2 \label{chapter:grundlagen}
4 \section{Monte-Carlo-Simulation}
6 Monte-Carlo-Simulationen sind numerische Computerexperimente zur Untersuchung von interessierenden Sachverhalten.
7 Gegen"uber anderen Rechenmethoden basieren diese Computerexperimente auf stochastischen Modellen.
8 Dabei werden vom Computer generierte Zufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
9 Die Zuf"alligkeit mikroskopischer Ereignisse spielt, wie im realen System des Experimentes, die wesentliche Rolle.
10 Der Rechner wird zum virtuellen Labor, in dem ein bestimmtes System untersucht wird.
11 Eine solche Computersimulation kann als numerisches Experiment betrachtet werden.
12 Makroskopische observable Gr"o"sen sind, ebenso wie im Experiment, von statistischen Fluktuationen beeinflusst.
13 Die Reproduzierbarkeit von Ergebnissen hat demnach statistischen Charakter.
15 Der Vorteil der Monte-Carlo-Methode ist das relativ einfache Erzielen von Ergebnissen f"ur Problemstellungen, die ohne N"aherungen analytisch nicht l"osbar oder sehr aufw"andig sind.
16 Ein Beispiel hierf"ur ist das Ising-Modell in drei Dimensionen, f"ur das bis jetzt keine analytische L"osung gefunden wurde.
17 Die Idee besteht darin, f"ur die Berechnung der Zustandssumme nicht den gesamten Raum der Konfigurationen, sondern nur statistisch ausgew"ahlte Punkte zu ber"ucksichtigen.
18 Um die Genauigkeit der simulierten Eigenschaften des Systems in einer bestimmten Sollzeit zu verbessern, ist es n"otig, die Zust"ande mit der Wahrscheinlichkeit entsprechend ihres Beitrages zur Zustandssumme auszusuchen.
19 Dieser Ansatz wird als \dq importance sampling\dq{} bezeichnet.
20 F"ur das Ising-Modell wird der Metropolis-Algorithmus verwendet, der die Dynamik des Systems in Form eines \dq update algorithm\dq{} f"ur die Mikrozust"ande vorschreibt.
22 Die Monte-Carlo-Simulation ben"otigt Zufallszahlen, welche auf physikalische Gr"o"sen abgebildet werden.
23 Erstaunlicherweise funktioniert diese Art der Simulation auch mit, vom Computer erzeugten, deterministischen Pseudozufallszahlen.
24 Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
25 Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
27 \subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
28 \label{subsection:rand_gen}
30 Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode \cite{knuth,nr}, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_j$ aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
31 Dabei gilt folgende Vorschrift:
32 \begin{equation} \label{eq:kon_m}
33 I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
35 \[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \]
36 Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
37 Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m$ und $I_0$ ab.
38 Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
39 Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
40 \begin{equation} \label{eq:kon_v}
41 a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
43 einen minimalen Standard, was die Qualit"at der Zufallszahlen angeht.
44 Diese Wahl der Konstanten wird in allen g"angigen Zufallszahlengeneratoren der Standardbibliotheken verwendet.
46 \subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}
48 Die mit \eqref{eq:kon_m} und \eqref{eq:kon_v} erzeugten Pseudozufallszahlen $I_j$ sind gleichverteilt im Intervall $[0,m-1]$.
49 Durch Division der Zufallszahlen mit dem Modulus $m$ erh"alt man gleichverteilte Zufallszahlen $x_j$ im Intervall $[0,1[$, so dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $x$ und $x + dx$ zu erhalten durch
57 gegeben ist. Au"serdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
59 \int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
61 Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
62 Die in dieser Arbeit ben"otigten Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
64 \subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}
66 Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
68 z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
69 \label{eq:gleichverteilte_r}
72 \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
73 \label{subsubsection:lin_g_p}
75 Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
79 (az + b) dz & 0 \leq z < Z \\
83 realisiert man durch folgende Transformation:
85 \rho(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
86 \frac{dx}{dz} & = & \rho(z) \nonumber \\
87 x & = & \int_{- \infty}^z \rho(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
89 Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man:
91 z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.}
93 So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$.
94 Sollen die Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch
96 z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a}
100 \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
101 \label{subsubsection:verwerf_meth}
103 Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
104 Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
105 Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \,\, \forall x \in [a,b]$ gegeben.
