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47
48 % topic
49
50 \begin{slide}
51 %\centerslidesfalse
52 \begin{center}
53  \begin{minipage}{2.0cm}
54   \begin{center}
55   \includegraphics[height=1.6cm]{uni-logo.eps}
56   \end{center}
57  \end{minipage}
58  \begin{minipage}{8.0cm}
59   \begin{center}
60   {\large\bf
61   Molekulardynamische Simulation\\
62   von Silizium
63   }
64   \end{center}
65  \end{minipage}
66  \begin{minipage}{2.3cm}
67   \begin{center}
68   \includegraphics[height=1.5cm]{Lehrstuhl-Logo.eps}
69   \end{center}
70  \end{minipage}
71 \end{center}
72 \begin{picture}(350,40)
73 \end{picture}
74 \begin{center}
75 Frank Zirkelbach
76 \end{center}
77 \begin{picture}(350,40)
78 \end{picture}
79 \begin{center}
80  {\small 14.06.2007}
81 \end{center}
82 \end{slide}
83
84 % start of content
85 \ptsize{8}
86
87 \begin{slide}
88 {\large\bf
89  "Uberblick
90 }
91 \begin{picture}(350,10)
92 \end{picture}
93 \begin{center}
94  {\color{blue} Molekulardynamische Simulation} von 
95  {\color{green} Silizium}
96 \end{center}
97 \begin{picture}(350,10)
98 \end{picture}
99 \begin{itemize}
100  \item {\color{blue} Grundlagen} der {\color{blue}MD-Simulation}
101  \item MD in der Praxis - die Numerik im Detail
102  \item {\color{green} Potential} f"ur {\color{green} kovalent gebundene Materialien}
103  \item Zusammengefasst: Die {\em moldyn} Bibliothek
104 \end{itemize}
105 \end{slide}
106
107 \begin{slide}
108 {\large\bf
109  Atomistische Simulationen - Unterschied MC / MD
110 }
111 \begin{picture}(350,10)
112 \end{picture}
113 \begin{center}
114  Methoden zur Beschreibung eines Vielteilchen-Systems\\
115 \end{center}
116 \begin{picture}(350,10)
117 \end{picture}
118 MC:
119 \begin{itemize}
120  \item stochastische Simulation
121  \item Abrastern des Phasenraums durch Metropolis Algorithmus
122  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Monte Carlo Schritten
123 \end{itemize}
124 \begin{picture}(350,10)
125 \end{picture}
126 MD:
127 \begin{itemize}
128  \item deterministische Simulation
129  \item N"achster Phasenraumpunkt bestimmt durch Bewegungsgleichung
130  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Zeitschritten
131 \end{itemize}
132 \begin{picture}(350,10)
133 \end{picture}
134 Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
135 \end{slide}
136
137 \begin{slide}
138 {\large\bf
139  Prinzip der MD-Simulation
140 }
141 \begin{itemize}
142  \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
143  \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
144        $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
145  \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
146  \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
147        \[
148        \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
149        \qquad
150        \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
151        \]\\
152        Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
153 \end{itemize}
154 $\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
155 $\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
156 \begin{picture}(350,10)
157 \end{picture}
158 {\large\bf
159  Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
160 }
161 \begin{itemize}
162  \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
163  \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
164  \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
165 \end{itemize}
166 \end{slide}
167
168 \begin{slide}
169 {\large\bf
170  Integration der Bewegungsgleichungen
171 }
172 \begin{itemize}
173  \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
174  \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
175        \[
176        m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
177        \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
178        m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
179        \]
180        \begin{center}
181        (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
182        \end{center}
183  \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
184        \[
185        \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
186        \]
187        \begin{center}
188         (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
189        \end{center}
190        Beispiel Euler:\\
191        ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
192        ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
193 \end{itemize}
194 {\large\bf
195  Anforderungen an den Integrator
196 }  
197 \begin{itemize}
198  \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
199  \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
200  \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
201 \end{itemize}
202 \end{slide}
203
204 \begin{slide}
205 {\large\bf
206  {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
207 }
208 \begin{itemize}
209  \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
210        \begin{eqnarray}
211        {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
212                                 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
213                                 \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
214                                 \nonumber \\
215        {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
216                                 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
217                                 \nonumber \\
218        {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
219                                 \nonumber \\
220        {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
221                                 \nonumber
222        \end{eqnarray}
223  \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
224        f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
225        $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
226        $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
227        {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
228  \item Korrektur:
229        \begin{eqnarray}
230        {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
231                                    c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
232        {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
233                                    c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
234        {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
235                                    c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
236        {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
237                                    c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
