\begin{document}
+\extraslideheight{10in}
+
\begin{slide}
\maketitle
\end{slide}
\begin{slide}
\slideheading{Kritische Exponenten}
-Physikalische Gr"oe"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs
+Physikalische Gr"o"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs
\begin{itemize}
\item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
\item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
\item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
\end{itemize}
Anmerkung:\\
-Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Abhaengig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Universalit"atsklassen
+$\rightarrow$ Abh"angig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Universalit"atsklassen
\end{slide}
\begin{slide}
\slideheading{Idee des Ising Modells}
Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\
-\\
Modellannahmen:
\begin{itemize}
\item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
-\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
+\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellm"oglichkeiten an jedem Gitterpunkt
\[
\mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
\]
Approximation: Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$\\
Spin-Wechselwirkungs-Term:
\[
- S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
+\begin{array}{ll}
+ S_iS_j & = (S_i-m+m)(S_j-m+m)\\
+ & = m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
+\end{array}
\]
wobei:
\begin{itemize}
m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
\end{array}
\]
-implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung mit $B_0=0$:
+implizite Bestimmungsgleichung f"ur $B_0=0$:
\[
\tanh (\beta Jm) = m
\]
\begin{slide}
\begin{itemize}
-\item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$ bei $m=0$
-\item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ bei $m=0$
+\item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$
+\item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ f"ur $m=0$
\end{itemize}
-
% \setlength{\unitlength}{2cm}
% \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
% \put(0,0){\line(1,1){1}}
% \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
% \end{picture}
% \\
-
\includegraphics[width=08cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.eps}
+\end{slide}
+\begin{slide}
\begin{itemize}
\item Phasen"ubergang unabh"angig von Gitterdimension
\item Widerspruch zu exakter $d=1$ L"osung
\end{slide}
\begin{slide}
-\section{Loesungen des Ising Modells}
+\section{L"osungen des Ising Modells}
\end{slide}
\begin{slide}
\item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
\item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
\end{itemize}
-Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$
+Abk"urzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$
\end{slide}
\begin{slide}
\quad |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{array}
\]
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
\[
\mathbf{T} =
Zustandssumme:
\[
\begin{array}{ll}
- \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
+ \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
\displaystyle & \displaystyle = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
\displaystyle & \displaystyle = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
\end{array}
\]
\begin{itemize}
-\item Trick: Vollstaendigkeit der Spinzustaende
-\item $\mathbf{T}$ diagonalisierbar, Spur Darstellungsunabhaengig
+\item Trick: Vollst"andigkeit der Spinzust"ande
+\item $\textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N$ ist Darstellungsunabh"angig
\item Eigenwerte: $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$
\end{itemize}
\[
\end{slide}
\begin{slide}
-Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
+F"ur den Fall $B_0 = 0$ gilt:
\[
\begin{array}{l}
\displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
- \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
+ \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
\displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
\end{array}
\]
-weil $\lambda_+^N$ viel groesser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\
+weil $\lambda_+^N$ viel gr"o"ser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\
Magnetisierung:
\[
\begin{array}{ll}
\begin{slide}
Abbidlung:
\begin{itemize}
-\item Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld
-\item Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
+\item Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld
+\item Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
\item S"attigung f"ur gro"se Magnetfelder
\end{itemize}
-\setlength{\unitlength}{2cm}
+\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
\put(2.7,-0.1){$B_0$}
\end{slide}
\begin{slide}
-Erkenntnis:\\
+Erkenntnis:
\begin{itemize}
-\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
-\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
+\item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
+\item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
\end{itemize}
F"ur $T=0$:
\[
- \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{obere Approximation nichtmehr g"ultig)}
+ \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{, ist obere Approximation nichtmehr g"ultig}
\]
Phasen"ubergang bei $B_0=T=0$ (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich)\\
Kritische Exponenten:
\slideheading{L"osung f"ur $d=2$}
\begin{itemize}
\item TFM analog $d=1$ L"osung
-\item $B=0$ \, \textrm{L"osung nur ohne vorhandenes Magnetfeld}
+\item nur L"osung f"ur $B=0$
\end{itemize}
Hamiltonian:
\[
H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
\]
-Indizes $\equiv$ Gitterpunkte der Spins. Abk"urzung:
+Indizes $\equiv$ Gitterpunkte der Spins.