106 Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
107 Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
109 \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
110 \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
112 \printimg{}{width=10cm}{rej_meth.eps}{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$.}{img:rej_meth}
113 Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je gr"o"ser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
114 Deshalb macht es Sinn, die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
115 Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
116 Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
117 Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
119 \section{Ion-Festk"orper-Wechselwirkung}
121 Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation muss die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
122 Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgelenkt und abgebremst.
123 Es stellt sich ein entsprechendes Implantationsprofil ein.
124 Weitere Folgen sind die durch Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden.
125 Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
127 \subsection{Abbremsung von Ionen}
129 Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
130 Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
131 Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
133 \subsubsection{Bremsquerschnitt}
135 Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt:
137 S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n} \quad \textrm{.}
139 Dieser ist proportional zur Bremskraft $\frac{\partial E}{\partial x}$, welche angibt wieviel Energie $E$ des Ions pro zur"uckgelegter Wegl"ange $x$ abgegeben wird.
140 $N$ ist die atomare Dichte des Festk"orpers.
141 Zerlegt man nun die Energieverlustrate in einen nuklearen und einen elektronischen Anteil so erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Wegl"ange:
143 - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big) \quad \textrm{.}
145 Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie erh"alt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions.
146 Ist dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
148 R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{d E}{S_e(E) + S_n(E)} \quad \textrm{.}
151 Um die Reichweite des Ions berechnen zu k"onnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.
153 \subsubsection{Nukleare Bremskraft}
155 Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
156 Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
157 Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektorien k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
158 Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelastische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
159 Da die nukleare Bremskraft sehr wichtig f"ur die weitere Arbeit ist, wird auf ihre Herleitung etwas genauer eingegangen.
161 Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden.
162 Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion (Abbildung \ref{img:scatter_lc}).
163 Aus der Energieerhaltung folgt:
165 \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
167 Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gesto"senen Atomkerns mit Masse $M_2$.
168 Aus der Impulserhaltung folgt,
170 \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
171 \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
173 wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist.
174 \printimg{}{width=10cm}{scatter_lc.eps}{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem.}{img:scatter_lc}
176 Durch Transformation ins Schwerpunktsystem kann die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden.
177 \printimg{}{width=10cm}{scatter_cm2.eps}{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem.}{img:scatter_cm}
178 Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
180 \vec v_c = \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,}
181 \label{eq:imp_cons_cm}
183 wobei $\vec v_c$ die Schwerpunktgeschwindigkeit ist.
184 Mit der Definition der reduzierten Masse $M_c$
186 \frac{1}{M_c} = \frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2} \quad \textrm{,}
190 M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
193 erh"alt man f"ur die Schwerpunktbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
195 \vec v_c = \frac{M_c}{M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
198 Daraus l"asst sich ableiten, dass die Teilchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen sind.
200 \frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1}
204 F"ur die Geschwindigkeiten des Ions und des Atomkerns im Schwerpunktsystem vor dem Sto"s gilt weiterhin:
206 \vec v_{Ion} = & \vec v_0 - \vec v_c = \frac{M_2}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,} \\
208 \vec v_{Atom} = & 0 - \vec v_c = - \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
209 \label{eq:v_atom_vor}
211 Der Gesamtimpuls $M_1 \vec v_{Ion} + M_2 \vec v_{Atom}$ verschwindet.
212 Die Impulse der Teilchen sind vor und nach dem Sto"s entgegengesetzt gleich gro"s.
213 Zusammen mit der Energieerhaltung folgt daraus, dass die Betr"age der Geschwindigkeiten durch den Sto"s nicht ver"andert werden.
