+\section{L"osung f"ur $d=2$}
+W"ahrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu l"osen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale h"ochst nichttrivial. Es wird auf eine genau L"osung verzichtet. Tats"achlich ist das einzige Problem die Diagonalisierung einer $2^N \times 2^N$ - Matrix (wieder Transfer-Matrix-Methode). Eine L"osung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
+\\
+Hamiltonian:
+\[
+ H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
+\]
+Dabei geben die Indizes der Spins deren Punkt im Gitter an. Dies schreiben wir k"urzer
+\[
+ H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
+\]
+wobei
+\[
+\begin{array}{ll}
+ \displaystyle E(\mu_j,\mu_k) & \displaystyle \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\[2mm]
+ \displaystyle E(\mu_j) & \displaystyle \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\[2mm]
+ \displaystyle \mu_j & \displaystyle \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
+\end{array}
+\]
+Damit bestimmen wir analog zum eindimensionalen Fall eine Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
+\[
+ <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(\mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
+\]
+Dies ist eine $2^N \times 2^N$ - Matrix, die es wie erw"ahnt zu diagonalisieren gilt. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
+\[
+ Z = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
+\]
+Diesen Schritt kann man sich zum Beispiel in [\ref{lit7}] genauer anschauen. Im Folgenden werden nur die Endresultate betrachtet.\\
+\\
+F"ur die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ erh"alt man
+\[
+ f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
+\]
+mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$, und demnach f"ur die Magnetisierung:
+\[
+ m = \left\{
+ \begin{array}{ll}
+ (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
+ 0 & : T > T_C
+ \end{array} \right.
+\]
+F"ur den kritischen Exponenten $\beta$ gilt also $\beta = \frac{1}{8}$. Als Bedingung f"ur die kritische Temperatur erh"alt man:
+\[
+ 2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
+\]
+In der N"ahe von $T=T_C$ erkennt man eine logarithmische Divergenz der spezifischen W"arme.
+\[
+C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big) + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
+\]
+Damit ist der kritische Exponent $\alpha = 0$.\\
+\\
+Fazit:
+\begin{itemize}
+\item es existiert ein Phasen"ubergang zweiter Ordnung
+\item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
+\end{itemize}
+
+\section{L"osung f"ur $d=3$}
+Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch "uberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
+\\
+Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange.
+
+\chapter{Monte Carlo Simulation}
+Im Folgenden soll gezeigt werden wie man durch sogenannte Monte Carlo Simulationen das Ising Modell simuliert.\\
+\\
+Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
+\[
+\begin{array}{l}
+ \displaystyle <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\[2mm]
+ \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{, Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
+ \displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
+\end{array}
+\]
+Anstatt "uber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht (importance sampling).
+\[
+ <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
+\]
+$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Iterationen in der Computersimulation.
+\begin{itemize}
+ \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
+ \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
+\end{itemize}
+Damit gilt:
+\[
+ P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
+\]
+und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
+Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
+\[
+ W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t) \qquad \textrm{(detailed balance)}
+\]
+und somit gilt:
+\[
+ \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
+\]
+Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
+\[
+ W(A \rightarrow B) = \left\{
+ \begin{array}{ll}
+ e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
+ 1 & : \delta E < 0
+ \end{array} \right.
+\]
+Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
+\begin{itemize}
+\item Gehe alle Gitterpl"atze durch
+\item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)
+\item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
+\item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$))
+\end{itemize}
+
+\chapter{Anwendungen}
+\begin{itemize}
+\item Spingl"aser [\ref{lit8}]
+ \begin{itemize}
+ \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
+ \item Beobachtungen:
+ \begin{itemize}
+ \item keine spontane Magnetisierung
+ \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
+ \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, die sehr langsam relaxiert
+ \end{itemize}
+ \item Modell:
+ \begin{itemize}
+ \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
+ \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zuf"allige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
+ \end{itemize}
+ \end{itemize}
+\newpage
+\item Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis [\ref{lit8}]
+ \begin{itemize}
+ \item Traveling Salesman Problem:
+ \begin{itemize}
+ \item \dq Aufheizen \dq des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
+ \item \dq Abk"uhlen \dq des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
+ \end{itemize}
+ \item Ged"achtnis:
+ \begin{itemize}
+ \item Modell:
+ \[
+ \begin{array}{ll}
+ S_i & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
+ S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
+ S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
+ J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
+ \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
+ \end{array}
+ \]
+ \item einige Eigenschaften
+ \begin{itemize}
+ \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
+ \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
+ \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
+ \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
+ \end{itemize}
+ \end{itemize}
+ \end{itemize}
+\item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
+ \[
+ \begin{array}{ll}
+ |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
+ |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
+ k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
+ m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
+ \end{array}
+ \]
+\item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
+ \[
+ \begin{array}{ll}
+ H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
+ \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
+ S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
+ \end{array}
+ \]
+\item weitere Anwendungen
+ \begin{itemize}
+ \item Quantum Game Theory
+ \item duopoly markets
+ \end{itemize}
+\end{itemize}