238        \end{eqnarray}
239  \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
240 \end{itemize}
241 {\scriptsize
242  C. W. Gear.
243  The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
244  (1966)\\
245  C. W. Gear.
246  Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
247  (1971)
248 }
249 \end{slide}
250
251 \begin{slide}
252 {\large\bf
253  Velocity Verlet
254 }\\
255 Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
256 \begin{eqnarray}
257  {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
258                          \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
259  {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
260                          {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
261 \end{eqnarray}
262 Alogrithmus:
263 \begin{itemize}
264  \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
265  \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
266        \[
267        {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
268        \]
269  \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
270        $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
271  \item Update der Geschwindigkeiten
272        \[
273        {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
274                              \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
275        \]
276 \end{itemize}
277 Eigenschaften:
278 \begin{itemize}
279  \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
280  \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
281  \item verh"altnism"a"sig pr"azise
282 \end{itemize}
283 \end{slide}
284
285 \begin{slide}
286 {\large\bf
287  Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
288 }\\
289 Klassisches Potential:
290 \[
291 {\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
292                \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
293                \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
294                \ldots
295 \]
296 \begin{minipage}{8.3cm}
297 \begin{itemize}
298  \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
299  \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
300                          (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
301  \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
302        (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
303  \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
304  \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
305  \item nur Paarpotential\\
306        $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
307        $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
308 \end{itemize}
309 \end{minipage}
310 \begin{minipage}{4cm}
311  \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
312 \end{minipage}
313 Cut-Off Radius $r_c$:
314 \begin{itemize}
315  \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
316  \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
317 \end{itemize}
318 \begin{picture}(350,5)
319 \end{picture}
320 Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
321 \end{slide}
322
323 \begin{slide}
324 {\large\bf
325  Wahl/Kontrolle des Ensembles
326 }\\
327 \begin{picture}(350,10)
328 \end{picture}
329 Erinnerung:
330 \begin{itemize}
331  \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $<A>_{ens} = <A>_t$
332  \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
333  \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
334 \end{itemize}
335 $\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
336 \[
337  \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
338 \]
339 \begin{picture}(350,10)
340 \end{picture}
341 F"ur andere Ensembles:
342 \begin{itemize}
343  \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
344        im gew"unschten Ensemble
345 \end{itemize}
346 \begin{center}
347 {\color{red} oder}
348 \end{center}
349 \begin{itemize}
350  \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
351        $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
352        Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
353        Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
354 \end{itemize}
