posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex

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  30
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  42
  43 \newcommand{\ham}{\mathcal{H}}
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  46 \newcommand{\vir}{\mathcal{W}}
  47
  48 % topic
  49
  50 \begin{slide}
  51 %\centerslidesfalse
  52 \begin{center}
  53  \begin{minipage}{2.0cm}
  54   \begin{center}
  55   \includegraphics[height=1.6cm]{uni-logo.eps}
  56   \end{center}
  57  \end{minipage}
  58  \begin{minipage}{8.0cm}
  59   \begin{center}
  60   {\large\bf
  61   Molekulardynamische Simulation\\
  62   von Silizium
  63   }
  64   \end{center}
  65  \end{minipage}
  66  \begin{minipage}{2.3cm}
  67   \begin{center}
  68   \includegraphics[height=1.5cm]{Lehrstuhl-Logo.eps}
  69   \end{center}
  70  \end{minipage}
  71 \end{center}
  72 \begin{picture}(350,40)
  73 \end{picture}
  74 \begin{center}
  75 Frank Zirkelbach
  76 \end{center}
  77 \begin{picture}(350,40)
  78 \end{picture}
  79 \begin{center}
  80  {\small 14.06.2007}
  81 \end{center}
  82 \end{slide}
  83
  84 % start of content
  85 \ptsize{8}
  86
  87 \begin{slide}
  88 {\large\bf
  89  "Uberblick
  90 }
  91 \begin{picture}(350,10)
  92 \end{picture}
  93 \begin{center}
  94  {\color{blue} Molekulardynamische Simulation} von
  95  {\color{green} Silizium}
  96 \end{center}
  97 \begin{picture}(350,10)
  98 \end{picture}
  99 \begin{itemize}
 100  \item {\color{blue} Grundlagen} der {\color{blue}MD-Simulation}
 101  \item MD in der Praxis - die Numerik im Detail
 102  \item {\color{green} Potential} f"ur {\color{green} kovalent gebundene Materialien}
 103  \item Zusammengefasst: Die {\em moldyn} Bibliothek
 104 \end{itemize}
 105 \end{slide}
 106
 107 \begin{slide}
 108 {\large\bf
 109  Atomistische Simulationen - Unterschied MC / MD
 110 }
 111 \begin{picture}(350,10)
 112 \end{picture}
 113 \begin{center}
 114  Methoden zur Beschreibung eines Vielteilchen-Systems\\
 115 \end{center}
 116 \begin{picture}(350,10)
 117 \end{picture}
 118 MC:
 119 \begin{itemize}
 120  \item stochastische Simulation
 121  \item Abrastern des Phasenraums durch Metropolis Algorithmus
 122  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Monte Carlo Schritten
 123 \end{itemize}
 124 \begin{picture}(350,10)
 125 \end{picture}
 126 MD:
 127 \begin{itemize}
 128  \item deterministische Simulation
 129  \item N"achster Phasenraumpunkt bestimmt durch Bewegungsgleichung
 130  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Zeitschritten
 131 \end{itemize}
 132 \begin{picture}(350,10)
 133 \end{picture}
 134 Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
 135 \end{slide}
 136
 137 \begin{slide}
 138 {\large\bf
 139  Prinzip der MD-Simulation
 140 }
 141 \begin{itemize}
 142  \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
 143  \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
 144        $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
 145  \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
 146  \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
 147        \[
 148        \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
 149        \qquad
 150        \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
 151        \]\\
 152        Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
 153 \end{itemize}
 154 $\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
 155 $\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
 156 \begin{picture}(350,10)
 157 \end{picture}
 158 {\large\bf
 159  Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
 160 }
 161 \begin{itemize}
 162  \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
 163  \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
 164  \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
 165 \end{itemize}
 166 \end{slide}
 167
 168 \begin{slide}
 169 {\large\bf
 170  Integration der Bewegungsgleichungen
 171 }
 172 \begin{itemize}
 173  \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
 174  \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
 175        \[
 176        m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
 177        \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
 178        m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
 179        \]
 180        \begin{center}
 181        (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
 182        \end{center}
 183  \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
 184        \[
 185        \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
 186        \]
 187        \begin{center}
 188         (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
 189        \end{center}
 190        Beispiel Euler:\\
 191        ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
 192        ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
 193 \end{itemize}
 194 {\large\bf
 195  Anforderungen an den Integrator
 196 }
 197 \begin{itemize}
 198  \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
 199  \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
 200  \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
 201 \end{itemize}
 202 \end{slide}
 203
 204 \begin{slide}
 205 {\large\bf
 206  {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
 207 }
 208 \begin{itemize}
 209  \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
 210        \begin{eqnarray}
 211        {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
 212                                 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
 213                                 \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
 214                                 \nonumber \\
 215        {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
 216                                 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
 217                                 \nonumber \\
 218        {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
 219                                 \nonumber \\
 220        {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
 221                                 \nonumber
 222        \end{eqnarray}
 223  \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
 224        f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
 225        $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
 226        $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
 227        {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
 228  \item Korrektur:
 229        \begin{eqnarray}
 230        {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
 231                                    c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
 232        {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
 233                                    c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
 234        {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
 235                                    c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
 236        {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
 237                                    c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
 238        \end{eqnarray}
 239  \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
 240 \end{itemize}
 241 {\scriptsize
 242  C. W. Gear.
 243  The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
 244  (1966)\\
 245  C. W. Gear.
 246  Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
 247  (1971)
 248 }
 249 \end{slide}
 250
 251 \begin{slide}
 252 {\large\bf
 253  Velocity Verlet
 254 }\\
 255 Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
 256 \begin{eqnarray}
 257  {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
 258                          \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
 259  {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
 260                          {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
 261 \end{eqnarray}
 262 Alogrithmus:
 263 \begin{itemize}
 264  \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
 265  \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
 266        \[
 267        {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
 268        \]
 269  \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
 270        $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
 271  \item Update der Geschwindigkeiten
 272        \[
 273        {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
 274                              \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
 275        \]
 276 \end{itemize}
 277 Eigenschaften:
 278 \begin{itemize}
 279  \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
 280  \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
 281  \item verh"altnism"a"sig pr"azise
 282 \end{itemize}
 283 \end{slide}
 284
 285 \begin{slide}
 286 {\large\bf
 287  Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
 288 }\\
 289 Klassisches Potential:
 290 \[
 291 {\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
 292                \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
 293                \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
 294                \ldots
 295 \]
 296 \begin{minipage}{8.3cm}
 297 \begin{itemize}
 298  \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
 299  \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
 300                          (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
 301  \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
 302        (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
 303  \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
 304  \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
 305  \item nur Paarpotential\\
 306        $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
 307        $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
 308 \end{itemize}
 309 \end{minipage}
 310 \begin{minipage}{4cm}
 311  \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
 312 \end{minipage}
 313 Cut-Off Radius $r_c$:
 314 \begin{itemize}
 315  \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
 316  \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
 317 \end{itemize}
 318 \begin{picture}(350,5)
 319 \end{picture}
 320 Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
 321 \end{slide}
 322
 323 \begin{slide}
 324 {\large\bf
 325  Wahl/Kontrolle des Ensembles
 326 }\\
 327 \begin{picture}(350,10)
 328 \end{picture}
 329 Erinnerung:
 330 \begin{itemize}
 331  \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $<A>_{ens} = <A>_t$
 332  \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
 333  \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
 334 \end{itemize}
 335 $\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
 336 \[
 337  \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
 338 \]
 339 \begin{picture}(350,10)
 340 \end{picture}
 341 F"ur andere Ensembles:
 342 \begin{itemize}
 343  \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
 344        im gew"unschten Ensemble
 345 \end{itemize}
 346 \begin{center}
 347 {\color{red} oder}
 348 \end{center}
 349 \begin{itemize}
 350  \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
 351        $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
 352        Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
 353        Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
 354 \end{itemize}
