solid_state_physics/tutorial/2_04.tex

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  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27 \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
  28 \renewcommand{\labelenumiii}{\roman{enumiii})}
  29
  30 \begin{document}
  31
  32 % header
  33 \begin{center}
  34  {\LARGE {\bf Materials Physics II}\\}
  35  \vspace{8pt}
  36  Prof. B. Stritzker\\
  37  SS 2008\\
  38  \vspace{8pt}
  39  {\Large\bf Tutorial 4}
  40 \end{center}
  41
  42 \vspace{4pt}
  43
  44 \section{Legendre transformation and Maxwell relations}
  45
  46 \begin{enumerate}
  47  \item Consider the total differential
  48        \[
  49        df= \sum_{i=1}^{n} u_i dx_i
  50        \]
  51        with the state function $f=f(x_1,\ldots,x_n)$ and its partial derivatives
  52        $u_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}$.
  53        Rewrite the total differential of the function $g$ defined as
  54        \[
  55        g=f-\sum_{i=r+1}^{n} u_i x_i
  56        \]
  57        in such a way that $g$ is immediately identified to be a function of
  58        the variables $x_1,\ldots,x_r$ and $u_{r+1},\ldots,u_n$,
  59        where $u_i$ is called the conjugate variable of $x_i$.
  60        This transformation is called Legendre transformation.
  61  \item By taking the derivatives of transformed thermodynamic potentials
  62        with respect to the variables they depend on,
  63        relations between intensive and extensive variables can be gained.
  64
  65        Start with the internal energy $E=E(S,V)$.
  66        Write down the total differential using the equalities
  67        $T=\left.\frac{\partial E}{\partial S}\right|_V$ and
  68        $-p=\left.\frac{\partial E}{\partial V}\right|_S$.
  69        Apply Legendre transformation to the following potentials
  70        \begin{itemize}
  71         \item $H=E+pV$ (Enthalpy)
  72         \item $F=E-TS$ (Helmholtz free energy)
  73         \item $G=H-TS=E+pV-TS$ (Gibbs free energy)
  74        \end{itemize}
  75        and find more relations by taking the appropriate derivatives.
  76  \item For a thermodynamic potential $\Phi(X,Y)$ the following identity
  77        expressing the permutability of derivatives holds:
  78        \[
  79        \frac{\partial^2 \Phi}{\partial X \partial Y} =
  80        \frac{\partial^2 \Phi}{\partial Y \partial X}
  81        \]
  82        Derive the Maxwell relations by taking the mixed derivatives of the
  83        potentials in (b) with respect to the variables they depend on.
  84        Exchange the sequence of derivation and use the identities gained in (b).
  85 \end{enumerate}
  86
  87 \section{Thermal expansion of solids}
  88
  89 It is well known that solids change their length $L$ and volume $V$ respectively
  90 if there is a change in temperature $T$ or in pressure $p$ of the system.
  91 The following exercise shows that
  92 thermal expansion cannot be described by rigorously harmonic crystals.
  93
  94 \begin{enumerate}
  95  \item The coefficient of thermal expansion of a solid is given by
  96        $\alpha_L=\frac{1}{L}\left.\frac{\partial L}{\partial T}\right|_p$.
  97        Show that the coefficient of thermal expansion of the volume
  98        $\alpha_V=\frac{1}{V}\left.\frac{\partial V}{\partial T}\right|_p$
  99        equals $3\alpha_L$ for isotropic materials.
 100  \item Find an expression for the pressure as a function of the free energy
 101        $F=E-TS$.
 102        Rewrite this equation to express the pressure entirely in terms of
 103        the internal energy $E$.
 104        Evaluate the pressure by using the harmonic form of the internal energy.
 105        {\bf Hint:}
 106        Step 2 introduced an integral over the temperature $T'$.
 107        Change the integration variable $T'$ to $x=\hbar\omega_s({\bf k})/T'$.
 108        Use integration by parts with respect to $x$.
 109  \item The normal mode frequencies of a rigorously harmonic crystal
 110        are unaffected by a change in volume.
 111        What does this imply for the pressure
 112        (Which variables does the pressure depend on)?
 113        Draw conclusions for the coefficient of thermal expansion.
 114  \item Find an expression for $C_p-C_V$ in terms of temperature $T$,
 115        volume $V$, the coefficient of thermal expansion $\alpha_V$ and
 116        the inverse bulk modulus (isothermal compressibility)
 117        $\frac{1}{B}=-\frac{1}{V}\left.\frac{\partial V}{\partial p}\right|_T$.\\
 118        $C_p=\left.\frac{\partial H}{\partial T}\right|_p$ is the heat capacity
 119        for constant pressure and
 120        $C_V=\left.\frac{\partial E}{\partial T}\right|_V$ is the heat capacity
 121        for constant volume.
 122 \end{enumerate}
 123
 124 \end{document}