\chapter{Modell}
+\label{chapter:modell}
\section{Implantationsbedingungen f"ur nanometrische Ausscheidungen}
Es verbleiben laterale Druckspannungen parallel zur Oberfl"ache.
Diese beg"unstigen Amorphisierung in der Nachbarschaft der Ausscheidung, da im Falle einer Sto"skaskade die versetzten Atome auf Grund der vorhandenen Spannungen nur erschwert auf ihre regul"aren Gitterpl"atze zur"uckkehren k"onnen.
Im Gegensatz dazu wird $a-Si$ in einer kristallinen Nachbarschaft unter den gegebenen Bedingungen sehr wahrscheinlich rekristallisieren.
+ Dieser Amorphisierungsbeitrag wird im Folgenden als spannungsinduzierte Amorphisierung bezeichnet.
Zus"atzlich dienen die amorphen Gebiete als Senke f"ur Kohlenstoff, der von der kristallinen Umgebung in die amorphe Ausscheidung diffundieren kann.
Die kristallinen Gebiete reduzieren damit die "Ubers"attigung mit Kohlenstoff, dessen L"oslichkeit in $c-Si$ bei Raumtemperatur nahezu Null ist.
Die amorphen Gebiete reichern sich mit Kohlenstoff an und erh"ohen wiederum die lateralen Spannungen auf die Umgebung.
Mit zunehmender Dosis bilden sich so durchgehende kohlenstoffreiche amorphe Lamellen.
-
+ Wegen der Diffusion von Kohlenstoff von den oberhalb und unterhalb dieser Lamellen liegenden Gebieten, rekristallisiert dort zuf"allig amorphisiertes (im Folgenden ballistische Amorphisierung genannt) $a-Si$ mit sehr gro"ser Wahrscheinlichkeit.
+ So entstehen abwechselnd amorphe und kristalline Lamellen.
+
\chapter{Simulation}
+ Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
+ Ziel der Simulation ist die Verifizierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse die in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
+ Die genauen Daten sind:
+ \begin{itemize}
+ \item Energie: $E=180 keV$
+ \item Dosis: $D = 4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$
+ \item Temperatur: $T = 150 ^{\circ} \mathrm{C}$
+ \item Imlantationswinkel: $\alpha = 7 ^{\circ}$
+ \item Ion/Target Kombination: $C^+ \rightarrow Si (100)$
+ \end{itemize}
+ Anzumerken ist, dass es zwei Versionen der Simulation gibt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
+ Diese unterscheiden sich in einigen Punkten, was den Simualtionsalgorithmus betrifft.
+ Darauf wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
+ Der Simulationsalgorithmus wird erkl"art und die dazu ben"otigten Annahmen und Informationen aus {\em TRIM} Ergebnissen werden besprochen.
+ Das Kapitel schliesst mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen und dem Ablaufschema der Simulation.
+
\section{Annahmen der Simulation}
+ \subsection{Unterteilung des Targets}
+
+ Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
+ \begin{figure}[h]
+ \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps}
+ \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohelnstoffkonzentration}
+ \label{img:sim_gitter}
+ \end{figure}
+ Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung sind frei einstellbar.
+ Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
+ Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot) oder ist kristallin (blau).
+ Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
+
\subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
+ Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
+ Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Aamorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die
+ \begin{itemize}
+ \item \textcolor[rgb]{0,1,1}{ballistische}
+ \item \textcolor{red}{kohlenstoffinduzierte}
+ \item \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{spannungsinduzierte}
+ \end{itemize}
+ Amorphisierung zusammen.
+ Sie wird wie folgt berechnet:
+ \begin{equation}
+ p_{c \rightarrow a}(\vec r) = \textcolor[rgb]{0,1,1}{p_{b}} + \textcolor{red}{p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r)} + \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{\sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}}
+ \label{eq:p_ca_local}
+ \end{equation}
+
+ Die ballistische Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
+ Sie ist unabh"angig vom Ort und somit ein konstanter Beitrag f"ur jedes Volumen.
+ Sie hat keine Einheit.
+ Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
+
+ Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_{Kohlenstoff}$ angenommen.
+ $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskosntante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
+
+ Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene, da nur diese Spannungen aus"uben, zusammen.
+ Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens $\vec{r'}$ auf das Volumen $\vec{r}$ wieder proprtional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
+ Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in dem Volumen, das auf Grund der Dichtereduktion in dem amoprhen Gebiet vorhanden ist, desto groesser die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
+ Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck (Druck = Kraft pro Fl"ache) quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
+ $p_s$ ist wieder Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
+
+ Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit $p_{a \rightarrow c}$ amorpher Gebiete wird zun"achst vereinfacht als
+ \begin{equation}
+
+ \end{equation}
+ angenommen.
+
\subsection{Diffusion}
\subsection{Sputtern}
\subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
\subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
-
- \section{Simulierte Tiefenbereiche}
+ \label{subsection:parse_trim_coll}
\section{Simulationsalgorithmus}
\subsection{Diffusion und Sputtern}
+ \section{Simulierte Tiefenbereiche}
+
+ \section{Test der Zufallszahlen}
+
\section{Ablaufschema}
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