 355 \end{slide}
 356
 357 \begin{slide}
 358 {\large\bf
 359  kanonisches Ensemble (NVT)
 360 }\\
 361 \begin{picture}(350,10)
 362 \end{picture}
 363 Trick: {\em temperature scaling}
 364 \begin{itemize}
 365  \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
 366  \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
 367  \item eigentlich {\em velocity scaling}
 368  \item Berendsen Thermostat:
 369        \[
 370        \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
 371        \]
 372        \begin{center}
 373        $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
 374        {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
 375        \end{center}
 376 \end{itemize}
 377 Andersen:
 378 \begin{itemize}
 379  \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
 380        der Temperatur
 381  \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
 382  \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
 383  \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
 384        (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
 385 \end{itemize}
 386 \end{slide}
 387
 388 \begin{slide}
 389 {\large\bf
 390  isothermales isobares Ensemble (NpT)
 391 }\\
 392 \begin{picture}(350,10)
 393 \end{picture}
 394 Trick: {\em pressure scaling}
 395 \begin{itemize}
 396  \item analog zum {\em temperature scaling}
 397  \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
 398  \item eigentlich {\em volume scaling}
 399  \item Berendsen Barostat:
 400        \[
 401        \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
 402        \]
 403 \end{itemize}
 404 \begin{picture}(350,10)
 405 \end{picture}
 406 Andersen:
 407 \begin{itemize}
 408  \item modifizierte Bewegungsgleichung
 409        (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
 410        \[
 411        \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
 412                   =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
 413                    \sum_{i<j} \mathcal{V}(Q^{1/3} \rho_{ij}) +
 414                    \frac{1}{2}M\dot{Q}^2 - \alpha Q
 415        \]
 416  \item mit $Q=V$: erste 2 Terme $\equiv$ normaler Lagrange-Operator
 417  \item Physikalische Interpretation:\\
 418        Volumen $Q$ $\equiv$ Koordinate eines fiktiven Stempels
 419        mit externen Druck $\alpha$
 420  \item Zusammenhang: $V=Q$, ${\bf r}_i=Q^{1/3} \rho_i$,
 421        ${\bf p}_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\dot{\rho}_i Q^{1/3})} =
 422                  m Q^{1/3} \dot{\rho}_i$
 423 \end{itemize}
 424 {\scriptsize H. C. Andersen. J. Chem. Phys. 72 (1980) 2384.}
 425 \end{slide}
 426
 427 \begin{slide}
 428 {\large\bf
 429  Die Simulationszelle \& Randbedingungen
 430 }\\
 431 Simulationszelle:
 432 \begin{itemize}
 433  \item Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
 434  \item meist orthogonale Simulationszelle
 435  \item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
 436  \item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
 437 \end{itemize}
 438 Randbedingungen:
 439 \begin{itemize}
 440  \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte\\
 441        (Bulk-Eigenschaften nur weit entfernt vom Rand)
 442  \item besser: periodische Randbedingungen
 443 \end{itemize}
 444 \begin{center}
 445  \includegraphics[width=12cm]{pbc.eps}
 446 \end{center}
 447 \end{slide}
 448
 449 \begin{slide}
 450 {\large\bf
 451  Beispiele f"ur gemischte Randbedingungen
 452 }\\
 453 Simulation von Oberfl"achen:
 454 \begin{itemize}
 455  \item ${\color{gray} \bullet}$ PBC nur in $x,y$-Richtung
 456  \item $\bullet$ fixierte Randatome (Bulk)
 457  \item ${\color{blue} \bullet}$ Schicht aus Atomen mit $T$-Skalierung
 458 \end{itemize}
 459 \includegraphics[width=8cm]{surface.eps}
 460 \end{slide}
 461
 462 \begin{slide}
 463 {\large\bf
 464  $SiC$-Ausscheidung in Silizium
 465 }\\
 466 \begin{picture}(350,10)
 467 \end{picture}
 468 \begin{minipage}{8cm}
 469 \includegraphics[width=8cm]{sic_prec.eps}
 470 \end{minipage}
 471 \begin{minipage}{4cm}
 472 \begin{itemize}
 473  \item Zuf"alliges Hinzuf"ugen von Kohlenstoff\\
 474        (schraffierter Bereich)\\
 475        $\Rightarrow$ Energie- und Impulszufuhr in die MD-Zelle
 476  \item $T$-Skalierung,\\ Kopplung ans W"armebad\\
 477        (blauer Bereich)\\