355 \end{slide}
356
357 \begin{slide}
358 {\large\bf
359  kanonisches Ensemble (NVT)
360 }\\
361 \begin{picture}(350,10)
362 \end{picture}
363 Trick: {\em temperature scaling}
364 \begin{itemize}
365  \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
366  \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
367  \item eigentlich {\em velocity scaling}
368  \item Berendsen Thermostat:
369        \[
370        \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
371        \]
372        \begin{center}
373        $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
374        {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
375        \end{center}
376 \end{itemize}
377 Andersen:
378 \begin{itemize}
379  \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
380        der Temperatur
381  \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
382  \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
383  \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
384        (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
385 \end{itemize}
386 \end{slide}
387
388 \begin{slide}
389 {\large\bf
390  isothermales isobares Ensemble (NpT)
391 }\\
392 \begin{picture}(350,10)
393 \end{picture}
394 Trick: {\em pressure scaling}
395 \begin{itemize}
396  \item analog zum {\em temperature scaling}
397  \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
398  \item eigentlich {\em volume scaling}
399  \item Berendsen Barostat:
400        \[
401        \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
402        \]
403 \end{itemize}
404 \begin{picture}(350,10)
405 \end{picture}
406 Andersen:
407 \begin{itemize}
408  \item modifizierte Bewegungsgleichung
409        (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
410        \[
411        \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
412                   =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
413                    \sum_{i<j} \mathcal{V}(Q^{1/3} \rho_{ij}) +
414                    \frac{1}{2}M\dot{Q}^2 - \alpha Q
415        \]
416  \item mit $Q=V$: erste 2 Terme $\equiv$ normaler Lagrange-Operator
417  \item Physikalische Interpretation:\\
418        Volumen $Q$ $\equiv$ Koordinate eines fiktiven Stempels
419        mit externen Druck $\alpha$
420  \item Zusammenhang: $V=Q$, ${\bf r}_i=Q^{1/3} \rho_i$,
421        ${\bf p}_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\dot{\rho}_i Q^{1/3})} =
422                  m Q^{1/3} \dot{\rho}_i$
423 \end{itemize}
424 {\scriptsize H. C. Andersen. J. Chem. Phys. 72 (1980) 2384.}
425 \end{slide}
426
427 \begin{slide}
428 {\large\bf
429  Die Simulationszelle \& Randbedingungen
430 }\\
431 Simulationszelle:
432 \begin{itemize}
433  \item Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
434  \item meist orthogonale Simulationszelle
435  \item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
436  \item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
437 \end{itemize}
438 Randbedingungen:
439 \begin{itemize}
440  \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte\\
441        (Bulk-Eigenschaften nur weit entfernt vom Rand)
442  \item besser: periodische Randbedingungen
443 \end{itemize}
444 \begin{center}
445  \includegraphics[width=12cm]{pbc.eps}
446 \end{center}
447 \end{slide}
448
449 \begin{slide}
450 {\large\bf
451  Beispiele f"ur gemischte Randbedingungen
452 }\\
453 Simulation von Oberfl"achen:
454 \begin{itemize}
455  \item ${\color{gray} \bullet}$ PBC nur in $x,y$-Richtung
456  \item $\bullet$ fixierte Randatome (Bulk)
457  \item ${\color{blue} \bullet}$ Schicht aus Atomen mit $T$-Skalierung
458 \end{itemize}
459 \includegraphics[width=8cm]{surface.eps}
460 \end{slide}
461
462 \begin{slide}
463 {\large\bf
464  $SiC$-Ausscheidung in Silizium
465 }\\
466 \begin{picture}(350,10)
467 \end{picture}
468 \begin{minipage}{8cm}
469 \includegraphics[width=8cm]{sic_prec.eps}
470 \end{minipage}
471 \begin{minipage}{4cm}
472 \begin{itemize}
473  \item Zuf"alliges Hinzuf"ugen von Kohlenstoff\\
474        (schraffierter Bereich)\\
475        $\Rightarrow$ Energie- und Impulszufuhr in die MD-Zelle
476  \item $T$-Skalierung,\\ Kopplung ans W"armebad\\
477        (blauer Bereich)\\
