solid_state_physics/tutorial/2_01.tex

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  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27 \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
  28 \renewcommand{\labelenumiii}{\roman{enumiii})}
  29
  30 \begin{document}
  31
  32 % header
  33 \begin{center}
  34  {\LARGE {\bf Materials Physics II}\\}
  35  \vspace{8pt}
  36  Prof. B. Stritzker\\
  37  SS 2008\\
  38  \vspace{8pt}
  39  {\Large\bf Tutorial 1}
  40 \end{center}
  41
  42 \section{Diamagnetism}
  43 There is a linear relationship of the magnetic field ${\bf B}$ and
  44 the magnetization ${\bf M}$ of some material.
  45 The factor of proportionality is called the magnetic suscebtibility $\chi$.
  46 \[
  47  \chi=\frac{\mu_0 {\bf M}}{{\bf B}}
  48 \]
  49 For negative values of $\chi$ the induced magnetization aligns opposite
  50 to the applied magnetic field.
  51 This behaviour is called diamagnetism.
  52 \\\\
  53 Develop an expression for the diamagnetic contribution to $\chi$ for some
  54 atom or ion.
  55
  56 \begin{enumerate}
  57  \item {\bf Classical approach:}\\
  58        Consider the outer electrons of an atom or ion orbiting
  59        the core with a radius $r$.
  60        Apply a magnetic field $B$ perpendicular to the orbit plane.
  61        According to Lenz's law the induced current creates a magnetic
  62        field that tends to keep the magnetic flux unchanged.
  63        \begin{enumerate}
  64         \item Calculate the induced voltage $U$ due to the change in flux.
  65               What is the related electric field $E$ along the orbit track?
  66               Calculate the corresponding change of the electron velocity
  67               due to the change of the magnetic field.
  68               What is the resulting angular frequency $\omega_L$
  69               (Larmor frequency, named after Joseph Larmor)?
  70         \item Determine the magnetic momentum $\mu$ caused by the
  71               Larmor precession of $Z$ electrons which have a mean square
  72               distance $<r^2>$ to the core.
  73               {\bf Hint:}
  74               The magnetic momentum of a current loop is the product of
  75               the current and the area of the loop.
  76               The average square of the loop radius $<\rho^2>$ is the average
  77               square distance of the electrons perpendicular to the direction
  78               of the applied magnetic field ($<\rho^2>=<x^2>+<y^2>$).
  79               The average square distance of the electrons to the core is
  80               $<r^2>=<x^2>+<y^2>+<z^2>$.
  81               Assuming a spherically symmetric charge distribution
  82               the equality $<x^2>=<y^2>=<z^2>$ holds.
  83         \item Write down the magnetic suscebtibility $\chi$.
  84               {\bf Hint:} By definition the magnetization is given by $N\mu$,
  85               where $N$ is the amount of atoms per unit volume.
  86        \end{enumerate}
  87  \item {\bf Quantum mechanical theory:}\\
  88        In the presence of a magnetic field ${\bf B}=\nabla\times{\bf A}$
  89        the kinetic part of the Hamiltonian is extended to read
  90        \[
  91        H_{kin}=\frac{1}{2m}(-i\hbar\nabla_{r}-e{\bf A})^2
  92               =H_{kin}^0 + H_{kin}'
  93        \]
  94        where ${\bf A}$ is the vector potential and $H_{kin}^0$ is
  95        the kinetic part of the Hamiltonian without apllied magnetic field.
  96        \begin{enumerate}
  97         \item Write down the additional terms $H_{kin}'$ of the kinetic part
  98               of the Hamiltonian.
  99         \item Choose a reasonable vector potential ${\bf A}$ to get a constant
 100               magnetic field ${\bf B}$ in $z$-direction.
 101         \item Rewrite the Hamiltonian
 102               using the definition of the angular momentum operator
 103               $L_z=x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}$.
 104         \item Calculate the magnetic suscebtibility in a state $\phi$.
 105               What term is responsible for the diamagnetic contribution?
 106               {\bf Hint:} The magnetic suscebtibility is defined as
 107               $\chi=-\frac{1}{V}\mu_0\frac{\partial^2 E}{\partial B^2}$.
 108         \item Assuming a spherically symmetric charge distribution the equality
 109               $<\phi|x^2|\phi>=<\phi|y^2|\phi>=\frac{1}{3}<\phi|r^2|\phi>$
 110               is valid. Rewrite the diamagnetic part of the suscebtibility
 111               and compare the result to the one obtained
 112               by the classical approach.
 113        \end{enumerate}
 114 \end{enumerate}
 115
 116 \end{document}