214 Die kinetische Energie beider Teilchen bleibt im Schwerpunktsystem einzeln erhalten.
216 Abbildung \ref{img:angle_conv} zeigt die daraus abgeleitet Beziehung zwischen der Geschwindigkeit des Atoms nach dem Sto"s im Labor- und im Schwerpunktsystem.
217 Die Transformation ist durch
219 \vec v_2 = \vec v_{Atom} + \vec v_c
222 Der Zusammenhang zwischen Ablenkwinkel im Labor- und Schwerpunktsystem sowie der Ausdruck f"ur $v_2$, sind leicht zu erkennen.
225 \label{eq:angle_conv}
226 v_2 = & 2 v_c cos(\phi)
229 \printimg{}{width=10cm}{angle_conv.eps}{Zusammenhang der Geschwindigkeit des Targetatoms nach dem Sto"s im Schwerpunktsystem (blau) und im Laborsystem (rot).}{img:angle_conv}
230 F"ur die auf das Targetatom "ubertragene Energie gilt:
232 T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
234 Aus \eqref{eq:v_2_abs} und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
236 T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
239 Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$.
240 Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist. Durch Einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
242 T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
243 \label{eq:final_delta_e}
245 Die maximal "ubertragene Energie erh"alt man f"ur den zentralen Sto"s mit $\Theta = \pi$, also f"ur $\Phi = 2\phi = 0$:
247 T_{max} = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \quad \textrm{.}
248 \label{eq:delta_e_max}
251 Bis jetzt ist der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
252 Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag, die Bremskraft, berechnet werden.
254 Unter der Annahme, dass Kr"afte nur entlang der Verbindungslinie zwischen Ion und Targetatom wirken, kann das Zweik"orperproblem auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
255 Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange-Gleichung gel"ost werden.
257 \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
259 Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung.
261 \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
262 \label{eq:ang_mom_exp}
264 F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
266 l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
267 \label{eq:ang_mom_val}
269 L"ost man die Gleichung f"ur die Energie $E$ des Systems
271 E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r)
273 nach $\stackrel{.}{r}$ auf,
275 \stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
277 und diese Gleichung wiederum nach $dt$,
279 dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
281 kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ darstellen, abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens.
283 \frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
285 Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
287 \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{\sqrt{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
288 \label{eq:theta_of_p}
290 Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Sto"sparameter $p$ bestimmt werden.
292 Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ erh"alt man durch die "Uberlegung, wieviel Teilchen $dN$ eines homogenen Einheitsstrahls $n$ durch die Kreisringfl"ache $2 \pi p dp$ gehen und wegen Erhaltung der Teilchenzahl zwischen $\Theta$ und $\Theta + d \Theta$ gestreut werden.
294 dN = & 2 \pi p dp \, n \\
295 d \sigma = & \frac{dN}{n} = 2 \pi p dp
297 Die Wahrscheinlichkeit $d \sigma$ bezeichnet man als differentiellen Wirkungsquerschnitt.
298 $\Theta$ ist eine Funktion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
299 Die Funktion $p(\Theta)$ wiederum ist differenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
301 d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} \left| \frac{dp}{d \Theta} \right| d \Omega
304 Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Integration aller m"oglicher Energie"ubertr"age $T(\Theta)$, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit f"ur eine Streuung unter dem Winkel $\Theta$, berechnet werden.
306 S_n(E) = \int_0^{T_{max}} T d \sigma
309 Zuletzt muss noch ein geeignetes interatomares Potential $V(r)$ zur Beschreibung der Wechselwirkung der Ionen mit dem Festk"orper gefunden werden.
310 F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
312 V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
314 Dabei ist $\Phi$ eine geeignete Abschirmfunktion und $a$ der sogenannte Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
315 Die Abschirmfunktion beachtet die Abschirmung des Coulombpotentials der Kerne des Ions und des Targetatoms durch die Elektronen.
