solid_state_physics/tutorial/2_03.tex

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  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27 \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
  28 \renewcommand{\labelenumiii}{\roman{enumiii})}
  29
  30 \begin{document}
  31
  32 % header
  33 \begin{center}
  34  {\LARGE {\bf Materials Physics II}\\}
  35  \vspace{8pt}
  36  Prof. B. Stritzker\\
  37  SS 2008\\
  38  \vspace{8pt}
  39  {\Large\bf Tutorial 3}
  40 \end{center}
  41
  42 \vspace{8pt}
  43
  44 The specific heat (capacity) is the measure of the energy
  45 required to increase the temperature of a unit quantity of a substance
  46 by a certain temperature interval.
  47 Thus, the specific heat at constant volume $V$ is given by
  48 \[
  49 c_V = \frac{\partial w}{\partial T}
  50 \]
  51 in which $w$ is the internal energy density of the system.
  52 In the following the contribution to the specific heat due to the
  53 degrees of freedom of the lattice ions is calculated.
  54
  55 \section{Specific heat in the classical theory of the harmonic crystal -\\
  56          The law of Dulong and Petit}
  57
  58 In the classical theory of the harmonic crystal equilibrium properties
  59 can no longer be evaluated by simply assuming that each ion sits quietly at
  60 its Bravais lattice site {\bf R}.
  61 From now on expectation values have to be claculated by
  62 integrating over all possible ionic configurations weighted by
  63 $\exp(-E/k_{\text{B}}T)$, where $E$ is the energy of the configuration.
  64 Thus, the energy density $w$ is given by
  65 \[
  66 w=\frac{1}{V} \frac{\int d\Gamma\exp(-\beta H)H}{\int d\Gamma\exp(-\beta H)},
  67 \qquad \beta=\frac{1}{k_{\text{B}}T}
  68 \]
  69 in which $d\Gamma=\Pi_{\bf R} d{\bf u}({\bf R})d{\bf P}({\bf R})$
  70 is the volume elemnt in crystal phase space.
  71 ${\bf u}({\bf R})$ and ${\bf P}({\bf R})$  are the 3N canonical coordinates
  72 (here: deviations from equlibrium sites)
  73 and 3N canonical momenta
  74 of the ions whose equlibrium sites are ${\bf R}$.
  75 \begin{enumerate}
  76  \item Show that the energy density can be rewritten to read:
  77        \[
  78    w=-\frac{1}{V}\frac{\partial}{\partial \beta} ln \int d\Gamma \exp(-\beta H).
  79        \]
  80  \item Show that the potential contribution to the energy
  81        in the harmonic approximation is given by
  82        \begin{eqnarray}
  83        U&=&U_{\text{eq}}+U_{\text{harm}} \nonumber \\
  84        U_{\text{eq}}&=&\frac{1}{2}\sum_{{\bf R R'}} \Phi({\bf R}-{\bf R'})
  85        \nonumber \\
  86        U_{\text{harm}}&=&\frac{1}{4}\sum_{\stackrel{{\bf R R'}}{\mu,v=x,y,z}}
  87        [u_{\mu}({\bf R})-u_{\mu}({\bf R'})]\Phi_{\mu v}({\bf R}-{\bf R'})
  88        [u_v({\bf R})-u_v({\bf R'})] \nonumber
  89        \end{eqnarray}
  90        in which
  91 $\Phi_{\mu v}({\bf r})=
  92  \frac{\partial^2 \Phi({\bf r})}{\partial r_{\mu}\partial r_v}$
  93        and $\Phi({\bf r})$ is the potential contribution of two atoms
  94        separated by ${\bf r}$.
  95        {\bf Hint:}
  96        Write down the potential energy for the instantaneous positions
  97        ${\bf r}({\bf R})$, with ${\bf u}({\bf R})={\bf r}({\bf R})-{\bf R}$.
  98        Apply Taylor approximation to $\Phi({\bf r}+{\bf a})$ with
  99        ${\bf r}={\bf R}-{\bf R'}$ and
 100        ${\bf a}={\bf u}({\bf R})-{\bf u}({\bf R'})$
 101        and only retain terms quadratic in $u$.
 102  \item Use the evaluated potential to calculate the energy density
 103        (do not forget the kinetic energy contribution) and
 104        the specific heat $c_{\text{V}}$.
 105        {\bf Hint:}
 106        Use the following change of variables
 107        \[
 108        {\bf u}({\bf R})=\beta^{-1/2}\bar{{\bf u}}({\bf R}), \qquad
 109        {\bf P}({\bf R})=\beta^{-1/2}\bar{{\bf P}}({\bf R})
 110        \]
 111        to extract the temperature dependence of the integral.
 112        Does this also work for anharmonic terms?
 113        Which parts of the integral do not contribute to $w$ and why?
 114 \end{enumerate}
 115
 116 \section{Specific heat in the quantum theory of the harmonic crystal -\\
 117          The Debye model}
 118
 119 As found in exercise 1, the specific heat of a classical harmonic crystal
 120 is not depending on temeprature.
 121 However, as temperature drops below room temperature
 122 the specific heat of all solids is decreasing as $T^3$ in insulators
 123 and $AT+BT^3$ in metals.
 124 This can be explained in a quantum theory of the specific heat of
 125 a harmonic crystal, in which the energy density $w$ is given by
 126 \[
 127 w=\frac{1}{V}\frac{\sum_i E_i \exp(-\beta E_i)}{\sum_i \exp(-\beta E_i)}.
 128 \]
 129 \begin{enumerate}
 130  \item Show that the energy density can be rewritten to read:
 131        \[
 132    w=-\frac{1}{V}\frac{\partial}{\partial \beta} ln \sum_i \exp(-\beta E_i).
 133        \]
 134  \item Evaluate the expression of the energy density.
 135        {\bf Hint:}
 136        The energy levels of a harmonic crystal of N ions
 137        can be regarded as 3N independent oscillators,
 138        whose frequencies are those of the 3N classical normal modes.
 139        The contribution to the total energy of a particular normal mode
 140        with angular frequency $\omega_s({\bf k})$
 141        ($s$: branch, ${\bf k}$: wave vector) is given by
 142        $(n_{{\bf k}s} + \frac{1}{2})\hbar\omega_s({\bf k})$ with the
 143        excitation number $n_{{\bf k}s}$ being restricted to integers greater
 144        or equal zero.
 145        The total energy is given by the sum over the energies of the individual
 146        normal modes.
 147        Use the totals formula of the geometric series to expcitly calculate
 148        the sum of the exponential functions.
 149  \item Separate the above result into a term vanishing as $T$ goes to zero and
 150        a second term giving the energy of the zero-point vibrations of the
 151        normal modes.
 152  \item Write down an expression for the specific heat.
 153        Consider a large crystal and thus replace the sum over the discrete
 154        wave vectors with an integral.
 155  \item Debye replaced all branches of the vibrational spectrum with three
 156        branches, each of them obeying the dispersion relation
 157        $w=ck$.
 158        Additionally the integral is cut-off at a radius $k_{\text{D}}$
 159        to have a total amount of N allowed wave vectors.
 160        Determine $k_{\text{D}}$.
 161        Evaluate the simplified integral and introduce the
 162        Debye frequency $\omega_{\text{D}}=k_{\text{D}}c$
 163        and the Debye temperature $\Theta_{\text{D}}$ which is given by
 164        $k_{\text{B}}\Theta_{\text{D}}=\hbar\omega_{\text{D}}$.
 165        Write down the resulting expression for the specific heat.
 166 \end{enumerate}
 167
 168 \end{document}