solid_state_physics/tutorial/1_04.tex

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  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27
  28 \begin{document}
  29
  30 % header
  31 \begin{center}
  32  {\LARGE {\bf Materials Physics I}\\}
  33  \vspace{8pt}
  34  Prof. B. Stritzker\\
  35  WS 2007/08\\
  36  \vspace{8pt}
  37  {\Large\bf Tutorial 4}
  38 \end{center}
  39
  40 \section{Hall effect and magnetoresistance}
  41 The Hall effect refers to the potential difference (Hall voltage)
  42 on the opposite sides of an electrical conductor
  43 through which an electric current is flowing,
  44 created by a magnetic field applied perpendicular to the current.
  45 Edwin Hall discovered this effect in 1879.
  46
  47 Consider the following scenario:
  48 An electric field $E_x$ is applied to a wire extending in $x$-direction
  49 and a current density $j_x$ is flowing in that wire.
  50 There is a magnetic field $B$ pointing in the positive $z$-direction.
  51 Electrons are deflected in the negative $y$-direction
  52 due to the Lorentz force $F_L=-ev\times B$
  53 until they run against the sides of the wire.
  54 An electric field $E_y$ builds up opposing the Lorentz force
  55 and thus preventing further electron accumulation at the sides.
  56 The two quantities of interest are:
  57 \begin{itemize}
  58  \item the magnetoresistance
  59        \[
  60        \rho(B) = \frac{E_x}{j_x} \textrm{ and}
  61        \]
  62  \item the Hall coefficient
  63        \[
  64        R_H(B) = \frac{E_y}{j_xB} \textrm{ .}
  65        \]
  66 \end{itemize}
  67 In this tutorial the treatment of the Hall problem is based on a simple
  68 Drude model analysis.
  69
  70 First of all the effect of individual electron collisions can be expressed
  71 by a frictional damping term in the equation of motion for the momentum
  72 per electron.
  73 By inserting the forces acting on the elecron into the equation of motion
  74 the expression for the Hall coefficient $R_H=-\frac{1}{ne}$ can be found.
  75
  76 \begin{enumerate}
  77  \item Recall the Drude model.
  78        Given the momentum per electron $p(t)$ at time t
  79        calculate the momentum per electron $p(t+dt)$
  80        an infinitesimal time $dt$ later.
  81        {\bf Hint:} What is the probability of an electron taken at random at
  82        time $t$ to not suffer a collision before time $t+dt$?
  83        If not experiencing a collision it simply evolves under the influence
  84        of the force $f(t)$.
  85        Combine contributions of the order of $(dt)^2$ to the term
  86        $O(dt)^2$.
  87  \item Write down the equation of motion for the momentum per electron
  88        by dividing the above result by $dt$
  89        and taking the limit $dt\rightarrow 0$.
  90  \item Sketch a schematic view of Hall's experiment.
  91  \item Find an expression for the Hall coefficient.
  92        {\bf Hint:} Insert an appropriate force into the equation of motion
  93        for the momentum per electron.
  94        Consider the steady state and acquire the equations
  95        for the $x$ and $y$ component of the vector equation.
  96        To find an expression for the Hall coefficient use the second  equation
  97        and the fact that there must not be transverse current $j_y$
  98        while determining the Hall field.
  99  \item Calculate the Hall field for a rectangular wire
 100        (width: $l=15\, cm$, thickness: $d=4\, mm$) made out of silver
 101        if there is a current $I=200\, A$ flowing
 102        and a magnetic field $B=1.5\, Vs/m^2$ applied
 103        perpendicular to the current.
 104        Silver has the relative atomic mass $A_r=107.87$ and
 105        density $\rho=10.5\, g/cm^3$.
 106        Assume that there is one valence electron per atom.
 107        The atomic mass unit is $u=1.6605 \cdot 10^{-27} \, kg$
 108        and $e=1.602 \cdot 10^{-19} \, As$.
 109        {\bf Hint:} Start by calculating the Hall coefficient of silver first.
 110 \end{enumerate}
 111
 112 \end{document}