316 Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment erh"alt man durch Verwendung des sogenannten \dq universal potential\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark}, dass von Ziegler et al. mit verbesserten Methoden, unter anderem dem Anpassen von Daten zahlreicher Ion-Target-Kombinationen an die Abschirmfunktion, eingef"uhrt wurde.
317 Diese ist in guter N"aherung f"ur alle Ion-Target-Kombinationen g"ultig.
318 Desweiteren schl"agt Biersack in \cite{ziegler_biersack_littmark} eine analytische N"aherungsformel zur einfachen Berechnung des Ablenkwinkels $\Theta$ aus dem Sto"sparameter $p$ vor.
320 \subsubsection{Elektronische Bremskraft}
322 Der elektronische Energieverlust der Ionen an den Elektronen des Targets kommt haupts"achlich durch inelastische Streuung zustande.
323 Dies f"uhrt zur Anregung beziehungsweise Ionisation der Targetatome.
324 Die elektronische Bremskraft ist abh"angig von der Energie der Ionen.
325 Verschiedene Theorien beschreiben die Abbremsung unterschiedlich schneller Ionen.
326 Da in dieser Arbeit nur niedrige Projektilenergien (kleiner $0,1 \, MeV/amu$) behandelt werden, sollen Theorien f"ur den Hochenergiebereich hier nicht diskutiert werden.
327 F"ur hohe, nichtrelativistische Energien (kleiner $10 \, MeV/amu$) m"usste die Bethe-Bloch-Gleichung \cite{bethe_bloch} zur Beschreibung des elektronischen Energieverlustes herangezogen werden.
328 Zus"atzliche relativistische Effekte f"uhren zu einem Anstieg der Bremskraft bei noch h"oheren Energien.
330 F"ur niedrige Teilchengeschwindigkeiten kann die elektronische Abbremsung mit Hilfe der LSS-Theorie \cite{lss} beschrieben werden.
331 Die Bremskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, also proportional zur Wurzel aus der Energie des Ions.
333 S_e(E) = k_L \sqrt{E}
336 Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beinhaltet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und des Targetatoms.
337 Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in Abh"angigkeit von der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, ber"ucksichtigt werden.
339 \subsection{Implantationsprofil}
341 Mit den im letzten Abschnitt bestimmten Bremsquerschnitten $S_n$ und $S_e$ kann nun mittels \eqref{eq:range} die mittlere Reichweite $R$ der Ionen angegeben werden.
342 Diese ist allerdings ungleich der mittleren Tiefe, in der das Ion zur Ruhe kommt, da das implantierte Ion seine Richtung nach jedem Sto"s ver"andern wird.
343 Die so erhaltene projezierte Reichweite $R_p$ und deren Standardabweichung $\Delta R_p$ k"onnen durch L"osung von Integro-Differentialgleichungen \cite{lss_2} berechnet werden.
345 Weiterhin wird in \cite{lss_2} vorgeschlagen, das Konzentrationsprofil durch eine Gau"sverteilung anzun"ahern.
347 N(x) = \frac{D}{\sqrt{2 \pi \Delta R_p}} \exp \Big[ - \frac{(x - R_p)}{2 \Delta R_p^2} \Big] \textrm{,} \qquad D: \textrm{ Dosis}
350 \subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}}
352 Mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM} \cite{ziegler_biersack_littmark,biersack_haggmark} (kurz f"ur {\bf TR}ansport of {\bf I}ons in {\bf M}atter) k"onnen die tiefenabh"angigen Bremskr"afte und die Reichweitenverteilung simuliert werden.
353 Da in dieser Arbeit von {\em TRIM} simulierte nukleare Bremskraftprofile, Reichweitenverteilungen und Informationen aus den protokollierten Kollisionen verwendet werden, soll hier grob auf den Ablauf des Programms eingegangen werden.
