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[lectures/latex.git] / solid_state_physics / tutorial / 2_01.tex
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25
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29
30 \begin{document}
31
32 % header
33 \begin{center}
34  {\LARGE {\bf Materials Physics II}\\}
35  \vspace{8pt}
36  Prof. B. Stritzker\\
37  SS 2008\\
38  \vspace{8pt}
39  {\Large\bf Tutorial 1}
40 \end{center}
41
42 \section{Diamagnetism}
43 There is a linear relationship of the magnetic field ${\bf B}$ and
44 the magnetization ${\bf M}$ of some material.
45 The factor of proportionality is called the magnetic suscebtibility $\chi$.
46 \[
47  \chi=\frac{\mu_0 {\bf M}}{{\bf B}}
48 \]
49 For negative values of $\chi$ the induced magnetization aligns opposite
50 to the applied magnetic field.
51 This behaviour is called diamagnetism.
52 \\\\
53 Develop an expression for the diamagnetic contribution to $\chi$ for some
54 atom or ion.
55
56 \begin{enumerate}
57  \item {\bf Classical approach:}\\
58        Consider the outer electrons of an atom or ion orbiting
59        the core with a radius $r$.
60        Apply a magnetic field $B$ perpendicular to the orbit plane.
61        According to Lenz's law the induced current creates a magnetic
62        field that tends to keep the magnetic flux unchanged.
63        \begin{enumerate}
64         \item Calculate the induced voltage $U$ due to the change in flux.
65               What is the related electric field $E$ along the orbit track?
66               Calculate the corresponding change of the electron velocity
67               due to the change of the magnetic field.
68               What is the resulting angular frequency $\omega_L$
69               (Larmor frequency, named after Joseph Larmor)?
70         \item Determine the magnetic momentum $\mu$ caused by the
71               Larmor precession of $Z$ electrons which have a mean square
72               distance $<r^2>$ to the core.
73               {\bf Hint:}
74               The magnetic momentum of a current loop is the product of
75               the current and the area of the loop.
76               The average square of the loop radius $<\rho^2>$ is the average
77               square distance of the electrons perpendicular to the direction
78               of the applied magnetic field ($<\rho^2>=<x^2>+<y^2>$).
79               The average square distance of the electrons to the core is
80               $<r^2>=<x^2>+<y^2>+<z^2>$.
81               Assuming a spherically symmetric charge distribution
82               the equality $<x^2>=<y^2>=<z^2>$ holds.
83         \item Write down the magnetic suscebtibility $\chi$.
84               {\bf Hint:} By definition the magnetization is given by $N\mu$,
85               where $N$ is the amount of atoms per unit volume.
86        \end{enumerate}
87  \item {\bf Quantum mechanical theory:}\\
88        In the presence of a magnetic field ${\bf B}=\nabla\times{\bf A}$
89        the kinetic part of the Hamiltonian is extended to read
90        \[
91        H_{kin}=\frac{1}{2m}(-i\hbar\nabla_{r}-e{\bf A})^2
92               =H_{kin}^0 + H_{kin}'
93        \]
94        where ${\bf A}$ is the vector potential and $H_{kin}^0$ is
95        the kinetic part of the Hamiltonian without apllied magnetic field.
96        \begin{enumerate}
97         \item Write down the additional terms $H_{kin}'$ of the kinetic part
98               of the Hamiltonian.
99         \item Choose a reasonable vector potential ${\bf A}$ to get a constant
100               magnetic field ${\bf B}$ in $z$-direction.
101         \item Rewrite the Hamiltonian 
102               using the definition of the angular momentum operator
103               $L_z=x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}$.
104         \item Calculate the magnetic suscebtibility in a state $\phi$.
105               What term is responsible for the diamagnetic contribution?
106               {\bf Hint:} The magnetic suscebtibility is defined as
107               $\chi=-\frac{1}{V}\mu_0\frac{\partial^2 E}{\partial B^2}$.
108         \item Assuming a spherically symmetric charge distribution the equality
109               $<\phi|x^2|\phi>=<\phi|y^2|\phi>=\frac{1}{3}<\phi|r^2|\phi>$
110               is valid. Rewrite the diamagnetic part of the suscebtibility
111               and compare the result to the one obtained
112               by the classical approach.
113        \end{enumerate}
114 \end{enumerate}
115
116 \end{document}