 \[
 360  \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
 361 \]
 362 \end{slide}
 363
 364 \begin{slide}
 365 \slideheading{L"osung f"ur $d=2$}
 366 \begin{itemize}
 367 \item TFM analog $d=1$ L"osung
 368 \item nur L"osung f"ur $B=0$
 369 \end{itemize}
 370 Hamiltonian:
 371 \[
 372  H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
 373 \]
 374 Indizes $\equiv$ Gitterpunkte der Spins.
 375 \end{slide}
 376
 377 \begin{slide}
 378 Abk"urzung:
 379 \[
 380  H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
 381 \]
 382 wobei
 383 \[
 384 \begin{array}{ll}
 385  \displaystyle E(\mu_j,\mu_k) & \displaystyle \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\[2mm]
 386  \displaystyle E(\mu_j)       & \displaystyle \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\[2mm]
 387  \displaystyle \mu_j          & \displaystyle \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
 388 \end{array}
 389 \]
 390 \end{slide}
 391
 392 \begin{slide}
 393 Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
 394 \[
 395  <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(\mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
 396 \]
 397 $2^N \times 2^N$ - Matrix, Diagonalisierung.\\
 398 $[7]$ Kerson Huang, Statistical mechanics\\
 399 \\
 400 Analog zum $d=1$ Fall gilt:
 401 \[
 402  Z = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 403 \]
 404 \end{slide}
 405
 406 \begin{slide}
 407 freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$:
 408 \[
 409  f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
 410 \]
 411 mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$\\
 412 \\
 413 Magnetisierung:
 414 \[
 415  m = \left\{
 416  \begin{array}{ll}
 417   (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
 418   0 & : T > T_C
 419  \end{array} \right.
 420 \]
 421 \end{slide}
 422
 423 \begin{slide}
 424 kritische Temperatur:
 425 \[
 426  2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
 427 \]
 428 spezifische W"arme: (logarithmische Divergenz)
 429 \[
 430 C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big)
 431 + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
 432 \]
 433 kritische Exponenten:\\
 434 $\beta = \frac{1}{8}$ \\
 435 $\alpha = 0$
 436 \end{slide}
 437
 438 \begin{slide}
 439 Fazit:
 440 \begin{itemize}
 441 \item Phasen"ubergang zweiter Ordnung
 442 \item spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$ ohne vorhandenes Magnetfeld
 443 \end{itemize}
 444 \end{slide}
 445
 446 \begin{slide}
 447 \slideheading{L"osung f"ur $d=3$}
 448 \begin{itemize}
 449 \item keine exakte analytische L"osung
 450 \item "uberzeugende Resultate durch Approximation und Monte Carlo Simulation
 451 \item keine wieteren Informationen aus exakter L"osung erwartet
 452 \item $d=3$ Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange
 453 \end{itemize}
 454 \end{slide}
 455
 456 \begin{slide}
 457 \section{Monte Carlo Simulation}
 458 \end{slide}
 459
 460 \begin{slide}
 461 Simulationen das Ising Modells durch Monte Carlo Simulation.\\
 462 \\
 463 Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
 464 \[
 465 \begin{array}{l}
 466  \displaystyle <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\[2mm]
 467  \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
 468  \displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
 469 \end{array}
 470 \]
 471 \end{slide}
 472
 473 \begin{slide}
 474 important sampling: Aufsummieren einiger zuf"alliger Zust"ande (Boltzmann verteilt).
 475 \[
 476  <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
 477 \]
 478 $N \equiv \textrm{Anzahl der Iterationen in der Computersimulation}$
 479 \begin{itemize}
 480  \item $P(A,t)$, Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
 481  \item $W(A \rightarrow B)$, Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
 482 \end{itemize}
 483 \end{slide}
 484
 485 \begin{slide}
 486 Damit gilt:
 487 \[
 488  P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
 489 \]
 490 Vergessen der Anfangskonfiguration f"ur gro"se $t$, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
 491 Bedingung f"ur zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung:
 492 \[
 493  W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t) \qquad \textrm{(detailed balance)}
 494 \]
 495 somit gilt:
 496 \[
 497  \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
 498 \]
 499 \end{slide}
 500
 501 \begin{slide}
 502 Realisierung einer Boltzmannverteilung: Metropolis Algorithmus\\
 503 $[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/
 504 \[
 505  W(A \rightarrow B) = \left\{
 506  \begin{array}{ll}
 507   e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
 508   1 & : \delta E < 0
 509  \end{array} \right.
 510 \]
 511 Pseudocode:
 512 \begin{itemize}
 513 \item Gehe alle Gitterpl"atze durch
 514 \item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)
 515 \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
 516 \item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$))
 517 \end{itemize}
 518 \end{slide}
 519
 520 \begin{slide}
 521 \section{Anwendungen}
 522 \end{slide}
 523
 524 \begin{slide}
 525 Spingl"aser ([\ref{lit8}] W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis)
 526  \begin{itemize}
 527  \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
 528  \item Beobachtungen:
 529   \begin{itemize}
 530   \item keine spontane Magnetisierung
 531   \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
 532   \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, sehr langsame Relaxation
 533   \end{itemize}
 534  \item Modell:
 535   \begin{itemize}
 536   \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
 537   \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zuf"allige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
 538   \end{itemize}
 539  \end{itemize}
 540 \end{slide}
 541
 542 \begin{slide}
 543 Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis
 544  \begin{itemize}
 545   \item Traveling Salesman Problem:
 546    \begin{itemize}
 547    \item \dq Aufheizen\dq{} des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
 548    \item \dq Abk"uhlen\dq{} des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
 549    \end{itemize}
 550   \end{itemize}
 551 \end{slide}
 552
 553 \begin{slide}
 554  \begin{itemize}
 555   \item Ged"achtnis:
 556   \begin{itemize}
 557   \item Modell:
 558    \[
 559     \begin{array}{ll}
 560      S_i  & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
 561      S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
 562      S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
 563      J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
 564      \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
 565     \end{array}
 566    \]
 567   \item einige Eigenschaften
 568    \begin{itemize}
 569    \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
 570    \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
 571    \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
 572    \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
 573    \end{itemize}
 574   \end{itemize}
 575  \end{itemize}
 576 \end{slide}
 577
 578 \begin{slide}
 579 \begin{itemize}
 580 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
 581  \[
 582   \begin{array}{ll}
 583    |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
 584    |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
 585    k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
 586    m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
 587   \end{array}
 588  \]
 589 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
 590  \[
 591   \begin{array}{ll}
 592    H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
 593    \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
 594    S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
 595   \end{array}
 596  \]
 597 \item weitere Anwendungen
 598  \begin{itemize}
 599  \item Quantum Game Theory
 600  \item duopoly markets
 601  \end{itemize}
 602 \end{itemize}
 603 \end{slide}
 604
 605 \begin{slide}
 606 \section{Quellen}
 607 \end{slide}
 608
 609 \begin{slide}
 610 \begin{enumerate}
 611 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
 612 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
 613 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
 614 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/
 615 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
 616 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
 617 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
 618 \item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis
 619 \end{enumerate}
 620 \end{slide}
 621
 622 \end{document}