355 Das Programm folgt den Bahnen einer gro"sen Anzahl von Teilchen, die in das Target implantiert werden.
356 Jedes Ion startet mit einer gegebenen Energie, Position und Richtung.
357 Die Teilchen vollziehen Richtungs"anderungen aufgrund von Kernst"o"sen mit den Atomen des Targets.
358 Zwischen zwei Kollisionen bewegt sich das Ion geradlinig innerhalb einer freien Wegl"ange.
359 Durch die nukleare und elektronische Bremskraft verliert das Teilchen Energie.
360 Die Verfolgung der Teilchenbahn terminiert, wenn die Energie unter einen bestimmten Wert abgefallen oder das Teilchen das Target verlassen hat.
361 Das Target wird als amorph angenommen, weshalb kristalline Richtungseigenschaften, wie zum Beispiel das sogenannte Channeling, ignoriert werden.
362 Der nukleare und elektronische Energieverlust werden unabh"angig voneinander behandelt.
363 Das Teilchen verliert neben dem kontinuierlichen Energieverlust durch die elektronische Bremskraft einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se.
365 Das einfallende Teilchen startet mit der Anfangsenergie $E = E_0$ an der Oberfl"ache des Targets.
366 Drei Zufallszahlen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden auf die physikalischen Gr"o"sen freie Wegl"ange $l$, Sto"sparamter $p$ und den Azimutwinkel $\Phi$ abgebildet.
368 Es gibt Ans"atze die freie Wegl"ange zuf"allig zu bestimmen.
369 F"ur niedrige Ionenenergien (kleiner $0,1 \, MeV/amu$) reicht es jedoch den amorphen Festk"orper durch eine feste freie Wegl"ange $l$ zu modellieren.
370 Diese ist gegeben durch den mittleren Abstand der Targetatome.
372 l = N^{- \frac{1}{3}}
374 F"ur gr"o"sere Energien muss der M"oglichkeit gr"o"serer freier Wegl"angen Rechnung getragen werden, so dass eine entsprechende Abbildung von $R_1$ auf $l$ n"otig ist \cite{ziegler_biersack_littmark}.
376 Danach wird der Sto"sparameter durch
381 Dabei gilt f"ur das Maximum $p_{max}$ des Sto"sparameters: $\pi p^2_{max} l = N^{-1}$.
383 Der Azimutwinkel $\Phi$ ist statistisch isotrop verteilt.
388 Mit Hilfe der von Biersack entwickelten \dq magic formula\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark} kann aus dem Sto"sparameter $p$ analytisch der Streuwinkel $\Theta$ errechnet werden.
389 Mit Hilfe des Ablenkwinkels wird dann durch \eqref{eq:final_delta_e} der Energie"ubertrag $\Delta E$ bestimmt.
390 Der elektronische Energieverlust ergibt sich aus dem Produkt der freien Wegl"ange $l$ mit dem Ausdruck f"ur die elektronische Bremskraft $S_e(E)$ aus \eqref{eq:el_sp} und der atomaren Dichte $N$.
391 Durch die freie Wegl"ange und den Ablenk- und Azimutwinkel ist der Ort des n"achsten Sto"sprozesses festgelegt.
392 Die Koordinaten und der Energie"ubertrag jedes Sto"ses werden protokolliert, womit die nukleare und elektronische Bremskraft bestimmt ist.
393 Die Koordinaten der Ionen, die unter einen bestimmten Energiebetrag abgefallen sind, werden ebenfalls durch das Programm festgehalten.
394 Damit ist das Implantationsprofil gegeben.
396 \subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}
398 Durch die Bestrahlung des Targets werden Defekte im Kristallgitter hervorgerufen.
399 Ein eingeschossenes Ion "ubertr"agt seine Energie in Einzelst"o"sen auf die Targetatome, die ihrerseits weitere Targetatome ansto"sen und so eine Sto"skaskade bilden.
400 Eine Kollisionskaskade endet, sobald die Energie der in ihr enthaltenen Teilchen unter die Verlagerungsenergie $E_d$ gesunken ist.