 478        $\Rightarrow$ Energie/Impuls aus der MD-Zelle
 479  \item feste Randatome, Bulk\\
 480        (schwarzer Bereich)
 481 \end{itemize}
 482 \end{minipage}
 483 \end{slide}
 484
 485 \begin{slide}
 486 {\large\bf
 487  Die Zell-Methode
 488 }\\
 489 Problemstellung: Finden der Nachbarn f"ur Wechselwirkung
 490 \begin{itemize}
 491  \item intuitive Methode: (f"ur Atom $i$)
 492        \begin{itemize}
 493         \item gehe alle Atome $j$ durch
 494         \item $r_{ij} < r_c$ $\Rightarrow$ berechne WW
 495        \end{itemize}
 496        $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N^2)$
 497  \item Zell-Methode:\\
 498        \begin{minipage}{6cm}
 499        \begin{itemize}
 500         \item MD-Zelle (L"ange $L$) aufteilen in\\
 501               $M \times M \times M$ Subzellen\\
 502               mit L"ange $l=L/M>r_c$
 503         \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\
 504               $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$
 505         \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\
 506               $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\
 507               $N/M^3$ Materialkonstante
 508        \end{itemize}
 509        $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$
 510        \end{minipage}
 511        \begin{minipage}{5cm}
 512         \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps}
 513        \end{minipage}
 514 \end{itemize}
 515 \end{slide}
 516
 517 \begin{slide}
 518 {\large\bf
 519  Thermodynamische Gr"o"sen
 520 }
 521 \begin{itemize}
 522  \item Innere Energie:
 523        \[
 524        E = <K> + <U> = < \sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{2m_i} > + <U({\bf q})>
 525        \]
 526  \item Temperatur/Druck
 527        \[
 528        <p_k \frac{\partial \ham}{\partial p_k}> = k_BT, \quad
 529        <q_k \frac{\partial \ham}{\partial q_k}> = k_BT
 530        \]
 531        \begin{center}
 532        {\em "Aquipartitionstheorem}
 533        \end{center}
 534        Temperatur:
 535        \[
 536        <\sum_i {\bf p}_i \frac{{\bf p}_i}{m_i}> = 3Nk_BT \quad
 537        \Rightarrow \quad T=\frac{1}{3Nk_B} <\sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{m_i}>
 538        \]
 539        Druck:
 540        \[
 541        <\sum_i {\bf q}_i \nabla_{{\bf q}_i} \foo> = 3Nk_BT \quad
 542        \stackrel{\textrm{kart. Koord.}}{\Rightarrow} \quad
 543        - \frac{1}{3} <\sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \foo> = -Nk_BT
 544        \]
 545        \begin{center}
 546        mit
 547        \end{center}
 548        \[
 549        - \nabla_{{\bf r}_i} \foo = {\bf f}_i^{tot} = {\bf f}_i^{ext} + {\bf f}_i^{int}
 550        \]
 551        \begin{center}
 552        wobei
 553        \end{center}
 554        \[
 555        \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{ext}=-pV, \quad
 556        \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{int}=
 557        - \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \pot = \vir
 558        \]
 559        \begin{center}
 560        folgt
 561        \end{center}
 562        \[
 563        pV = Nk_BT + <\vir>
 564        \]
 565 \end{itemize}
 566 \end{slide}
 567
 568 %\begin{slide}
 569 %{\large\bf
 570 % Thermodynamische Gr"o"sen
 571 %}
 572 %\begin{itemize}
 573 % \item W"armekapazit"at
 574 % \item Struktur Werte
 575 % \item Diffusion
 576 %\end{itemize}
 577 %\end{slide}
 578
 579 \begin{slide}
 580 {\large\bf
 581  Idee des Tersoff Potentials
 582 }
 583        \begin{picture}(350,10)
 584        \end{picture}
 585 \begin{itemize}
 586  \item Potential f"ur kovalente Bindungen\\
 587        ($Si$: $sp^3$-Hybridisierung, 4 "au"sere Elektronen,
 588         4 gerichtete Bindungen, Winkel: $109,47 ^{\circ}$)\\
 589        $\Rightarrow$ Bindungsenergie von 3 Atomen $i,j,k$
 590        abh"angig von $r_{ij},r_{ik},r_{jk}$ {\color{red} und}
 591        $\theta_{ijk},\theta_{ikj},\theta_{kij}$
 592  \item {\em\color{blue} bond order} Potential
 593        im Gegensatz zu {\em explicit angular}\\
 594        \[
 595        \pot = \pot_R(r_{ij}) + {\color{blue} b_{ijk}} \pot_A(r_{ij})
 596        \]
 597        \begin{picture}(350,10)
 598        \end{picture}
 599        \begin{itemize}
