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\graphicspath{{./img/}}
\tableofcontents
\mainmatter
-\chapter{Einfuehrung}
+\chapter{EinfΓΌhrung}
-\section{Zustandssumme und benoetigte Groessen}
-Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle moeglichen Zustaende (Mikrozustaende).
+\section{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
+Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle m"oglichen Mikrozust"ande.
\[
Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \, e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
\]
-Sie ist eine fundamentale Groesse in der statistischen Physik. Von ihr koennen viele wichtige Groessen abgeleitet werden.
-\[
-\begin{array}{l}
- \textrm{Wahrscheinlichkeit fuer Zustand} \, i \quad P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta} \\
- \textrm{freie Energie} \quad F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z \\
- \textrm{Magnetisierung} \quad M = - \frac{\partial F}{\partial B} \\
- \textrm{magnetische Suszeptibilitaet} \quad \chi = - \frac{\partial M}{\partial H}
-\end{array}
-\]
+Sie ist eine fundamentale Gr"o"se in der statistischen Physik. Von ihr k"onnen viele wichtige Gr"o"sen abgeleitet werden.
+\begin{itemize}
+\item Wahrscheinlichkeit fuer Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
+\item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$
+\item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
+\item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
+\item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
+\end{itemize}
-\section{Phasenuebergaenge}
-Die Phase ist eine moegliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen aeussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
+\section{Phasen"uberg"ange}
+Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "aussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
\begin{itemize}
\item Dichte
\item Magnetisierung
-\item elektrische Leitfaehigkeit
+\item elektrische Leitf"ahigkeit
\end{itemize}
-Mit einem Phasenuebergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase aendert. Man unterscheidet Uebrgaenge erster Ordnung (diskontinuierlich) und Uebergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
+Mit einem Phasen"ubergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase "andert. Man unterscheidet "Ubrg"ange erster Ordnung (diskontinuierlich) und "Ubergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
\begin{itemize}
\item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
-\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilitaet)
+\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
\end{itemize}
+\section{Kritische Exponenten}
+In der N"ahe eines Phasen"ubergangs beobachtet man das gewisse physikalische Gr"oe"sen Potenzgesetzen gehorchen. Diese Exponenten beschreiben wie die physikalischen Gr"o"sen nahe $T_C$ divergieren.
+\begin{itemize}
+\item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
+\item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
+\item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^\gamma$
+\end{itemize}
+Anmerkung:\\
+Kritische Exponenten sind zu einem hohen Grad universell, d.h. sie h"angen nur von fundamentalen Parametern wie Dimension, Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung und Spindimensionalit"at ab, und nicht vom Modell selbst. Damit lassen sich Universalit"atsklassen definieren.
+
\section{Idee des Ising Modells}
Modellannahmen:
\begin{itemize}
\item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
\end{itemize}
Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen (Divergenz von $\chi$).
+\\
+\\
+Molekularfeldn"aherung:\\
+Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>)$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben:
+\[
+ S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
+\]
+wobei $m=\frac{1}{N}(sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian,
+\[
+ H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
+\]
+und Zustandssumme:
+\[
+\begin{array}{ll}
+ Z & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
+ & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
+ & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
+\end{array}
+\]
+Damit erhalten wir f"ur die freie Energie und Magnetisierung pro Spin folgendes:
+\[
+\begin{array}{l}
+ g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
+ m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
+\end{array}
+\]
+Legt man nun kein magnetisches Feld $B_0$ an, so hat man eine implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung
+\[
+ \tanh (\beta Jm) = m
+\]
+die grafisch diskutiert werden kann. Man findet L"osungen $m \neq 0$ wenn die Anfangssteigung der linken Seite der Gleichung gr"o"ser $1$ ist. F"ur die kritische Temperatur gilt somit $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$.
+\\
+\setlength{\unitlength}{2cm}
+\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
+ \put(0,0){\line(1,1){1}}
+ \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
+ \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
+ \put(2.7,-0.1){$m$}
+ \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
+ \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+ \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+ \put(0.2,1.4){$f(m)$}
+ \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
+ \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
+\end{picture}
+\\
+Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie).