401 So entstehen Leerstellen und Zwischengitteratome, sogenannte Frenkeldefekte, und komplexere Gitterdefekte, sogenannte Cluster.
402 Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen, was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann.
403 Die Anzahl und Verteilung der Strahlensch"aden h"angt dabei von Energie und Masse der implantierten Ionen sowie der Masse der Targetatome, der Art der Bindungen im Festk"orper und der Targettemperatur ab.
404 Die Anzahl der in einem prim"aren Sto"s durch ein Ion der Energie $E$ verlagerten Atome, kann nach Kinchin und Pease \cite{kinchin_pease} f"ur $keV$-Ionen zu
406 N_{p,d} = \frac{E}{2E_d}
410 Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihre Gitterpl"atze zur"uckkehren.
411 Bei der thermischen Defektausheilung wird dies durch die thermisch erh"ohte Mobilit"at der Defekte erm"oglicht.
412 Andererseits kann der Ionenstrahl selbst zur Defektausheilung beitragen.
413 Dieser kann an amorph/kristallinen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen \cite{jackson} oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren \cite{spinella}.
414 Man spricht von ionenstrahlinduzierter Defektausheilung beziehungsweise Rekristallisation (IBIC, kurz f"ur: Ion Beam Induced Crystallization).
416 Im Folgenden sollen einige Strahlensch"adigungsmodelle zur Absch"atzung der Amorphisierungsdosis vorgestellt werden.
418 \subsubsection{Modell der kritischen Energiedichte}
420 Bei niedrigen Implantationstemperaturen, typischerweise kleiner $85 \, K$, kommt es beim Erreichen einer kritischen Energiedichte $e_c$ von etwa $6 \times 10^{23} \, eV/cm^3$ f"ur die in nuklearen St"o"sen deponierte Energie in Silizium zur Amorphisierung \cite{vook}.
421 In diesem Fall ergibt sich die Amorphisierungsdosis $D_0$ aus der nuklearen Bremskraft $S_n$ zu:
424 D_0 = \frac{e_c}{S_n} \quad \textrm{.}
427 Bei hohen Temperaturen finden Ausheilvorg"ange statt, was eine Erh"ohung der Amorphisierungsdosis um mehrere Gr"o"senordnungen zur Folge hat.
429 \subsubsection{Amorphisierungsmodell nach Morehead und Crowder}
431 Das Amorphisierungsmodell nach Morehead und Crowder \cite{morehead_crowder} geht von einer erh"ohten Konzentration an Leerstellen im Zentrum und einer erh"ohten Konzentration an Zwischengitteratomen im Randbereich einer Sto"skaskade aus.
432 W"ahrend der Abklingzeit der Sto"skaskade ($\sim 10^{-9} \, s$) k"onnen Leerstellen durch thermische Diffusion aus dem Zentrum der Sto"skaskade herauswandern und mit Zwischengitteratomen rekombinieren.
433 Dies hat eine Verkleinerung des zentralen, amorph werdenden Volumens zur Folge.
434 Der Vorgang ist abh"angig von der Implantationstemperatur, welche die Diffusionsl"ange der Leerstellen bestimmt und der nuklearen Bremskraft, die das direkte Sch"adigungsvolumen festlegt.
435 Die Amorphisierungsdosis lautet somit
438 D(T) = D_0 \Big[ 1 - C \, exp\Big( - \frac{E_{diff}}{2 k_B T} \Big) \Big] \quad \textrm{,}
440 wobei $D_0 = \frac{E_d n}{S_n}$ die Amorphisierungsdosis f"ur $T \rightarrow 0 \, K$, $C = const. \, S_n^{-\frac{1}{2}}$, $E_{diff}$ die Aktivierungsenergie f"ur Leerstellendiffusion, $E_d$ die Atomverlagerungsenergie und $n$ die atomare Dichte ist.