 600         \item $b_{ijk}$: umgebungsabh"angiger Term
 601         \item $b_{ijk}=const.$ $\Rightarrow$ Paarpotential
 602         \item Schw"achung der Paarbindung je mehr Nachbarn vorhanden\\
 603               qualitative Motivation: Anzahl der Elektronenpaare pro Bindung
 604         \item St"arke der Bindung monoton fallend mit Koordinationszahl\\
 605               steiler Abfall $\Rightarrow$ Dimer\\
 606               schwacher Abfall $\Rightarrow$ maximale Koordinationszahl
 607               (hcp-Struktur)
 608         \item Pseudopotentialtheorie:
 609               \[
 610                b_{ijk} \sim Z^{-\delta}
 611               \]
 612               \begin{center}
 613               {\scriptsize Abell et al. Phys. Rev. B 31 (1985) 6184.}
 614               \end{center}
 615        \end{itemize}
 616 \end{itemize}
 617 \end{slide}
 618
 619 \begin{slide}
 620 {\large\bf
 621  Form des Tersoff Potentials:
 622 }\\
 623 Gesamtenergie:
 624 \[
 625 E = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} \pot_{ij}, \quad
 626 \pot_{ij} = f_C(r_{ij}) \left[ f_R(r_{ij}) + b_{ij} f_A(r_{ij}) \right]
 627 \]
 628 Repulsiver und attraktiver Beitrag:
 629 \begin{eqnarray}
 630 f_R(r_{ij}) &=& A_{ij} \exp(-\lambda_{ij} r_{ij}) \nonumber \\
 631 f_A(r_{ij}) &=& - B_{ij} \exp(-\mu_{ij} r_{ij}) \nonumber
 632 \end{eqnarray}
 633 Cut-Off Funktion:
 634 \[
 635 f_C(r_{ij})=\left\{\begin{array}{ll}
 636  1, & r_{ij} < R_{ij} \\
 637  \frac{1}{2} +
 638  \frac{1}{2} \cos \Big[ \pi (r_{ij} - R_{ij})/(S_{ij} - R_{ij}) \Big],
 639  & R_{ij} < r_{ij} < S_{ij} \\
 640  0, & r_{ij} > S_{ij}
 641 \end{array} \right.
 642 \]
 643 {\em bond order} Term:
 644 \begin{eqnarray}
 645 b_{ij} &=& \chi_{ij} (1 + \beta_i^{n_i} \zeta^{n_i}_{ij})^{-1/2n_i}
 646 \nonumber \\
 647 \zeta_{ij} &=& \sum_{k \ne i,j} f_C (r_{ik}) \omega_{ik} g(\theta_{ijk})
 648 \nonumber \\
 649 g(\theta_{ijk})&=&1+c_i^2/d_i^2 - c_i^2/[d_i^2 + (h_i - \cos \theta_{ijk})^2]
 650 \nonumber
 651 \end{eqnarray}
 652 Anmerkung:
 653 \begin{itemize}
 654  \item einfach indizierte Parameter nur abh"angig vom jeweiligen Atomtyp
 655  \item doppelt indizierte: geometrisches Mittel ($A,B,R,S,\omega,\chi$),
 656                            arithmetisches Mittel ($\lambda,\mu$)
 657 \end{itemize}
 658 \end{slide}
 659
 660 %\begin{slide}
 661 %{\large\bf
 662 % EAM
 663 %}
 664 %
 665 %\end{slide}
 666
 667 \begin{slide}
 668 {\large\bf
 669  Albe Reparametrisierung
 670 }\\
 671 \begin{picture}(350,20)
 672 \end{picture}
 673 Schw"achen von Tersoff (2,3)
 674 \begin{itemize}
 675  \item Zu geringe Dimer-Bindungsenergie
 676  \item T(2): gut f"ur Oberfl"acheneigenschaften
 677  \item T(3): gut f"ur Bulkeigenschaften
 678 \end{itemize}
 679 \begin{picture}(350,20)
 680 \end{picture}
 681 $\Rightarrow$ Reparametrisierung durch Albe et al.\\
 682 {\scriptsize P. Erhart und K. Albe. Phys. Rev. B 71 (2005) 035211}
 683 \end{slide}
 684
 685 \begin{slide}
 686 {\large\bf
 687  Zusammenfassung / Ausblick
 688 }\\
 689 \begin{tabular}{|l|c|lr|}
 690 \hline
 691 Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
 692 \hline
 693 {\bf Integrator} & & & \\
 694 Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 695 Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
 696 {\bf Potential} & & & \\
 697 Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 698 Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
 699 Tersoff & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 700 Albe & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 701 Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
 702                                  &  $\bullet\bullet\bullet$ \\
 703 {\bf Ensembles} & & & \\
 704 {\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 705 {\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 706 Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
 707 Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
 708 {\bf Simulationszelle} & & & \\
 709 periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 710 $T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 711 {\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele
 712                                 & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
 713 \hline
 714 \end{tabular}
 715 \end{slide}
 716
 717 \end{document}