478        $\Rightarrow$ Energie/Impuls aus der MD-Zelle
479  \item feste Randatome, Bulk\\
480        (schwarzer Bereich)
481 \end{itemize}
482 \end{minipage}
483 \end{slide}
484
485 \begin{slide}
486 {\large\bf
487  Die Zell-Methode
488 }\\
489 Problemstellung: Finden der Nachbarn f"ur Wechselwirkung
490 \begin{itemize}
491  \item intuitive Methode: (f"ur Atom $i$)
492        \begin{itemize}
493         \item gehe alle Atome $j$ durch
494         \item $r_{ij} < r_c$ $\Rightarrow$ berechne WW
495        \end{itemize}
496        $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N^2)$
497  \item Zell-Methode:\\
498        \begin{minipage}{6cm}
499        \begin{itemize}
500         \item MD-Zelle (L"ange $L$) aufteilen in\\
501               $M \times M \times M$ Subzellen\\
502               mit L"ange $l=L/M>r_c$
503         \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\
504               $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$
505         \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\
506               $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\
507               $N/M^3$ Materialkonstante
508        \end{itemize}
509        $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$
510        \end{minipage}
511        \begin{minipage}{5cm}
512         \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps}
513        \end{minipage}
514 \end{itemize}
515 \end{slide}
516
517 \begin{slide}
518 {\large\bf
519  Thermodynamische Gr"o"sen
520 }
521 \begin{itemize}
522  \item Innere Energie:
523        \[
524        E = <K> + <U> = < \sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{2m_i} > + <U({\bf q})>
525        \]
526  \item Temperatur/Druck
527        \[
528        <p_k \frac{\partial \ham}{\partial p_k}> = k_BT, \quad
529        <q_k \frac{\partial \ham}{\partial q_k}> = k_BT
530        \]
531        \begin{center}
532        {\em "Aquipartitionstheorem}
533        \end{center}
534        Temperatur:
535        \[
536        <\sum_i {\bf p}_i \frac{{\bf p}_i}{m_i}> = 3Nk_BT \quad
537        \Rightarrow \quad T=\frac{1}{3Nk_B} <\sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{m_i}>
538        \]
539        Druck:
540        \[
541        <\sum_i {\bf q}_i \nabla_{{\bf q}_i} \foo> = 3Nk_BT \quad
542        \stackrel{\textrm{kart. Koord.}}{\Rightarrow} \quad 
543        - \frac{1}{3} <\sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \foo> = -Nk_BT
544        \]
545        \begin{center}
546        mit
547        \end{center}
548        \[
549        - \nabla_{{\bf r}_i} \foo = {\bf f}_i^{tot} = {\bf f}_i^{ext} + {\bf f}_i^{int}
550        \]
551        \begin{center}
552        wobei
553        \end{center}
554        \[
555        \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{ext}=-pV, \quad
556        \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{int}=
557        - \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \pot = \vir
558        \]
559        \begin{center}
560        folgt
561        \end{center}
562        \[
563        pV = Nk_BT + <\vir>
564        \]
565 \end{itemize}
566 \end{slide}
567
568 %\begin{slide}
569 %{\large\bf
570 % Thermodynamische Gr"o"sen
571 %}
572 %\begin{itemize}
573 % \item W"armekapazit"at
574 % \item Struktur Werte
575 % \item Diffusion
576 %\end{itemize}
577 %\end{slide}
578
579 \begin{slide}
580 {\large\bf
581  Idee des Tersoff Potentials
582 }
583        \begin{picture}(350,10)
584        \end{picture}
585 \begin{itemize}
586  \item Potential f"ur kovalente Bindungen\\
587        ($Si$: $sp^3$-Hybridisierung, 4 "au"sere Elektronen,
588         4 gerichtete Bindungen, Winkel: $109,47 ^{\circ}$)\\
589        $\Rightarrow$ Bindungsenergie von 3 Atomen $i,j,k$
590        abh"angig von $r_{ij},r_{ik},r_{jk}$ {\color{red} und}
591        $\theta_{ijk},\theta_{ikj},\theta_{kij}$
592  \item {\em\color{blue} bond order} Potential
593        im Gegensatz zu {\em explicit angular}\\
594        \[
595        \pot = \pot_R(r_{ij}) + {\color{blue} b_{ijk}} \pot_A(r_{ij})
596        \]
597        \begin{picture}(350,10)
598        \end{picture}
599        \begin{itemize}
600         \item $b_{ijk}$: umgebungsabh"angiger Term