\chapter{Loesungen des Ising Modells}
-\section{1-dimensionale Loesung}
-\setlength{\unitlength}{0.5cm}
-\begin{picture}(10,2)
+\section{1-dimensionale L"osung}
+\setlength{\unitlength}{1.5cm}
+\begin{picture}(10,1)
\thicklines
- \put(0,0.7){$\bullet$}
+ \put(0,0.45){$\bullet$}
\put(0,0){$1$}
- \put(0.1,0.9){\line(1,0){2}}
- \put(2,0.7){$\bullet$}
+ \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
+ \put(2,0.45){$\bullet$}
\put(2,0){$2$}
- \put(2.1,0.9){\line(1,0){2}}
- \put(4,0.7){$\bullet$}
+ \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
+ \put(4,0.45){$\bullet$}
\put(4,0){$3$}
- \put(4.1,0.8){\ldots \ldots}
- \put(6,0.7){$\bullet$}
+ \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
+ \put(6,0.45){$\bullet$}
\put(6,0){$N$}
\end{picture} \\
\\
\begin{array}{l}
\lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\
Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\
- F = -k_B T \, \textrm{ln} \. Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
+ F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
\end{array}
\]
Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\
Erkenntnis:\\
\begin{itemize}
\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
-\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell
+\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
\end{itemize}
+F"ur $T=0$ kann obere Approximation nichtmehr verwendet werden, da gilt:
+\[
+ \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1
+\]
+Mann kann zeigen, da"s bei $B_0=T=0$ ein Phasen"ubergagng liegt (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich), und eine spontane Magnetisierung existiert. Kritische Exponenten:
+\[
+ \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
+\]
-\section{2-dimensionale Loesung}
-Waehrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu loesen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale hoechst nichttrivial. Es wird auf eine genau Loesung verzichtet. Eine Loesung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
+\section{2-dimensionale L"osung}
+W"ahrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu l"osen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale h"ochst nichttrivial. Es wird auf eine genau L"osung verzichtet. Tats"achlich ist das einzige Problem die Diagonalisierung einer $2^N \times 2^N$ - Matrix (wieder Transfer-Matrix-Methode). Eine L"osung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
\\
-Hamiltonian und Zustandssumme:
+Hamiltonian:
\[
-\begin{array}{l}
- H = -J \sum_{(i,j)} S_i S_j \\
- Z = \sum_{\{S_i\}} e^{-\beta H} \qquad \textrm{Summation erfasst alle $2^N$ Spinkonfigurationen}
-\end{array}
+ H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
\]
-Weil die $S_i$ nur die Werte $+1$ oder $-1$ annehmen koennne folgt:
+Dabei geben die Indizes der Spins deren Punkt im Gitter an. Dies schreiben wir k"urzer
\[
- (S_i S_j)^{2n} = 1 \, \textrm{;} \qquad (S_i S_j)^{2n+1} = S_i S_j
+ H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
\]
-und damit koennen wir fuer die Exponentialfunktion schreiben:
+wobei
\[
- e^{\beta J S_i S_j} = \cosh (\beta J) + (S_i S_j) \sinh (\beta J) = \cosh (\beta J) (1 + \upsilon (S_i S_j)) \, \textrm{,} \qquad \upsilon = \tanh (\beta J)
+\begin{array}{ll}
+ E(\mu_j,\mu_k) & \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\
+ E(\mu_j) & \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\
+ \mu_j & \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
+\end{array}
\]
-Weil jeder Ising Spin $4$ naechste Nachbarn hat, gibt es $\frac{4 N}{2} = 2N$ verschiedene Nachbarpaare. Damit erhaelt man fuer die Zustandssumme:
+Damit bestimmen wir analog zum eindimensionalen Fall eine Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
\[
- Z = \sum_{\{S_i\}} \prod_{(i,j)} e^{\beta J S_i S_j}
+ <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
\]
-Durch hier nicht weiter ausgefuehrte grafische Ueberlegungen zu den Spinprodukten und einer laenglichen Rechnung [\ref{lit1}] folgt:
+Dies ist eine $2^N \times 2^N$ - Matrix, die es wie erw"ahnt zu diagonalisieren gilt. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
\[
- Z = 2^N \cosh^{2N} (\beta J) \Big( \prod_{q_1,q_2} \big( (1 + \upsilon^2)^2 - 2 \upsilon (1 - \upsilon^2) (\cos q_1 + \cos q_2) \big) \Big)^{\frac{1}{2}}
+ Z = \textrm{Sp} \, mathbf{T}^N
\]
-Schaut man sich nun die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ an, so erhaelt man einen Ausdruck eines Logarithmus unter einem nicht weiter analytisch behandelbaren Doppelintegrals. Der Phasenuebergang findet findet statt, wenn das Argument des Logarithmus verschwindet. Man findet folgende Bedingung:
+Diesen Schritt kann man sich zum Beispiel in [\ref{lit7}] genauer anschauen. Im Folgenden Werden nur die Endresultate betrachtet.\\
+\\
+F"ur die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ erh"alt man
\[
- 1 \stackrel{!}{=} \sinh \frac{2 J}{k_B T_C} \, \qquad \textrm{$T_C$ ist kritische Temperatur}
+ f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
\]
-Fuer die spontane Magnetisierung gilt:
+mit $K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$, und demnach f"ur die Magnetisierung:
\[
- M = \left\{
+ m = \left\{
\begin{array}{ll}
(1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
0 & : T > T_C
\end{array} \right.
\]
+F"ur den kritischen Exponenten $\beta$ gilt also $\beta = \frac{1}{8}$. Als Bedingung f"ur die kritische Temperatur erh"alt man:
+\[
+ 2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
+\]
+In der N"ahe von $T=T_C$ erkennt man eine logarithmische Divergenz der spezifischen W"arme.
+\[
+C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big) + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
+\]
+Damit ist der kritische Exponent $\alpha = 0$.\\
+\\
Fazit:
\begin{itemize}
\item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung
\item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
\end{itemize}
-
\section{3-dimensionale Loesung}
Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch geloest werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten Loesung keine weiteren Informationen mehr.\\
\\
\item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
\item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
\item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
+\item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
\end{enumerate}
\end{document}
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