442 \subsubsection{Das "Uberlappungsmodell}
444 Nach dem "Uberlappungsmodell nach Gibbons \cite{gibbons} hinterl"asst jedes Ion ein zylinderf"ormiges, defektreiches Volumen mit der Grundfl"ache $A_i$.
445 Amorphisierung tritt ein, wenn $m$ Ionen den selben Bereich gesch"adigt haben, also nach $m-1$-facher "Uberlappung.
446 Der "Uberlappungsparameter $m$ ist im wesentlichen abh"angig von der Ionenmasse.
447 Das Verh"altnis des amorphen Fl"achenanteils $A_a$ zur gesamt bestrahlten Fl"ache $A_0$ nach einer Dosis $D$ ergibt sich zu:
449 \frac{A_a}{A_0} = 1 - \Big[ \sum^{m-1}_{k=0} \frac{(A_i D)^k}{k!} \, exp(-A_i D) \Big] \quad \textrm{.}
452 Dennis und Hale \cite{dennis_hale} erreichten nach diesem Modell f"ur Argon- und Kryptonionen in Silizium die beste "Ubereinstimmung mit experimentell bestimmten Sch"adigungsdaten f"ur $m=2$ und $m=3$.
453 Dies deutet darauf hin, dass selbst bei schweren Ionen ausschlie"slich direkte Amorphisierung ($m=1$) unwahrscheinlich ist.
454 Bei niedrigen Dosen zeigt sich aufgrund der direkten Amorphisierung ein linearer Zusammenhang zwischen dem amorphen Fl"achenanteil und der Dosis.
455 Der lineare Verlauf geht mit steigender Dosis mit der Bildung amorpher Gebiete durch "Uberlappung in einen maximal quadratischen Anstieg "uber.
456 Der Verlauf s"attigt schlie"slich aufgrund der Abnahme ungesch"adigter und kristallin gesch"adigter Fl"achenanteile.
458 \subsubsection{Strahlensch"adigungsmodell nach Hecking}
460 Da das "Uberlappungsmodell keine temperaturabh"angigen Ausheilmechanismen ber"ucksichtigt und somit lediglich f"ur tiefe Temperaturen geeignet ist, wurde von Hecking \cite{hecking1,hecking2} ein neues Defekterzeugungs- und Defektwechselwirkungsmodell entwickelt, das auf dem Spike"=Konzept \cite{naguib,carter} aufbaut.
461 Als Spike bezeichnet man das r"aumlich begrenzte Gebiet sehr hoher Energiedichte einer dichten Sto"skaskade, in dem die kollektiv angeregten Atome einen quasi-fl"ussigen Zustand bilden.
462 Die thermische Relaxation dieses Spikes kann als W"armediffusionsprozess beschrieben werden.
463 Erreicht die Kristallisationsfront den Kaskadenkern bevor die Kristallisationstemperatur unterschritten wird, kann der Spike vollst"andig rekristallisieren.
464 Dies ist bei hohen Targettemperaturen der Fall.
465 Bei kleinen Temperaturen und einer darausfolgenden schnellen W"armediffusion kann wegen unvollst"andiger Rekristallisation ein amorpher Kaskadenkern zur"uckbleiben.
466 Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Bildung amorpher Volumina steigt somit mit fallender Temperatur.
467 Neben der Implantationstemperatur h"angt der Defektzustand entscheidend von der Kaskadengeometrie und dem Sch"adigungszustand der Kaskadenumgebung ab.
468 Ein hoher Sch"adigungsgrad einer Kaskadenumgebung erschwert die epitaktische Rekristallisation, was zur sogenannten \dq stimulierten Amorphisierung\dq{} f"uhrt.
469 Neben dem "Ubergang in den amorphen Zustand beschreibt das Modell die Erzeugung und Wechselwirkung von Kristalldefekten bei Dosen unterhalb der Amorphisierungsschwelle anhand von Reaktionswahrscheinlichkeiten, die durch Vergleich mit experimentellen Daten gewonnen wurden.