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[lectures/latex.git] / ising / ising.tex

diff --git a/ising/ising.tex b/ising/ising.tex
index 87bb894..0fb2c6e 100644 (file)
--- a/ising/ising.tex
+++ b/ising/ising.tex
@@ -217,7 +217,7 @@ Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben:
  \displaystyle  & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
  \end{array}
 \]
-Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende kann obere Vereinfachung vorgenommen werden. $\mathbf{T}$ ist diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
+Wegen der Vollst"andigkeit der Spinzust"ande kann obere Vereinfachung vorgenommen werden. Die Spur ist Darstellungsunabh"angig. $\mathbf{T}$ ist in ihrer Eigenbasis diagonal. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erh"alt man folgende Eigenwerte:
 \[
  \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
 \]
@@ -237,9 +237,9 @@ Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groess
 Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
 \[
  \begin{array}{ll}
-  \displaystyle M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
-  \displaystyle & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
-  \displaystyle & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
+  \displaystyle M & \displaystyle = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
+  \displaystyle & \displaystyle = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
+  \displaystyle & \displaystyle \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
   \displaystyle & \displaystyle = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
   
  \end{array}
@@ -341,7 +341,7 @@ Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
 \[
 \begin{array}{l}
  \displaystyle <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\[2mm]
- \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
+ \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{, Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
  \displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
 \end{array}
 \]