]> hackdaworld.org Git - lectures/latex.git/blob - solid_state_physics/tutorial/1_01s.tex
grob fertig
[lectures/latex.git] / solid_state_physics / tutorial / 1_01s.tex
1 \pdfoutput=0
2 \documentclass[a4paper,11pt]{article}
3 \usepackage[activate]{pdfcprot}
4 \usepackage{verbatim}
5 \usepackage{a4}
6 \usepackage{a4wide}
7 \usepackage[german]{babel}
8 \usepackage[latin1]{inputenc}
9 \usepackage[T1]{fontenc}
10 \usepackage{amsmath}
11 \usepackage{ae}
12 \usepackage{aecompl}
13 \usepackage[dvips]{graphicx}
14 \graphicspath{{./img/}}
15 \usepackage{color}
16 \usepackage{pstricks}
17 \usepackage{pst-node}
18 \usepackage{rotating}
19
20 \setlength{\headheight}{0mm} \setlength{\headsep}{0mm}
21 \setlength{\topskip}{-10mm} \setlength{\textwidth}{17cm}
22 \setlength{\oddsidemargin}{-10mm}
23 \setlength{\evensidemargin}{-10mm} \setlength{\topmargin}{-1cm}
24 \setlength{\textheight}{26cm} \setlength{\headsep}{0cm}
25
26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
27
28 \begin{document}
29
30 % header
31 \begin{center}
32  {\LARGE {\bf Materials Physics I}\\}
33  \vspace{8pt}
34  Prof. B. Stritzker\\
35  WS 2007/08\\
36  \vspace{8pt}
37  {\Large\bf Tutorial 1 - proposed solutions}
38 \end{center}
39
40 \section{Free electron in a box}
41 \begin{enumerate}
42  \item
43
44  \begin{itemize}
45   \item Schr"odinger equation:\\
46         \[
47         - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi({\bf r}) + V({\bf r}) \Psi({\bf r})
48         = E \Psi({\bf r}) \textrm{ , }
49         V({\bf r}) = 0 \textrm{ for } {\bf r} \in [0,L]
50         \]
51   \item Boundary conditions: $\Psi({\bf r}) = \Psi(x,y,z)$\\
52         \[
53         \Psi(0,y,z) = \Psi(L,y,z) = 0 \qquad
54         \Psi(x,0,z) = \Psi(x,L,z) = 0 \qquad
55         \Psi(x,y,0) = \Psi(x,y,L) = 0
56         \]
57  \end{itemize}
58
59
60  \item
61   \begin{itemize}
62    \item Product ansatz: $\Psi({\bf r})=F_x(x)F_y(y)F_z(z)$, with\\
63          $F_x(x)=0$ for $x=0,L$\\
64          $F_y(y)=0$ for $y=0,L$\\
65          $F_z(z)=0$ for $z=0,L$.
66    \item Schr"odinger equation:\\
67          Use: $\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2} +
68                         \frac{\partial^2}{\partial y^2} +
69                         \frac{\partial^2}{\partial z^2} \Rightarrow$\\
70          \[
71          - \frac{\hbar^2}{2m} \Big[
72          F_y(y) F_z(z) \frac{d^2}{dx^2} F_x(x) +
73          F_x(x) F_z(z) \frac{d^2}{dy^2} F_y(y) +
74          F_x(x) F_y(y) \frac{d^2}{dz^2} F_z(z)
75          \Big] =
76          E F_x(x) F_y(y) F_z(z)
77          \]
78    \item Schr"odinger equation fullfilled if:
79          \[
80          - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} F_x(x) = E_x F_x(x), \quad
81          - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dy^2} F_y(y) = E_y F_y(y),\quad
82          - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dz^2} F_z(z) = E_z F_z(z).
