removed openstack, i didn't do much!

[lectures/latex.git] / ising / ising_slides.tex

diff --git a/ising/ising_slides.tex b/ising/ising_slides.tex
index 48c1cd7..29a7926 100644 (file)
--- a/ising/ising_slides.tex
+++ b/ising/ising_slides.tex
@@ -83,14 +83,14 @@ Phasen"ubergang verbunden mit kritischen Bereich einer Variablen
 
 \begin{slide}
 \slideheading{Kritische Exponenten}
 
 \begin{slide}
 \slideheading{Kritische Exponenten}

-Physikalische Gr"oe"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs
+Physikalische Gr"o"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs

 \begin{itemize}
 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
 \end{itemize}
 Anmerkung:\\
 \begin{itemize}
 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
 \end{itemize}
 Anmerkung:\\

-$\rightarrow$ Abhaengig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Universalit"atsklassen
+$\rightarrow$ Abh"angig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Universalit"atsklassen

 \end{slide}
 
 \begin{slide}
 \end{slide}
 
 \begin{slide}


@@ -99,7 +99,7 @@ Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\
 Modellannahmen: 
 \begin{itemize}
 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
 Modellannahmen: 
 \begin{itemize}
 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$

-\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
+\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellm"oglichkeiten an jedem Gitterpunkt

 \[
  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
 \]
 \[
  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
 \]


@@ -128,7 +128,10 @@ Molekularfeldn"aherung:\\
 Approximation: Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$\\
 Spin-Wechselwirkungs-Term:
 \[
 Approximation: Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$\\
 Spin-Wechselwirkungs-Term:
 \[

- S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
+\begin{array}{ll}
+ S_iS_j & = (S_i-m+m)(S_j-m+m)\\
+        & = m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
+\end{array}

 \]
 wobei:
 \begin{itemize}
 \]
 wobei:
 \begin{itemize}


@@ -169,8 +172,8 @@ implizite Bestimmungsgleichung f"ur $B_0=0$:
 
 \begin{slide}
 \begin{itemize}
 
 \begin{slide}
 \begin{itemize}

-\item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$ bei $m=0$
-\item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ bei $m=0$
+\item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$
+\item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ f"ur $m=0$

 \end{itemize}
 % \setlength{\unitlength}{2cm}
 % \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 \end{itemize}
 % \setlength{\unitlength}{2cm}
 % \begin{picture}(6,4)(-3,-2)


@@ -198,7 +201,7 @@ implizite Bestimmungsgleichung f"ur $B_0=0$:
 \end{slide}
 
 \begin{slide}
 \end{slide}
 
 \begin{slide}

-\section{Loesungen des Ising Modells}
+\section{L"osungen des Ising Modells}

 \end{slide}
 
 \begin{slide}
 \end{slide}
 
 \begin{slide}


@@ -228,7 +231,7 @@ Annahmen:
  \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
  \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
 \end{itemize}
  \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
  \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
 \end{itemize}

-Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$
+Abk"urzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$

 \end{slide}
 
 \begin{slide}
 \end{slide}
 
 \begin{slide}


@@ -282,13 +285,13 @@ Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
 Zustandssumme:
 \[
  \begin{array}{ll}
 Zustandssumme:
 \[
  \begin{array}{ll}

- \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
+ \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]

  \displaystyle  & \displaystyle = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
  \displaystyle  & \displaystyle = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
  \end{array}
 \]
 \begin{itemize}
  \displaystyle  & \displaystyle = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
  \displaystyle  & \displaystyle = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
  \end{array}
 \]
 \begin{itemize}

-\item Trick: Vollstaendigkeit der Spinzustaende
+\item Trick: Vollst"andigkeit der Spinzust"ande

 \item $\textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N$ ist Darstellungsunabh"angig
 \item Eigenwerte: $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$
 \end{itemize}
 \item $\textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N$ ist Darstellungsunabh"angig
 \item Eigenwerte: $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$
 \end{itemize}


@@ -301,15 +304,15 @@ Zustandssumme:
 \end{slide}
 
 \begin{slide}
 \end{slide}
 
 \begin{slide}

-Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
+F"ur den Fall $B_0 = 0$ gilt:

 \[
  \begin{array}{l}
   \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
 \[
  \begin{array}{l}
   \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]

-  \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
+  \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]

   \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
  \end{array}
 \]
   \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
  \end{array}
 \]

-weil $\lambda_+^N$ viel groesser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\
+weil $\lambda_+^N$ viel gr"o"ser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\

 Magnetisierung:
 \[
  \begin{array}{ll}
 Magnetisierung:
 \[
  \begin{array}{ll}


@@ -324,8 +327,8 @@ Magnetisierung:
 \begin{slide}
 Abbidlung: 
 \begin{itemize}
 \begin{slide}
 Abbidlung: 
 \begin{itemize}

-\item Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld
-\item Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
+\item Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld
+\item Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist

 \item S"attigung f"ur gro"se Magnetfelder
 \end{itemize}
 \setlength{\unitlength}{1cm}
 \item S"attigung f"ur gro"se Magnetfelder
 \end{itemize}
 \setlength{\unitlength}{1cm}


@@ -344,12 +347,12 @@ Abbidlung:
 \begin{slide}
 Erkenntnis:
 \begin{itemize}
 \begin{slide}
 Erkenntnis:
 \begin{itemize}

-\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
-\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
+\item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
+\item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$

 \end{itemize}
 F"ur $T=0$:
 \[ 
 \end{itemize}
 F"ur $T=0$:
 \[ 

- \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{obere Approximation nichtmehr g"ultig)}
+ \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{, ist obere Approximation nichtmehr g"ultig}

 \]
 Phasen"ubergang bei $B_0=T=0$ (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich)\\
 Kritische Exponenten:
 \]
 Phasen"ubergang bei $B_0=T=0$ (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich)\\
 Kritische Exponenten:


@@ -446,7 +449,7 @@ Fazit:
 \item keine exakte analytische L"osung
 \item "uberzeugende Resultate durch Approximation und Monte Carlo Simulation
 \item keine wieteren Informationen aus exakter L"osung erwartet
 \item keine exakte analytische L"osung
 \item "uberzeugende Resultate durch Approximation und Monte Carlo Simulation
 \item keine wieteren Informationen aus exakter L"osung erwartet

-\item $d=3$ Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange
+\item $d=3$ Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange

 \end{itemize}
 \end{slide}
 
 \end{itemize}
 \end{slide}
 


@@ -497,7 +500,7 @@ somit gilt:
 
 \begin{slide}
 Realisierung einer Boltzmannverteilung: Metropolis Algorithmus\\
 
 \begin{slide}
 Realisierung einer Boltzmannverteilung: Metropolis Algorithmus\\

-$[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
+$[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/

 \[
  W(A \rightarrow B) = \left\{
  \begin{array}{ll}
 \[
  W(A \rightarrow B) = \left\{
  \begin{array}{ll}


@@ -508,7 +511,7 @@ $[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
 Pseudocode:
 \begin{itemize}
 \item Gehe alle Gitterpl"atze durch
 Pseudocode:
 \begin{itemize}
 \item Gehe alle Gitterpl"atze durch

-\item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)
+\item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)

 \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
 \item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$))
 \end{itemize}
 \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
 \item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$))
 \end{itemize}


@@ -608,7 +611,7 @@ Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis
 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html

-\item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
+\item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/

 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics