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index d76548d6022459181cd640be4be708d6f5611b47..cc09080d6949155ef0dcc574dbc2e0d58da103ad 100644 (file)
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@@ -18,7 +18,7 @@
     Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
     Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m, I_0$ ab.
     Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
-    Nach Park und Miller \cite{park_miller} erf"ullt man mit
+    Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
     \begin{equation} \label{eq:kon_v}
     a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
     \end{equation}
@@ -226,7 +226,8 @@
       \label{eq:delta_e_max}
       \end{equation}
      
-      Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt. Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag berechnet werden.
+      Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
+      Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag berechnet werden.
       Mit der Annahme, dass Kr"afte zwischen den Teilchen nur entlang ihrer Verbindungsachse wirken und der Gesamtimpuls des Systems Null ist, verlaufen die zwei Teilchenbahnen symmetrisch zueinander. Daher reicht die Bestimmung einer einzelnen Teilchenbahn.
       Das Zweik"orperproblem kann so auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
       Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange Gleichung gel"ost werden.
@@ -236,27 +237,32 @@
       Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung
       \begin{equation}
       \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
+      \label{eq:ang_mom_exp}
       \end{equation}
       F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
       \begin{equation}
       l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
       \label{eq:ang_mom_val}
       \end{equation}
+      L"ost man die Gleichung f"ur die Energie $E$ des Systems
       \begin{equation}
-      E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r) \quad \textrm{.}
+      E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r)
       \end{equation}
+      nach $\stackrel{.}{r}$ auf,
       \begin{equation}
       \stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
       \end{equation}
+      und diese Gleichung wiederrum nach $dt$,
       \begin{equation}
       dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
       \end{equation}
+      kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens darstellen.
       \begin{equation}
       \frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
       \end{equation}
       Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
       \begin{equation}
-      \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}} \frac{1}{r^2}
+      \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
       \label{eq:theta_of_p}
       \end{equation}
       Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden.

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@@ -2,4 +2,5 @@
 \begin{thebibliography}{99}
   \bibitem{herstellung_sic_schicht} J.K.N. Lindner, K. Volz, U. Preckwinkel, B. G"otz, A. Frohnwieser, B. Rauschenbach, B. Stritzker. Mat. Chem. and Phys. 46 (1996) 147.
   \bibitem{chef_habil} J.K.N. Lindner. Habilitationsschrift, Universit"at Augsburg, 1999.
+  \bibitem{park_miller_zufall} S. K. Park, K. W. Miller. Communications of the ACM 31 (1988) 1192-1201
 \end{thebibliography}