Monte-Carlo-Simulationen sind numerische Computer-Experimente zur Untersuchung von interessierenden Sachverhalten.
Gegen"uber anderen Rechenmethoden basieren diese Computer-Experiemnte auf stochastischen Modellen.
- Der Zufall mikroskopischer Ereignisse ist wesentlich, wie im realen Experiment.
+ Die Zuf"allgkeit mikroskopischer Ereignisse spielt, wie im realen System des Experimentes, die wesentlich Rolle.
Der Rechner wird zum virtuellen Labor, in dem ein bestimmtest System untersucht wird.
Eine solche Computer-Simulation kann als numerisches Experiment betrachtet werden.
Makroskopische, observable Gr"ossen sind, wie im Experiment, von statistischen Fluktuationen beeinflusst.
Die Reproduzierbarkeit von Ergebnissen hat demnach statistischen Charakter.
- Der Vorteil der Monte-Carlo-Methode ist die relatv einfache Erzielung von Ergebnissen f"ur Problemstellungen, die ohne N"aherungen analytisch nicht l"osbar oder sehr aufwendig sind.
+ Der Vorteil der Monte-Carlo-Methode ist die relativ einfache Erzielung von Ergebnissen f"ur Problemstellungen, die ohne N"aherungen analytisch nicht l"osbar oder sehr aufwendig sind.
Ein Beispiel hierf"ur ist das Ising Modell in drei Dimensionen, f"ur das bis jetzt keine analytische L"osung gefunden wurde.
Die Idee besteht darin, f"ur die Berechnung der Zustandssumme
\begin{equation}
Die Monte-Carlo-Simulation ben"otigt Zufallszahlen, welche auf physikalische Gr"o"sen abgebildet werden.
Erstaunlicherweise funktioniert diese Art der Simulation auch mit, vom Computer erzeugten, deterministischen Pseudozufallszahlen.
- Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Stand-ard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
+ Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
\subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
- Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3, \ldots$ aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
+ Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode \cite{knuth,nr}, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3, \ldots$ aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
Dabei gilt folgende Vorschrift:
\begin{equation} \label{eq:kon_m}
I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
- \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$}
+ \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$.}
\label{img:rej_meth}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
- \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem}
+ \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem.}
\label{img:scatter_lc}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
- \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem}
+ \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem.}
\label{img:scatter_cm}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
- \caption{Zusammenhang der Geschwindigkeit des Targetatoms nach dem Sto"s im Schwerpunktsystem (blau) und im Laborsystem (rot)}
+ \caption{Zusammenhang der Geschwindigkeit des Targetatoms nach dem Sto"s im Schwerpunktsystem und im Laborsystem.}
\label{img:angle_conv}
\end{center}
\end{figure}
$\Theta$ ist eine Funktion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
Die Funktion $p(\Theta)$ wiederrum ist differenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
\begin{equation}
- d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} \lvert \frac{dp}{d \Theta} \rvert d \Omega
+ d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} \left| \frac{dp}{d \Theta} \right| d \Omega
\end{equation}
Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Integration aller m"oglicher Energie"ubertr"age $T(\Theta)$, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit f"ur eine Streuung unter dem Winkel $\Theta$, berechnet werden.
\end{equation}
Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beinhaltet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und des Targetatoms.
Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in der Abh"angigkeit der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, ber"ucksichtigt werden.
- In \cite{ziegler_biersack_littmark} wird eine Theorie vorgestellt, die auch die Oszillationen erkl"art.
+ In \cite{ziegler_biersack_littmark} wird die ZBL-Theorie vorgestellt, die auch die Oszillationen erkl"art.
Dabei werden alle Bremskr"afte auf experimentell genau bekannte Wasserstoff-Bremskr"afte f"ur jedes Element zur"uckgef"uhrt.
Die Wasserstoff-Bremskr"afte werden mittels der Brandt-Kitagawa-Theorie f"ur schwere Ionen im gleichen Target skaliert.
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