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+Abk"urzung:
\[
H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
\]
\[
<\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(\mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
\]
-$2^N \times 2^N$ - Matrix, Diagonalisierung. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
+$2^N \times 2^N$ - Matrix, Diagonalisierung.\\
+$[7]$ Kerson Huang, Statistical mechanics\\
+\\
+Analog zum $d=1$ Fall gilt:
\[
Z = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
\]
-[\ref{lit7}] Kerson Huang, Statistical mechanics
\end{slide}
\begin{slide}
f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
\]
mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$\\
+\\
Magnetisierung:
\[
m = \left\{
0 & : T > T_C
\end{array} \right.
\]
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
kritische Temperatur:
\[
2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
\begin{slide}
Fazit:
\begin{itemize}
-\item Phasenuebergang zweiter Ordnung
+\item Phasen"ubergang zweiter Ordnung
\item spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$ ohne vorhandenes Magnetfeld
\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
\slideheading{L"osung f"ur $d=3$}
-Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
-\\
-Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange.
+\begin{itemize}
+\item keine exakte analytische L"osung
+\item "uberzeugende Resultate durch Approximation und Monte Carlo Simulation
+\item keine wieteren Informationen aus exakter L"osung erwartet
+\item $d=3$ Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
\end{slide}
\begin{slide}
-Simulationen das Ising Modell durch Monte Carlo Simulation\\
+Simulationen das Ising Modells durch Monte Carlo Simulation.\\
\\
Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
\[
\end{slide}
\begin{slide}
-Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht (importance sampling).
+important sampling: Aufsummieren einiger zuf"alliger Zust"ande (Boltzmann verteilt).
\[
<A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
\]
-$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Iterationen in der Computersimulation.
+$N \equiv \textrm{Anzahl der Iterationen in der Computersimulation}$
\begin{itemize}
- \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
- \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
+ \item $P(A,t)$, Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
+ \item $W(A \rightarrow B)$, Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
\end{itemize}
\end{slide}
\[
P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
\]
-und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
-Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
+Vergessen der Anfangskonfiguration f"ur gro"se $t$, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
+Bedingung f"ur zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung:
\[
W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t) \qquad \textrm{(detailed balance)}
\]
-und somit gilt:
+somit gilt:
\[
\frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
\]
\end{slide}
\begin{slide}
-Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus\\
-[\ref{lit4}] http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
+Realisierung einer Boltzmannverteilung: Metropolis Algorithmus\\
+$[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/
\[
W(A \rightarrow B) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & : \delta E < 0
\end{array} \right.
\]
-Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
+Pseudocode:
\begin{itemize}
-\item Gehe alle Gitterplaetze durch
-\item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
+\item Gehe alle Gitterpl"atze durch
+\item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)
\item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
-\item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach genuegend vielen Iterationen ($N^3$))
+\item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$))
\end{itemize}
\end{slide}
\begin{itemize}
\item keine spontane Magnetisierung
\item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
- \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, die sehr langsam relaxiert
+ \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, sehr langsame Relaxation
\end{itemize}
\item Modell:
\begin{itemize}
\item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
- \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
+ \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zuf"allige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
-Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis [\ref{lit8}]
+Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis
\begin{itemize}
\item Traveling Salesman Problem:
\begin{itemize}
- \item \dq Aufheizen \dq des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
- \item \dq Abk"uhlen \dq des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
+ \item \dq Aufheizen\dq{} des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
+ \item \dq Abk"uhlen\dq{} des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
\end{itemize}
+ \end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+ \begin{itemize}
\item Ged"achtnis:
\begin{itemize}
\item Modell:
\item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
\item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
\item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
- \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
+ \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{itemize}
\item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
\item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
\item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
-\item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
+\item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/
\item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
\item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
\item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
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