+
+\section{1-dimensionale L"osung}
+\setlength{\unitlength}{1.5cm}
+\begin{picture}(10,1)
+ \thicklines
+ \put(0,0.45){$\bullet$}
+ \put(0,0){$1$}
+ \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
+ \put(2,0.45){$\bullet$}
+ \put(2,0){$2$}
+ \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
+ \put(4,0.45){$\bullet$}
+ \put(4,0){$3$}
+ \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
+ \put(6,0.45){$\bullet$}
+ \put(6,0){$N$}
+\end{picture} \\
+\\
+Die Hamilton-Funktion in einer Dimension lautet:
+\[
+ H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
+\]
+Annahme: periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$ \, (Translationsinvarianz), $J_{i,i+1} \equiv J$ \\
+Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
+\\
+Die Energie des Systems ist nun gegebn durch:
+\[
+ E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
+\]
+Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an einem Gitterplatz:
+\[
+ M = <S_1>
+\]
+Es gibt $2^N$ moegliche Spinzustaende. Die Zustandssumme lautet:
+\[
+ Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
+\]
+Die Zustandssumme wird mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode berechnet: \\
+\\
+Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
+\[
+\begin{array}{l}
+ <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
+ \\
+ \textrm{also:} \\
+ <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\
+ <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\
+ <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\
+ \\
+ wobei: \\
+ \begin{array}{ll}
+ |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,} &
+ |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
+ \end{array}
+\end{array}
+\]
+Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
+\[
+ \mathbf{T} =
+ \left(
+ \begin{array}{cc}
+ e^{K+h} & e^{-K} \\
+ e^{-K} & e^{K-h}
+ \end{array}
+ \right)
+ \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
+\]
+Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben:
+\[
+ \begin{array}{ll}
+ Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\
+ & = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\
+ & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
+ \end{array}
+\]
+Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende ist $\mathbf{T}$ diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
+\[
+ \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
+\]
+Daraus folgt:
+\[
+ \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
+\]
+Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
+\[
+ \begin{array}{l}
+ \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\
+ Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\
+ F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
+ \end{array}
+\]
+Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\
+Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
+\[
+ \begin{array}{ll}
+ M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\
+ & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\
+ & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\
+ & = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
+
+ \end{array}
+\]
+Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie.
+\\
+\setlength{\unitlength}{2cm}
+\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
+ \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
+ \put(2.7,-0.1){$B_0$}
+ \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
+ \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+ \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+ \put(0.2,1.4){$M$}
+ \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
+ \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
+\end{picture}
+\\
+Erkenntnis:\\
+\begin{itemize}
+\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
+\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
+\end{itemize}
+F"ur $T=0$ kann obere Approximation nichtmehr verwendet werden, da gilt:
+\[
+ \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1
+\]
+Mann kann zeigen, da"s bei $B_0=T=0$ ein Phasen"ubergagng liegt (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich), und eine spontane Magnetisierung existiert. Kritische Exponenten:
+\[
+ \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
+\]
+
+\section{2-dimensionale L"osung}
+W"ahrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu l"osen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale h"ochst nichttrivial. Es wird auf eine genau L"osung verzichtet. Tats"achlich ist das einzige Problem die Diagonalisierung einer $2^N \times 2^N$ - Matrix (wieder Transfer-Matrix-Methode). Eine L"osung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
+\\
+Hamiltonian:
+\[
+ H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
+\]
+Dabei geben die Indizes der Spins deren Punkt im Gitter an. Dies schreiben wir k"urzer
+\[
+ H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
+\]
+wobei
+\[
+\begin{array}{ll}
+ E(\mu_j,\mu_k) & \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\
+ E(\mu_j) & \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\
+ \mu_j & \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
+\end{array}
+\]
+Damit bestimmen wir analog zum eindimensionalen Fall eine Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
+\[
+ <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
+\]
+Dies ist eine $2^N \times 2^N$ - Matrix, die es wie erw"ahnt zu diagonalisieren gilt. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
+\[
+ Z = \textrm{Sp} \, mathbf{T}^N
+\]
+Diesen Schritt kann man sich zum Beispiel in [\ref{lit7}] genauer anschauen. Im Folgenden Werden nur die Endresultate betrachtet.\\
+\\
+F"ur die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ erh"alt man
+\[
+ f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
+\]
+mit $K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$, und demnach f"ur die Magnetisierung:
+\[
+ m = \left\{
+ \begin{array}{ll}
+ (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
+ 0 & : T > T_C
+ \end{array} \right.
+\]
+F"ur den kritischen Exponenten $\beta$ gilt also $\beta = \frac{1}{8}$. Als Bedingung f"ur die kritische Temperatur erh"alt man:
+\[
+ 2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
+\]
+In der N"ahe von $T=T_C$ erkennt man eine logarithmische Divergenz der spezifischen W"arme.
+\[
+C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big) + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
+\]
+Damit ist der kritische Exponent $\alpha = 0$.\\
+\\
+Fazit:
+\begin{itemize}
+\item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung
+\item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
+\end{itemize}
+