83          \]
84          \[
85          \Rightarrow \Big[E_x + E_y + E_z\Big] F_x(x) F_y(y) F_z(z) =
86                      E F_x(x)F_y(y)F_z(z) \textrm{, } \quad E = E_x + E_y + E_z
87          \]
88          Three eigenvalue problems of the same character.
89          Sufficient to examine only one!
90    \item Solution of the Schr"odinger equation:\\
91          \begin{itemize}
92           \item Ansatz: $F_x = A_x \exp(ik_xx) + B_x \exp(-ik_xx)$
93           \item Boundary conditions:\\
94                 $F_x(0)=0 \Rightarrow B_x=-A_x$, \quad
95                 let ${A}_x = \frac{1}{2i}\tilde{A}_x$
96                 $\Rightarrow$ $F_x(x) = \tilde{A}_x \sin(k_xx)$\\
97                 $F_x(L)=0 \Rightarrow k_x L = n_x \pi$ or rather
98                 $k_x=n_x \frac{\pi}{L}$, \quad $n_x=0,\pm1,\pm2,\ldots$
99           \item Forbidden values for $n_x$:\\
100                 $n_x \ne 0$: otherwise wave function zero for all $x$\\
101                 $n_x > 0$: wave functions for $+n_x$ and $-n_x$
102                 not linearly independent (same quantum sate)
103          \end{itemize}
104          \[
105          \Rightarrow
106          \Psi_{n_x n_y n_z} = A \sin(\frac{n_x \pi}{L}x)
107                                 \sin(\frac{n_y \pi}{L}y)
108                                 \sin(\frac{n_z \pi}{L}z),
109          \quad A=\tilde{A}_x\tilde{A}_y\tilde{A}_z
110          \]
111    \item Energy\\
112          \[
113          E_{n_x n_y n_z} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)
114          \]
115   \end{itemize}
116
117  \item Ground-state:
118        \[
119        \Psi_{111} = A \sin(\frac{\pi}{L}x) \sin(\frac{\pi}{L}x)
120                       \sin(\frac{\pi}{L}x) \qquad
121        E_{111} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} (1+1+1)
122                 = \frac{3 \hbar^2 \pi^2}{2m L^2}
123        \]
124  \item $n_x,n_y,n_z=1,2,3\ldots$\\
125        Allowed $k_{x,y,z}$ values located in positive octant only.
126        \begin{flushleft}
127        \includegraphics[width=10cm]{feg_kvals.eps}
128        \end{flushleft}
129
130 \end{enumerate}
131
132 \section{Reciprocal lattice}
133
134 Convention:
135 \begin{itemize}
136  \item basis of unit cell in real space: $a_1,a_2,a_3$
137  \item basis of unit cell in reciprocal space: $b_1,b_2,b_3$
138 \end{itemize}
139 Prove:
140 \[
141 V_{real}=a_1(a_2 \times a_3)
142 \]\[
143 b_1=\frac{2\pi(a_2 \times a_3)}{a_1(a_2 \times a_3)}
144 \]\[
145 b_2=\frac{2\pi(a_3 \times a_1)}{a_1(a_2 \times a_3)}
146 \]\[
147 b_3=\frac{2\pi(a_1 \times a_2)}{a_1(a_2 \times a_3)}
148 \]
149 \[
150 V_{rec}=b_1 ( b_2 \times b_3)=
151        \frac{(2\pi)^3}{(a_1(a_2 \times a_3))^3} (a_2 \times a_3) [
152        (a_3 \times a_1) \times (a_1 \times a_2) ]
153 \]
154 \[
155 \textrm{Hint 1: }
156 (a_3 \times a_1) \times (a_1 \times a_2) =
157 a_1((a_3 \times a_1)a_2) - \underbrace{a_2((a_3 \times a_1)a_1)}_{=0}
158 \]
159 \[
160 \Rightarrow V_{rec}= \frac{(2\pi)^3}{(a_1(a_2 \times a_3))^3} 
161 (a_2 \times a_3) (a_1((a_3 \times a_1) a_2))
162 \]
163 \[
164 \textrm{Hint 2: }
165 (a_2 \times a_3) (a_1((a_3 \times a_1) a_2)) =
166 (a_2 \times a_3) (a_1((a_2 \times a_3) a_1)) =
167 (a_1 (a_2 \times a_3))^2
168 \]
169 \[
170 \Rightarrow V_{rec}=\frac{(2\pi)^3}{a_1(a_2 \times a_3)}=
171 \frac{(2\pi)^3}{V_{real}}
172 \]
173
174 \end{document}