completed anwendungen

[lectures/latex.git] / ising / ising.tex

diff --git a/ising/ising.tex b/ising/ising.tex
index 3ba98fb..c875d9c 100644 (file)
--- a/ising/ising.tex
+++ b/ising/ising.tex
@@ -317,26 +317,81 @@ Fazit:
 \item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
 \end{itemize}
 
-\section{3-dimensionale Loesung}
-Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch geloest werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten Loesung keine weiteren Informationen mehr.\\
+\section{3-dimensionale L"osung}
+Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
 \\
-Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenuebergaenge.
+Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange.
 
-\chapter{Simulation}
-... noch in arbeit\\
+\chapter{Monte Carlo Simulation}
+Im Folgenden soll gezeigt werden wie man durch sogenannte Monte Carlo Simulationen das Ising Modell simuliert.\\
 \\
-xising zeigen, besser: dfb-ising coden!
+Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
+\[
+\begin{array}{l}
+ <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\
+ p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\
+ E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
+\end{array}
+\]
+Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht.
+\[
+ <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
+\]
+$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in einer Computersimulation. Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung biette der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
 \\
-grob: (pseudocode) [\ref{lit4}]\\
+Pseudocode:
 \begin{itemize}
-\item gehe alle gitterplaetze durch
-\item berechne $\delta E$ fuer Spinflip (naechste nachbarn anschauen)
-\item wenn kleiner 0 flip, ansonsten nur wenn zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
-\item Spins aufsummieren, entsprcht magnetisierung (nach genuegend vielen itterationen ($N^3$)
+\item Gehe alle Gitterplaetze durch
+\item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
+\item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
+\item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach genuegend vielen Itterationen ($N^3$))
 \end{itemize}
 
 \chapter{Anwendungen}
 \begin{itemize}
+\item Spingl"aser
+ \begin{itemize}
+ \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
+ \item Beobachtungen:
+  \begin{itemize}
+  \item keine spontane Magnetisierung
+  \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
+  \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, die sehr langsam relaxiert
+  \end{itemize}
+ \item Modell:
+  \begin{itemize}
+  \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
+  \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
+  \end{itemize}
+ \end{itemize}
+\item Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis
+ \begin{itemize}
+  \item Traveling Salesman Problem:
+   \begin{itemize}
+   \item "Aufheizen" des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
+   \item "Abk"uhlen des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
+   \end{itemize}
+  \item Ged"achtnis:
+  \begin{itemize}
+  \item Modell:
+   \[
+    \begin{array}{ll}
+     S_i  & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
+     S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
+     S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
+     J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
+     \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
+    \end{array}
+   \]
+  \item einige Eigenschaften
+   \begin{itemize}
+   \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
+   \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
+   \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
+   \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
+   \end{itemize}
+  \end{itemize}
+ \end{itemize}
 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
  \[
   \begin{array}{ll}