\tableofcontents
\mainmatter
-\chapter{EinfΓΌhrung}
+\chapter{Einf"uhrung}
\section{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
-Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle m"oglichen Mikrozust"ande.
+Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation "uber alle m"oglichen Mikrozust"ande.
\[
Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \, e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
\]
Sie ist eine fundamentale Gr"o"se in der statistischen Physik. Von ihr k"onnen viele wichtige Gr"o"sen abgeleitet werden.
\begin{itemize}
-\item Wahrscheinlichkeit fuer Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
+\item Wahrscheinlichkeit f"ur Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
\item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$
\item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
\item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
\end{itemize}
\section{Phasen"uberg"ange}
-Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "aussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
+Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "au"sern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
\begin{itemize}
-\item Dichte
-\item Magnetisierung
-\item elektrische Leitf"ahigkeit
+\item Dichte ($H_2O$)
+\item Magnetisierung (Nickel)
+\item elektrische Leitf"ahigkeit ($YBa_2Cu_2O_7$)
\end{itemize}
-Mit einem Phasen"ubergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase "andert. Man unterscheidet "Ubrg"ange erster Ordnung (diskontinuierlich) und "Ubergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
+Mit einem Phasen"ubergang verbunden ist ein kritischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase "andert. Man unterscheidet "Uberg"ange erster Ordnung (diskontinuierlich) und "Uberg"ange zweiter Ordnung (kontinuierlich).
\begin{itemize}
\item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
\begin{itemize}
\item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
\item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
-\item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^\gamma$
+\item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
\end{itemize}
Anmerkung:\\
-Kritische Exponenten sind zu einem hohen Grad universell, d.h. sie h"angen nur von fundamentalen Parametern wie Dimension, Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung und Spindimensionalit"at ab, und nicht vom Modell selbst. Damit lassen sich Universalit"atsklassen definieren.
+Kritische Exponenten sind zu einem hohen Grad universell, d.h. sie h"angen nur von fundamentalen Parametern wie Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung ab, nicht vom Modell selbst. Damit lassen sich Universalit"atsklassen definieren.
\section{Idee des Ising Modells}
+Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\
+\\
Modellannahmen:
\begin{itemize}
\item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
\]
\[
-(i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
+(i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
\]
Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
\begin{itemize}
\item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
\item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
\end{itemize}
-Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen (Divergenz von $\chi$).
-\\
+Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein.\\
\\
Molekularfeldn"aherung:\\
-Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>)$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben:
+Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben:
\[
S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
\]
-wobei $m=\frac{1}{N}(sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian,
+wobei $m=\frac{1}{N}(\sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian,
\[
H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
\]
\[
<A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
\]
-$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in einer Computersimulation. Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung biette der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
-\\
-Pseudocode:
+$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in der Computersimulation.
+\begin{itemize}
+ \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
+ \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s dir Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
+\end{itemize}
+Damit gilt:
+\[
+ P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
+\]
+und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
+Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
+\[
+ W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t)
+\]
+und somit gilt:
+\[
+ \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
+\]
+Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
+\[
+ W(A \rightarrow B) = \left\{
+ \begin{array}{ll}
+ e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
+ 1 & : \delta E < 0
+ \end{array} \right.
+\]
+Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
\begin{itemize}
\item Gehe alle Gitterplaetze durch
\item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
\chapter{Anwendungen}
\begin{itemize}
-\item Spingl"aser
+\item Spingl"aser [\ref{lit8}]
\begin{itemize}
\item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
\item Beobachtungen:
\item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
\end{itemize}
\end{itemize}
-\item Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis
+\item Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis [\ref{lit8}]
\begin{itemize}
\item Traveling Salesman Problem:
\begin{itemize}
\item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
\item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
\item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
+\item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis
\end{enumerate}
\end{document}
projects / lectures / latex.git / blobdiff