solid_state_physics/tutorial/1_02.tex

   1 \pdfoutput=0
   2 \documentclass[a4paper,11pt]{article}
   3 \usepackage[activate]{pdfcprot}
   4 \usepackage{verbatim}
   5 \usepackage{a4}
   6 \usepackage{a4wide}
   7 \usepackage[german]{babel}
   8 \usepackage[latin1]{inputenc}
   9 \usepackage[T1]{fontenc}
  10 \usepackage{amsmath}
  11 \usepackage{ae}
  12 \usepackage{aecompl}
  13 \usepackage[dvips]{graphicx}
  14 \graphicspath{{./img/}}
  15 \usepackage{color}
  16 \usepackage{pstricks}
  17 \usepackage{pst-node}
  18 \usepackage{rotating}
  19
  20 \setlength{\headheight}{0mm} \setlength{\headsep}{0mm}
  21 \setlength{\topskip}{-10mm} \setlength{\textwidth}{17cm}
  22 \setlength{\oddsidemargin}{-10mm}
  23 \setlength{\evensidemargin}{-10mm} \setlength{\topmargin}{-1cm}
  24 \setlength{\textheight}{26cm} \setlength{\headsep}{0cm}
  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27
  28 \begin{document}
  29
  30 % header
  31 \begin{center}
  32  {\LARGE {\bf Materials Physics I}\\}
  33  \vspace{8pt}
  34  Prof. B. Stritzker\\
  35  WS 2007/08\\
  36  \vspace{8pt}
  37  {\Large\bf Tutorial 2}
  38 \end{center}
  39
  40 \section{Phonons 1}
  41 Consider two masses $M_1$ and $M_2$ with their idle positions
  42 $r_{10}$ and $r_{20}$ connected by a spring with spring constant $D$.
  43 The equilibrium distance vector is $\rho_{0}=r_{20}-r_{10}$.
  44 Denote the deflection by $u_1$ and $u_2$, the deflected positions by
  45 $r_1$ and $r_2$ and their distance vector by $\rho=r_2-r_1$.
  46 The vector of elongation is thus given by $\sigma = u_2 -u_1$.
  47 \begin{enumerate}
  48  \item Write down a potential $\Phi - \Phi_0$ as a function of
  49        $\rho_0$ and $\sigma$. Therefor prove and use the relation
  50        $\rho=\rho_0+\sigma$.
  51  \item Discuss the case $\sigma \parallel \rho_0$.
  52        \begin{enumerate}
  53         \item Sketch examples for elongations $u_1$ and $u_2$.
  54         \item Express the potential $\Phi-\Phi_0$ as a function of
  55               $\sigma = \sigma_{\parallel}$.
  56        \end{enumerate}
  57  \item Discuss the case $\sigma \perp \sigma_0$.
  58        \begin{enumerate}
  59         \item Sketch examples for elongations $u_1$ and $u_2$.
  60         \item Express the potential $\Phi-\Phi_0$ as a function of
  61               $\rho_0$ and $\sigma = \sigma_{\perp}$.
  62         \item Examine the case $\sigma_{\perp} \ll \rho_0$.
  63               {\bf Hint:} Use $\sigma_{\perp} = \alpha \rho_0$ and
  64                           $\alpha \ll 1.$
  65         \item Compare the potential contribution of $\sigma_{\parallel}$ and
  66               $\sigma_{\perp}$.
  67        \end{enumerate}
  68  \item Discuss the model of two masses deflected along the same direction
  69        as a possible model for the dynamic behaviour of atoms in a crystal
  70        keeping earlier results in mind.
  71 \end{enumerate}
  72
  73 \section{Phonons 2}
  74 \begin{enumerate}
  75 \item Derive the dispersion relation for a linear chain with two different
  76       alternating types of atoms.
  77 \item Discuss the two solutions for $\omega^2$.
  78 \end{enumerate}
  79
  80 \end{document}