601         \item $b_{ijk}=const.$ $\Rightarrow$ Paarpotential
602         \item Schw"achung der Paarbindung je mehr Nachbarn vorhanden\\
603               qualitative Motivation: Anzahl der Elektronenpaare pro Bindung
604         \item St"arke der Bindung monoton fallend mit Koordinationszahl\\
605               steiler Abfall $\Rightarrow$ Dimer\\
606               schwacher Abfall $\Rightarrow$ maximale Koordinationszahl
607               (hcp-Struktur)
608         \item Pseudopotentialtheorie:
609               \[
610                b_{ijk} \sim Z^{-\delta}
611               \]
612               \begin{center}
613               {\scriptsize Abell et al. Phys. Rev. B 31 (1985) 6184.}
614               \end{center}
615        \end{itemize}
616 \end{itemize}
617 \end{slide}
618
619 \begin{slide}
620 {\large\bf
621  Form des Tersoff Potentials:
622 }\\
623 Gesamtenergie:
624 \[
625 E = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} \pot_{ij}, \quad
626 \pot_{ij} = f_C(r_{ij}) \left[ f_R(r_{ij}) + b_{ij} f_A(r_{ij}) \right]
627 \]
628 Repulsiver und attraktiver Beitrag:
629 \begin{eqnarray}
630 f_R(r_{ij}) &=& A_{ij} \exp(-\lambda_{ij} r_{ij}) \nonumber \\
631 f_A(r_{ij}) &=& - B_{ij} \exp(-\mu_{ij} r_{ij}) \nonumber
632 \end{eqnarray}
633 Cut-Off Funktion:
634 \[
635 f_C(r_{ij})=\left\{\begin{array}{ll}
636  1, & r_{ij} < R_{ij} \\
637  \frac{1}{2} +
638  \frac{1}{2} \cos \Big[ \pi (r_{ij} - R_{ij})/(S_{ij} - R_{ij}) \Big],
639  & R_{ij} < r_{ij} < S_{ij} \\
640  0, & r_{ij} > S_{ij}
641 \end{array} \right.
642 \]
643 {\em bond order} Term:
644 \begin{eqnarray}
645 b_{ij} &=& \chi_{ij} (1 + \beta_i^{n_i} \zeta^{n_i}_{ij})^{-1/2n_i}
646 \nonumber \\
647 \zeta_{ij} &=& \sum_{k \ne i,j} f_C (r_{ik}) \omega_{ik} g(\theta_{ijk})
648 \nonumber \\
649 g(\theta_{ijk})&=&1+c_i^2/d_i^2 - c_i^2/[d_i^2 + (h_i - \cos \theta_{ijk})^2]
650 \nonumber
651 \end{eqnarray}
652 Anmerkung:
653 \begin{itemize}
654  \item einfach indizierte Parameter nur abh"angig vom jeweiligen Atomtyp
655  \item doppelt indizierte: geometrisches Mittel ($A,B,R,S,\omega,\chi$),
656                            arithmetisches Mittel ($\lambda,\mu$)
657 \end{itemize}
658 \end{slide}
659
660 %\begin{slide}
661 %{\large\bf
662 % EAM
663 %}
664 %
665 %\end{slide}
666
667 \begin{slide}
668 {\large\bf
669  Albe Reparametrisierung
670 }\\
671 \begin{picture}(350,20)
672 \end{picture}
673 Schw"achen von Tersoff (2,3)
674 \begin{itemize}
675  \item Zu geringe Dimer-Bindungsenergie
676  \item T(2): gut f"ur Oberfl"acheneigenschaften
677  \item T(3): gut f"ur Bulkeigenschaften
678 \end{itemize}
679 \begin{picture}(350,20)
680 \end{picture}
681 $\Rightarrow$ Reparametrisierung durch Albe et al.\\
682 {\scriptsize P. Erhart und K. Albe. Phys. Rev. B 71 (2005) 035211}
683 \end{slide}
684
685 \begin{slide}
686 {\large\bf
687  Zusammenfassung / Ausblick
688 }\\
689 \begin{tabular}{|l|c|lr|}
690 \hline
691 Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
692 \hline
693 {\bf Integrator} & & & \\
694 Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
695 Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
696 {\bf Potential} & & & \\
697 Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
698 Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
699 Tersoff & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
700 Albe & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
701 Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
702                                  &  $\bullet\bullet\bullet$ \\
703 {\bf Ensembles} & & & \\
704 {\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
705 {\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
706 Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
707 Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
708 {\bf Simulationszelle} & & & \\
709 periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
710 $T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
711 {\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele
712                                 & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
713 \hline
714 \end{tabular}
715 \end{slide}
716
717 \end{document}