\end{itemize}
\section{Kritische Exponenten}
-In der N"ahe eines Phasen"ubergangs beobachtet man das gewisse physikalische Gr"oe"sen Potenzgesetzen gehorchen. Diese Exponenten beschreiben wie die physikalischen Gr"o"sen nahe $T_C$ divergieren.
+In der N"ahe eines Phasen"ubergangs beobachtet man das gewisse physikalische Gr"o"sen Potenzgesetzen gehorchen. Diese Exponenten beschreiben wie die physikalischen Gr"o"sen nahe $T_C$ divergieren.
\begin{itemize}
\item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
\item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
Modellannahmen:
\begin{itemize}
\item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
-\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
+\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellm"oglichkeiten an jedem Gitterpunkt
\[
\mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
\]
\end{itemize}
Dann lautet die Hamilton-Funktion:
\[
- H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
-\]
-\[
-(i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
+ H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \qquad (i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \quad \vec{B} = (0,0,B_0)
\]
+\newpage
Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
\begin{itemize}
\item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedriger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
% \end{picture}
% \\
-\includegraphics[width=12cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.eps}
+\includegraphics[width=12cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.tif}
Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie).
-\chapter{Loesungen des Ising Modells}
+\chapter{L"osungen des Ising Modells}
\section{L"osung f"ur $d=1$}
\setlength{\unitlength}{1.5cm}
\item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
\item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
\end{itemize}
-Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
+Abk"urzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
\\
Die Energie des Systems ist nun gegeben durch:
\[
\[
M = <S_1>
\]
-Es gibt $2^N$ moegliche Spinzustaende. Die Zustandssumme lautet:
+Es gibt $2^N$ m"ogliche Spinzust"ande. Die Zustandssumme lautet:
\[
Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
\]
\right)
\qquad \textrm{Transfer-Matrix}
\]
-Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben:
+Damit l"a"st sich die Zustandssumme neu schreiben:
\[
\begin{array}{ll}
\displaystyle Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
\displaystyle & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
\end{array}
\]
-Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende kann obere Vereinfachung vorgenommen werden. $\mathbf{T}$ ist diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
+Wegen der Vollst"andigkeit der Spinzust"ande kann obere Vereinfachung vorgenommen werden. Die Spur ist Darstellungsunabh"angig. $\mathbf{T}$ ist in ihrer Eigenbasis diagonal. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erh"alt man folgende Eigenwerte:
\[
\lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
\]
\[
\textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
\]
-Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
+F"ur den Fall $B_0 = 0$ gilt:
\[
\begin{array}{l}
\displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
\displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
\end{array}
\]
-Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\
-Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
+Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel gr"o"ser ist als $\lambda_-^N$. \\
+F"ur die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
\[
\begin{array}{ll}
- \displaystyle M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
- \displaystyle & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
- \displaystyle & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
+ \displaystyle M & \displaystyle = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
+ \displaystyle & \displaystyle = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
+ \displaystyle & \displaystyle \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
\displaystyle & \displaystyle = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
\end{array}
\]
-Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie.
+Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. F"ur sehr grosse Magnetfelder s"attigt sie.
\\
\setlength{\unitlength}{2cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\\
Erkenntnis:\\
\begin{itemize}
-\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
-\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
+\item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
+\item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
\end{itemize}
F"ur $T=0$ kann obere Approximation nicht mehr verwendet werden, da gilt:
\[
\lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1
\]
-Mann kann zeigen, da"s bei $B_0=T=0$ ein Phasen"ubergang liegt (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich), und eine spontane Magnetisierung existiert. Kritische Exponenten:
+Man kann zeigen, da"s bei $B_0=T=0$ ein Phasen"ubergang liegt (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich), und eine spontane Magnetisierung existiert. Kritische Exponenten:
\[
\alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
\]
\\
Fazit:
\begin{itemize}
-\item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung
+\item es existiert ein Phasen"ubergang zweiter Ordnung
\item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
\end{itemize}
\section{L"osung f"ur $d=3$}
-Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
+Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch "uberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
\\
-Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange.
+Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange.
\chapter{Monte Carlo Simulation}
Im Folgenden soll gezeigt werden wie man durch sogenannte Monte Carlo Simulationen das Ising Modell simuliert.\\
\[
\begin{array}{l}
\displaystyle <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\[2mm]
- \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
+ \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{, Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
\displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
\end{array}
\]
-Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht (importance sampling).
+Anstatt "uber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht (importance sampling).
\[
<A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
\]
\]
Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
\begin{itemize}
-\item Gehe alle Gitterplaetze durch
-\item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
+\item Gehe alle Gitterpl"atze durch
+\item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)
\item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
-\item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach genuegend vielen Iterationen ($N^3$))
+\item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$))
\end{itemize}
\chapter{Anwendungen}
\item Modell:
\begin{itemize}
\item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
- \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
+ \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zuf"allige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
\end{itemize}
\end{itemize}
\newpage
\begin{itemize}
\item Traveling Salesman Problem:
\begin{itemize}
- \item \dq Aufheizen \dq des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
- \item \dq Abk"uhlen \dq des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
+ \item \dq Aufheizen\dq{} des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
+ \item \dq Abk"uhlen\dq{} des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
\end{itemize}
\item Ged"achtnis:
\begin{itemize}
projects / lectures / latex.git / blobdiff