% \end{picture}
% \\
-\includegraphics[width=12cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.eps}
+\includegraphics[width=12cm,clip,draft=no]{meanfield_mag}
Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie).
\displaystyle & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
\end{array}
\]
-Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende kann obere Vereinfachung vorgenommen werden. $\mathbf{T}$ ist diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
+Wegen der Vollst"andigkeit der Spinzust"ande kann obere Vereinfachung vorgenommen werden. Die Spur ist Darstellungsunabh"angig. $\mathbf{T}$ ist in ihrer Eigenbasis diagonal. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erh"alt man folgende Eigenwerte:
\[
\lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
\]
Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
\[
\begin{array}{ll}
- \displaystyle M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
- \displaystyle & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
- \displaystyle & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
+ \displaystyle M & \displaystyle = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
+ \displaystyle & \displaystyle = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
+ \displaystyle & \displaystyle \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
\displaystyle & \displaystyle = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
\end{array}
\[
\begin{array}{l}
\displaystyle <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\[2mm]
- \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
+ \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{, Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
\displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
\end{array}
\]